• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Geometria - Kartezjusz



    Podstrony: [1] 2 [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Elementy (gr. Στοιχεῖα, Stoicheia) – pochodzący z IV wieku p.n.e. traktat arytmetyczny i geometryczny, obejmujący swym zakresem podstawowe zagadnienia obu tych nauk.Girolamo Cardano, Geronimo Cardano, Gerolamo Cardano, Hieronymus Cardanus, (ur. 24 września 1501 w Pawii, zm. 21 września 1576 w Rzymie) – włoski matematyk, astrolog i lekarz epoki renesansu.
    Znaczące odkrycia matematyczne dokonane w Geometrii[ | edytuj kod]
    Jedna z konstrukcji Kartezjusza
    Ilustracja z traktatu Kartezjusza, dotycząca problemu Pappusa

    Kartezjusz w Geometrii dokonał także wielu matematycznych odkryć, między innymi:

  • zapoczątkował geometrię analityczną;
  • stworzył wczesne podstawy kartezjańskiego układu współrzędnych (choć sam układ współrzędnych w książce nie występuje);
  • wprowadził pojęcie wielkości zmiennej i funkcji;
  • znacznie usprawnił metody rozwiązywania równań zaproponowane przez Cardana w Artis Magnæ, pokazał jak za pomocą konstrukcji rozwiązać równania kwadratowe;
  • .mw-parser-output div.cytat{display:table;border:1px solid #aaa;padding:0;margin-top:0.5em;margin-bottom:0.8em;background:#f9f9f9}.mw-parser-output div.cytat>blockquote{margin:0;padding:0.5em 1.5em}.mw-parser-output div.cytat-zrodlo{text-align:right;padding:0 1em 0.5em 1.5em}.mw-parser-output div.cytat-zrodlo::before{content:"— "}.mw-parser-output div.cytat.środek{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output div.cytat.prawy{float:right;clear:right;margin-left:1.4em}.mw-parser-output div.cytat.lewy{float:left;clear:left;margin-right:1.4em}.mw-parser-output div.cytat.prawy:not([style]),.mw-parser-output div.cytat.lewy:not([style]){max-width:25em}

    Pozostaje jeszcze zauważyć, że ten sposób wyrażania wartości pierwiastków przez ich stosunek do boków pewnych sześcianów, których znamy jedynie objętość, nie jest w niczym bardziej rozumny, ani prostszy, niż wyrażenie ich przez stosunek, jaki mają do cięciw pewnych łuków lub części kół, dla których dane jest potrojenie, tak że wszystkie te równania sześcienne, które nie mogą być wyrażone przy pomocy reguły Cardana, mogą być wyrażone tak samo lub jaśniej przez zaproponowany tu sposób.

    Fałszywy pierwiastek (fr. faussent) – archaiczne pojęcie matematyczne, w arytmetyce odcinków oznaczające rozwiązanie równania będące liczbą ujemną. Pojęcie wprowadził Kartezjusz jako odpowiedź na nieścisłości współtworzonej przez niego nowoczesnej arytmetyki XVII-wiecznej. Uznaje się to za pierwsze w historii matematyki europejskiej użycie liczb ujemnych. Marek Kordos (ur. 7 marca 1940) – polski matematyk, doktor habilitowany, geometra i historyk matematyki, wykładowca, profesor Uniwersytetu Warszawskiego, popularyzator matematyki, założyciel i redaktor naczelny miesięcznika Delta, autor wielu książek, współzałożyciel Ośrodka Kultury Matematycznej oraz Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej.
  • zdefiniował arytmetykę odcinków oraz unowocześnił antyczne pojęcie wielkości geometrycznej, czym przyczynił się do częściowego oddzielenia algebry od geometrii;
  • Wszystkie problemy geometrii da się łatwo sprowadzić do takich wyrażeń, że wystarczy znać długości pewnych linii prostych, aby przeprowadzić ich konstrukcje.

    Matematyczne zasady filozofii naturalnej (łac. Philosophiae naturalis principia mathematica – dzieło Isaaca Newtona, w którym przedstawił prawo powszechnego ciążenia, a także prawa ruchu leżące u podstaw mechaniki klasycznej. Newton wyprowadził prawa Keplera dla ruchu planet (sformułowane na podstawie obserwacji astronomicznych).Artis Magnæ, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus (w literaturze występuje także pod nazwami skróconymi: Artis Magnæ lub Artis Magnæ. Sive de Regulis Algebraicis, lub Ars magna) – traktat matematyczny autorstwa Girolamo Cardano, opublikowany w 1545 roku.
    (jest to pierwsze zdanie traktatu Geometria)
  • zdefiniował fałszywe pierwiastki, co było pierwszym w historii matematyki europejskiej świadomym użyciem liczb ujemnych;
  • zdefiniował liczby urojone na podstawie liczb fikcyjnych
  • (...) zarówno prawdziwe, jak i fałszywe pierwiastki nie są zawsze rzeczywiste, a czasem tylko urojone, co oznacza, że w każdym równaniu można zawsze wyobrazić sobie ich tyle, ile wymieniłem. Zdarza się jednak, że nie ma żadnej wielkości odpowiadającej tym urojonym, w ten sposób znowu możemy sobie wyobrazić trzy w tym,

    Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.Spirala Archimedesa – krzywa w R 2 {displaystyle mathbb {R} ^{2}} o równaniu we współrzędnych biegunowych:

    ale tylko jeden jest rzeczywisty, zaś dwa pozostałe, powiększane, pomniejszane lub mnożone w przedstawiony przeze mnie sposób, pozostaną urojone.

    Jean Le Rond d’Alembert (ur. 16 listopada 1717 w Paryżu, zm. 29 października 1783 w Paryżu) – francuski filozof, fizyk i matematyk. Przedstawiciel epoki oświecenia.Rozprawa o metodzie (fr. Discours de la méthode) – podzielony na 6 części traktat filozoficzno – matematyczny, opublikowany przez Kartezjusza w roku 1637. To jedno z najbardziej wpływowych dzieł w historii, opisuje metodę poznawczą modelowaną na matematyce która daje solidne podstawy rozwoju wszystkim nowoczesnym naukom ścisłym. Dzięki tej rozprawie odżyła na nowo antyczna idea sceptycyzmu – wątpienia o wszystkim – od której Kartezjusz zaczął, aby wyzbyć się błędnych przekonań i założeń, w które na co dzień kompletnie bezpodstawnie wierzy ludzkość. O wszystkim trzeba było udowodnić, że istnieje.
  • odkrył, że prosta oraz krzywe są obiektami złożonymi z punktów (wiążąc ruch z równaniem algebraicznym wprowadził myśl, że ruch jest tworem punktowym);
  • Wszystkie punkty tych [krzywych], które można nazwać geometrycznymi, to znaczy te, które podpadają pod dokładną i ścisłą miarę, z konieczności mają jakiś związek z wszystkimi punktami linii prostej, który można wyrazić pewnym równaniem, tym samym dla wszystkich [punktów]

    Kwadratrysa – rodzaj kinematycznie konstruowanej krzywej, która pierwszy raz została wprowadzona do greckiej geometrii przez Hippiasza z Elidy. Jest to krzywa płaska powstała z punktów przecięcia (zbiór punktów przecięcia) dwóch boków kwadratu przesuwanych ruchem jednostajnym w takim samym odstępie czasu w kierunku boku trzeciego, przy czym jeden z nich porusza się ze stałą prędkością kątową, drugi zaś – ze stałą prędkością liniową.Christiaan Huygens (ur. 14 kwietnia 1629 w Hadze, zm. 8 lipca 1695 tamże) – holenderski matematyk, fizyk oraz astronom. Syn Constantijna Huygensa.
    W tym zdaniu, pierwszy raz w historii matematyki, linia jest pojęta jako obiekt złożony z punktów. Sam Kartezjusz nie był świadom przełomu, jakiego dokonał w matematycznym opisie ruchu, i nigdzie w Geometrii nie zostało wprost powiedziane, że linia krzywa „składa się” z punktów.
  • powiązał krzywą z odpowiednim wielomianem (odkrył pojęcie równania krzywej);
  • Kartezjusz najpierw zauważył, że równanie krzywej będzie musiało mieć dwie niewiadome, ponieważ muszą związać ze sobą punkt na prostej z punktem na krzywej
  • (...) potrzeba dwóch do wyjaśnienia stosunku jednego punktu do drugiego

    Wielkość (wielkość geometryczna) – archaiczne pojęcie matematyczne, stanowiące w XVII-wiecznej arytmetyce odcinków pomost pomiędzy geometrią a algebrą. Sir Isaac Newton (ur. 25 grudnia 1642/4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 20 marca 1726/31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.
  • Następnie Kartezjusz zauważył, że skoro wszystkie punkty krzywej są opisane tym samym równaniem: to znaczy, że na krzywej tej nie ma żadnych innych punktów. W taki sposób Kartezjusz powiązał krzywą geometryczną z równaniem wielomianowym.
  • przedstawił konstrukcje klasyczne i nieklasyczne różnych obiektów;
  • skonstruował parabolę Kartezjusza;
  • dokonał odkryć z zakresu teorii proporcji;
  • szczegółowo omówił tzw. zagadnienie Pappusa.
  • Podział krzywych według Kartezjusza[ | edytuj kod]

    René Descartes podzielił krzywe na:

    Filozofia francuska – filozofia uprawiana w języku francuskim od końca średniowiecza po czasy współczesne. Filozofia francuska jest bardzo zróżnicowana i silnie oddziaływała na filozofię Zachodu w całej swej historii. Już w XII wieku uprawiana we Francji filozofia miała cechy narodowe, jednak tworzona była w języku łacińskim. W wieku XVI i XVII filozofowie francuscy posługiwali się lokalnymi dialektami.Podwojenie sześcianu (inaczej nazywany problemem delijskim) – jedno z trzech, obok trysekcji kąta i kwadratury koła, wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej, polegające na zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej niż dany.
  • krzywe mechaniczne, do których zaliczyły się:
  • spirala Archimedesa,
  • kwadratrysa;
  • krzywe geometryczne, do których zaliczyły się:
  • stożkowe,
  • konchoida Nikomedesa,
  • parabola Kartezjusza (parabola sześcienna),
  • krzywe kreślone przez mezolabium.
  • Podział taki jest znany również współcześnie – krzywe mechaniczne nazywa się krzywymi transcendentalnymi, a krzywe geometryczne – krzywymi algebraicznymi.

    Euklides z Aleksandrii (gr. Εὐκλείδης, Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e.) – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).

    Rewolucja w zakresie notacji i symboli matematycznych[ | edytuj kod]

    W Geometrii oprócz wybitnych rozwiązań matematycznych Kartezjusz wprowadził wiele rozstrzygnięć w sprawie oznaczeń matematycznych, przykładowo:

  • symbol potęgi (wcześniej potęgi opisywane były słownie);
  • małe litery z początku alfabetu używane jako stałe małe litery z końca alfabetu używane jako niewiadome ;
  • symbol pierwiastka kwadratowego jako połączenie symbolu √ (tzw. surd) oraz kreski poziomej nad wyrażeniem.
  • Ciekawostki[ | edytuj kod]

    W Geometrii Kartezjusza, zamiast tradycyjnego symbolu równości na oznaczenie równości przyjęto znak Taurus left 2.png. Według jednych historyków był to „przewrócony” symbol Taurus symbol.png, powszechnie w tamtych czasach stosowany w warsztatach drukarskich wydających prace z astronomii, oznaczający gwiazdozbiór Byka. Według innych historyków są to odwrócone pierwsze litery łacińskiego słowa æqualis (równy).

    Traktat – tekst naukowy w formie rozbudowanej rozprawy, zazwyczaj bardzo obszernej. Traktaty podejmują tematykę podstawową dla danej dziedziny wiedzy, grupując i rozważając jej najważniejsze problemy. Słowo "traktat" występuje często w tytułach dzieł filozoficznych o takim charakterze (np. Traktat teologiczno-polityczny Barucha Spinozy, Traktat logiczno-filozoficzny Ludwiga Wittgensteina). We współczesnej kulturze naukowej i filozoficznej traktaty zostały wyparte niemal całkowicie przez formy mniej monumentalne.Auguste Comte, Izydor Maria August Franciszek Ksawery Comte (ur. 19 stycznia 1798 w Montpellier, zm. 5 września 1857 w Paryżu) – francuski filozof i pozytywista, twórca terminu socjologia.


    Podstrony: [1] 2 [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur. 31 marca 1596 w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 w Sztokholmie) – francuski filozof, matematyk i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.
    Konchoida Nikomedesa – krzywa płaska, typ konchoidy uzyskana z prostej. Krzywa ta została opisana i zbadana przez greckiego matematyka Nikomedesa.
    Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.
    Liczba urojona – liczba, która podniesiona do kwadratu daje wartość ujemną. Pojęcie to zostało wprowadzone przez Girolamo Cardano w XVI wieku, lecz nazwę nadał im Kartezjusz w 1637 roku. Nie zostały szerzej zaakceptowane aż do prac Eulera (1707–1783) i Gaussa (1777–1855).
    Filozofia (gr. φιλοσοφία – umiłowanie mądrości) – rozważania na temat podstawowych problemów takich jak np. istnienie, umysł, poznanie, wartości, język.
    Krzywa stożkowa – zbiór punktów powstałych na przecięciu stożka (ściślej powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg) i płaszczyzny. Krzywe stożkowe są nazywane inaczej krzywymi drugiego stopnia, gdyż można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych x i y.
    Trysekcja kąta – jeden z trzech (obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła) wielkich problemów matematyki greckiej. Polega on na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i liniału. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna. Posługując się narzędziami teorii Galois można wykazać, że dla danego kąta φ {displaystyle varphi } kąt o mierze 1 3 φ {displaystyle { frac {1}{3}}varphi } jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.899 sek.