• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Gradient - matematyka



    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Encyklopedia PWN – encyklopedia internetowa, oferowana – bezpłatnie i bez konieczności uprzedniej rejestracji – przez Wydawnictwo Naukowe PWN. Encyklopedia zawiera około 122 tysiące haseł i 5 tysięcy ilustracji.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.
    Definicja[ | edytuj kod]
    Gradient funkcji przedstawiony jako pole wektorowe na dolnej płaszczyźnie.

    Gradient (lub gradientowe pole wektorowe) funkcji skalarnej oznaczany gdzie (nabla) to wektorowy operator różniczkowy nazywany nabla. Innym oznaczeniem gradientu jest

    Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).Mer (gr. meros = "część") – najprostszy, jaki da się wyróżnić, stale powtarzający się fragment cząsteczek polimerów, które składają się z bardzo długiego łańcucha merów, zakończonych na obu końcach grupami końcowymi.

    W układzie współrzędnych kartezjańskich gradient jest wektorem, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi funkcji Gradient definiuje się jako pewne pole wektorowe. W układzie współrzędnych kartezjańskich składowe gradientu funkcji pochodnymi cząstkowymi tej funkcji, tzn.

    Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.Elektroliza — w chemii i fizyce - ogólna nazwa na wszelkie zmiany struktury chemicznej substancji, zachodzące pod wpływem przyłożonego do niej zewnętrznego napięcia elektrycznego. W węższym zakresie pojęcie to obejmuje tylko procesy rozkładu. Elektrolizie towarzyszyć może (choć nie musi) szereg dodatkowych zjawisk, takich jak dysocjacja elektrolityczna, transport jonów do elektrod, wtórne przemiany jonów na elektrodach i inne. W sensie technologicznym przez elektrolizę rozumie się wszystkie te procesy łącznie.

    Gradient jest wektorem kolumnowym, jednak bywa zapisywany jako wektor wierszowy. Jeżeli funkcja zależy także od parametru takiego jak czas, to zwykle gradient oznacza wtedy wektor jej pochodnych przestrzennych.

    Metoda najszybszego spadku jest pojęciem z zakresu optymalizacji matematycznej. Jest to algorytm numeryczny mający na celu znalezienie minimum zadanej funkcji celu.Macierz przekształcenia liniowego – w algebrze liniowej macierz będąca wygodnym zapisem we współrzędnych przekształcenia liniowego dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem z ustalonymi bazami. Dzięki temu, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze, teoria macierzy staje się wygodnym językiem opisu przekształceń (w tym endomorfizmów) liniowych wyżej opisanych przestrzeni; jeśli nie wskazano żadnych baz, to każdą macierz o elementach z ciała można traktować jako przekształcenie liniowe między dwoma przestrzeniami współrzędnych.

    Gradient funkcji wektorowej to

    Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.

    lub też transpozycja macierzy Jacobiego

    Kopolimery – rodzaj polimerów, których łańcuchy zawierają dwa lub więcej rodzajów merów. W odróżnieniu od kopolimerów, polimery zawierające tylko jeden rodzaj merów nazywa się często homopolimerami. Głównym powodem otrzymywania kopolimerów są ich szczególne własności fizyczne, których nie mogą posiadać homopolimery i ich proste mieszaniny zawierające te same mery.Reakcja chemiczna – każdy proces, w wyniku którego pierwotna substancja zwana substratem przemienia się w inną substancję zwaną produktem. Aby cząsteczka substratu zamieniła się w cząsteczkę produktu konieczne jest rozerwanie przynajmniej jednego z obecnych w niej wiązań chemicznych pomiędzy atomami, bądź też utworzenie się przynajmniej jednego nowego wiązania. Reakcje chemiczne przebiegają z reguły z wydzieleniem lub pochłonięciem energii cieplnej, promienistej (alfa lub beta) lub elektrycznej.

    Jest to tensor drugiego rzędu.

    MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

    Ogólniej gradient może być zdefiniowany za pomocą pochodnej zewnętrznej:

    Symbole oraz oznaczają tutaj izomorfizmy muzyczne.

    Mnożenie macierzy – w matematyce operacja mnożenia macierzy przez skalar lub inną macierz. Artykuł zawiera opis różnorodnych sposobów przeprowadzania ich mnożenia.Pole skalarne – w matematyce i fizyce przypisanie każdemu punktowi pewnego obszaru pewnej wielkości skalarnej (w matematyce – liczby, w fizyce zazwyczaj wielkości mianowanej). Jest jednym z rodzajów pola fizycznego. Przykładem pola skalarnego jest potencjał elektrostatyczny.

    Postać w trójwymiarowej przestrzeni współrzędnych[ | edytuj kod]

    Postać gradientu zależy od użytego układu współrzędnych i wymiaru przestrzeni. Np. w przestrzeni trójwymiarowej gradient wyraża się przez trzy współrzędne następująco:

  • współrzędne kartezjańskie
  • współrzędne walcowe
  • współrzędne sferyczne
  • Jeśli oznaczyć przez wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich, to gradient można zadać jako

    Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).Długość fizyczna — miara fizyczna odległości pomiędzy dwoma punktami, liczona zgodnie z metryką euklidesową (zwykłym sposobem mierzenia odległości), albo w linii prostej (np. długość fali — odległość między jej dwoma węzłami) albo po krzywej (np. długość drogi przebytej przez ciało).

    Podobnie jest dla innych układów współrzędnych.

    Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.Energia potencjalna – energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych, wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero. Konfigurację odniesienia dla danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J].

    Przykład[ | edytuj kod]

    Gradientem funkcji

    zadanej we współrzędnych kartezjańskich jest wektor

    Produkt reakcji – cząsteczka związku chemicznego lub inne indywidum chemiczne (np. jon) powstałe w wyniku reakcji chemicznej. Często jest to pojęcie umowne, gdy produkty i substraty reakcji są w stanie równowagi chemicznej. W skali mikroskopowej reakcja biegnie wówczas w obie strony z jednakową szybkością.Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.

    Związek z pochodną i różniczką[ | edytuj kod]

    Przybliżenie liniowe funkcji[ | edytuj kod]

    Gradient funkcji przestrzeni euklidesowej w prostą euklidesową w dowolnym punkcie należącym do charakteryzuje najlepsze przybliżenie liniowe w punkcie Rozumie się przez to

    Atlas – w topologii, dziale matematyki, opisuje sposób w jaki rozmaitość jest wyposażona w strukturę różniczkową. Każdy jej kawałek opisany jest za pomocą mapy (również: mapy współrzędnych lub lokalnego układu współrzędnych).Macierz ortogonalna – macierz przekształcenia ortogonalnego przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej względem bazy ortonormalnej tej przestrzeni.

    dla bliskiego gdzie oznacza gradient obliczony w punkcie a kropka to iloczyn skalarny na Równanie to jest równoważne dwóm pierwszym wyrazom rozwinięcia szeregu Taylora wielu zmiennych dla w punkcie

    Wektor normalny jest to wektor prostopadły do płaszczyzny, lub w wypadku innych powierzchni prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni w danym punkcie. Pojęcie to używane jest w matematyce, fizyce, biologii molekularnej, grafice 3D.Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.

    Różniczka i pochodna (zewnętrzna)[ | edytuj kod]

    Najlepszym przybliżeniem liniowym funkcji w punkcie należącym do jest przekształcenie liniowe oznaczane często lub i nazywane różniczką bądź pochodną zupełną funkcji w punkcie Stąd gradient związany jest różniczką następującym wzorem

    Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. Rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany w fizyce do całkowania takich pojęć jak praca, strumień pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzącego przez powierzchnię, potencjały pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.Meteorologia (gr. metéōron (μετέωρον) - unoszący się w powietrzu, lógos (λόγος)- słowo, wiedza) - nauka zajmująca się badaniem zjawisk fizycznych i procesów zachodzących w atmosferze, szczególnie w jej niższej warstwie - troposferze. Bada, jak te procesy wpływają na przebieg procesów atmosferycznych i stan pogody na danym obszarze.

    dla dowolnego Funkcja która przekształca na nazywa się różniczką lub pochodną zewnętrzną Jest to przykład 1-formy różniczkowej.

    Dyfeomorfizm – izomorfizm rozmaitości różniczkowalnych, tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowalnymi, które jest gładkie oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również gładkie.Metoda gradientu sprzężonego jest algorytmem numerycznym służącym do rozwiązywania niektórych układów równań liniowych. Pozwala rozwiązać te których macierz jest symetryczna i dodatnio określona. Metoda gradientu sprzężonego jest metodą iteracyjną, więc może być zastosowana do układów o rzadkich macierzach, które mogą być zbyt duże dla algorytmów bezpośrednich takich jak np. rozkład Choleskiego. Takie układy pojawiają się często w trakcie numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych

    Jeśli postrzegać jako przestrzeń wektorów kolumnowych o składowych rzeczywistych, to można uważać za wektor wierszowy

    Przestrzeń współrzędnych – w algebrze liniowej prototypowy model przestrzeni liniowej skończonego wymiaru nad ustalonym ciałem; definiuje się ją jako przestrzeń produktową danego ciała nad skończonym zbiorem indeksów, w szczególności każde ciało można postrzegać jako jednowymiarową przestrzeń współrzędnych z działaniem mnożenia z ciała jako mnożenia przez skalar.Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana X (z normą ||·||), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka d dana wzorem

    tak, iż jest dana poprzez mnożenie macierzy. Gradient jest wówczas odpowiadającym mu wektorem kolumnowym, tzn.

    Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).Ładunek elektryczny ciała (lub układu ciał) – fundamentalna właściwość materii przejawiająca się w oddziaływaniu elektromagnetycznym ciał obdarzonych tym ładunkiem. Ciała obdarzone ładunkiem mają zdolność wytwarzania pola elektromagnetycznego oraz oddziaływania z tym polem. Oddziaływanie ładunku z polem elektromagnetycznym jest określone przez siłę Lorentza i jest jednym z oddziaływań podstawowych.

    Gradient jako pochodna[ | edytuj kod]

    Niech będzie zbiorem otwartym w Jeśli funkcja jest różniczkowalna (w sensie Frécheta), to różniczką jest pochodna Frécheta Stąd jest funkcją z w taką, że

    Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).Pochylenie podłużne, pochylenie wzdłużne, nachylenie podłużne, nachylenie wzdłużne – w transporcie drogowym lub kolejowym wielkość opisująca różnicę wysokości między dwoma punktami drogi kołowej lub kolejowej odniesioną do odległości dzielącej te punkty.

    gdzie oznacza iloczyn skalarny.

    Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Carla Gustawa Jacobiego, który je wprowadził (niezależnie pojęcie to badał Michaił Ostrogradski).Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.

    Stąd gradient spełnia standardowe własności pochodnej: Liniowość Gradient jest liniowy w tym sensie, iż jeżeli i są dwiema funkcjami o wartościach rzeczywistych różniczkowalnymi w punkcie zaś i są dwoma skalarami (stałymi rzeczywistymi), to kombinacja liniowa jest różniczkowalna w i co więcej: Reguła iloczynu Niech i są dwiema funkcjami o wartościach rzeczywistych różniczkowalnymi w punkcie wówczas reguła iloczynu zapewnia, że iloczyn funkcji i jest różniczkowalny w oraz Reguła łańcuchowa Niech będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na podzbiorze przestrzeni różniczkowalną w punkcie Istnieją dwie postaci reguły łańcuchowej związanej z gradientem. Wpierw niech oznacza krzywą parametryczną, tj. funkcję odwzorowującą podzbiór w Jeśli jest różniczkowalna w punkcie takim, że to Ogólniej, jeśli jest to prawdziwa jest równość: gdzie oznacza macierz Jacobiego, zaś oznacza transpozycję macierzy. Drugą postać reguły łańcuchowej można przedstawić następująco: niech będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na podzbiorze prostej przy czym jest różniczkowalna w punkcie Wówczas

    Własności przekształceń[ | edytuj kod]

     Zapoznaj się również z: kowariancja i kontrawariancja wektorów.

    Choć gradient jest zdefiniowany za pomocą współrzędnych, to jest on kontrawariantny ze względu na przekształcenie współrzędnych za pomocą macierzy ortogonalnej. Jest to prawda w tym sensie, że jeżeli jest macierzą ortogonalną, to

    Metoda Newtona jest pojęciem z zakresu optymalizacji matematycznej. Jest to algorytm numeryczny mający na celu znalezienie minimum zadanej funkcji celu.Potencjał - pole skalarne określające pewne pole wektorowe. W fizyce dla wielu pól różnica potencjałów w dwóch punktach określa ilość energii koniecznej do przemieszczenia ciała z jednego punktu do drugiego.

    co wynika z opisanej wyżej reguły łańcuchowej. Wektor zachowujący się w ten sposób nazywa się wektorem kontrawariantnym, gradient jest zatem szczególnym rodzajem tensora.

    Metoda gradientu prostego jest pojęciem z zakresu optymalizacji matematycznej. Jest to algorytm numeryczny mający na celu znalezienie minimum zadanej funkcji celu.Poziomica lub warstwica – w analizie matematycznej, zbiór punktów dziedziny funkcji rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych, dla których przyjmuje ona tę samą wartość.

    Różniczka jest naturalniejsza od gradientu, gdyż jest niezmiennicza na wszystkie przekształcenia współrzędnych (dyfeomorfizmy), podczas gdy gradient jest niezmienniczy tylko na przekztałcenia ortogonalne (ze względu na jawne użycie iloczynu skalarnego w definicji). Z tego powodu często rozmywa się różnicę między tymi dwoma pojęciami korzystając z pojęcia wektorów kowariantnych i kontrawariantnych. Z tego punktu widzenia składowe gradientu przekształcane są kowariantnie przy zmianie współrzędnych, dlatego mówi się o kowariantnym polu wektorowym, podczas gdy składowe pola wektorowego w zwykłym sensie zmieniają się kontrawariantnie. W języku tym gradient jest więc różniczką, jako że kowariantne pole wektorowe jest tym samym, co 1-forma różniczkowa.

    Pochodna kierunkowa – w analizie matematycznej, dziale matematyki, pojęcie charakteryzujące przyrost wartości funkcji w kierunku ustalonego wektora. Stanowi ono uogólnienie pochodnej cząstkowej, w której wspomniane wektory są równoległe względem osi układu.Ekstremum funkcji (l. mn. ekstrema; z łac. extrēmus – najdalszy, ostatni) – maksymalna lub minimalna wartość funkcji.


    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.
    Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) – w matematyce, przestrzeń liniowa wyposażona dodatkowo w iloczyn skalarny będący uogólnieniem standardowego iloczynu skalarnego. Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiedniki przestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie (bądź uogólnienie) takich pojęć jak kąt, długość wektora (dokładniej norma elementu przestrzeni unitarnej) czy wreszcie ortogonalności elementów. Przestrzenie unitarne, zupełne ze względu na metrykę generowaną przez normę (zależną od iloczynu skalarnego), nazywane są przestrzeniami Hilberta i studiowane są w analizie funkcjonalnej. W związku z tym przestrzenie unitarne nazywane są czasem prehilbertowskimi.
    Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.
    Operator różniczkowy – operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych wykorzystujący pojęcie pochodnej bądź różniczki funkcji. Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne i wektorowe.
    Algorytm Levenberga-Marquardta jest obecnie jednym z najczęściej wykorzystywanych algorytmów optymalizacji nieliniowej, w szczególności w nieliniowym zadaniu najmniejszych kwadratów. Jest to algorytm iteracyjny, łączący w sobie cechy metody największego spadku i metody Gaussa-Newtona.
    Iloczyn skalarny – w matematyce pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.
    Rozmaitość riemannowska bądź przestrzeń Riemanna - nazwana od nazwiska Bernharda Riemanna rzeczywista rozmaitość różniczkowa (M, g), dla której zdefiniowany jest tensor metryczny g, oraz istnieje funkcja d(x,y) określająca najkrótszą możliwą odległość jako rzeczywistą nieujemną wartość, będąca kresem dolnym zbioru odległości po wszystkich krzywych przechodzących jednocześnie przez dwa zadane punkty x i y.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.093 sek.