Funkcja monotoniczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Funkcja monotonicznie niemalejąca (silnie po lewej i słabo po prawej).
Funkcja monotonicznie nierosnąca.
Funkcja niemonotoniczna.

Funkcja monotonicznafunkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.

Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Funkcje specjalne – umowna nazwa grupy funkcji, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Funkcje specjalne zostały szczegółowo przebadane i stablicowane, a wiele programów komputerowych może obliczać ich wartości z dowolną dokładnością. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach. Niektóre funkcje specjalne stanowią rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych drugiego i wyższych rzędów.

Analiza matematyczna[ | edytuj kod]

Niech będzie dowolną funkcją określoną na zbiorach silnie uporządkowanych oraz takich jak np. podzbiory liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych, a będą dowolnymi elementami Wówczas funkcję nazywa się

Funkcja σ (sigma) określona jest dla wszystkich liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników liczby, np.Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
  • rosnącą lub silnie rosnącą, gdy
  • malejącą lub silnie malejącą, gdy
  • Jeżeli zbiory oraz słabo uporządkowane, to funkcję nazywa się

    Kategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane.Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi. Jednostajna ciągłość funkcji pociąga ciągłość, ale na ogół nie odwrotnie.
  • niemalejącą lub słabo rosnącą, gdy
  • nierosnącą lub słabo malejącą, gdy
  • Aby uczynić definicje przystępniejszymi wprowadza się dodatkowe relacje „większe” i „większe-równe” odwrotne względem powyższych, wówczas warunki po prawych stronach implikacji w drugiej i czwartej definicji mają postać kolejno: i

    Podział, rozbicie, partycja zbioru – w matematyce rodzina niepustych, rozłącznych podzbiorów danego zbioru dająca w sumie cały zbiór.Wykres funkcji – potocznie graficzne przedstawienie funkcji. Ogólniej, w matematyce wykresem funkcji f : X → Y {displaystyle f:X o Y} , gdzie X {displaystyle X} i Y {displaystyle Y} są dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiór S ⊂ X × Y {displaystyle Ssubset X imes Y} dany wzorem:

    W szczególności symbole oraz mogą oznaczać odpowiednio relacje „mniejsze” oraz „mniejsze-równe” określone na zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych. Podobnie ma się rzecz z relacjami „większe” i „większe-równe”

    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

    Funkcją monotoniczną nazywa się każdą z powyższych czterech rodzajów funkcji, choć niekiedy czyni się to tylko w stosunku do dwóch pierwszych. Aby uniknąć nieporozumień pierwsze dwie nazywa się czasami silnie monotonicznymi, a dwie pozostałe – słabo monotonicznymi. Można powiedzieć, że funkcje rosnące „zachowują porządek”, zaś funkcje malejące „odwracają” go.

    Równość – relacja, która jest relacją równoważności. Jest to zatem relacja zwrotna, przechodnia i symetryczna. Ważną cechą relacji równości a = b {displaystyle a=b} jest to, że dla dowolnej funkcji f {displaystyle f} zachodzi:Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

    Funkcje silnie monotoniczne są różnowartościowe. Należy zaznaczyć, że dowolna funkcja rosnąca jest niemalejąca, a każda funkcja malejąca jest nierosnąca. Dodatkowo jeśli jest rosnąca, to maleje i odwrotnie; podobnie ma się rzecz z funkcjami nierosnącymi i niemalejącymi.

    Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.

    Jeżeli w zbiorze zdefiniowano relację równości (równoważności; relacja porządku nie jest wymagana), wówczas funkcję nazywa się

  • stałą, gdy dla dowolnych
  • Jeżeli jest dodatkowo zbiorem uporządkowanym, to funkcje stałe są jedynymi funkcjami tak niemalejącymi, jak i nierosnącymi. W związku z tym funkcja stała także bywa zaliczana do klasy funkcji monotonicznych.

    Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):Funkcja τ – funkcja w teorii liczb równa funkcji σ stopnia zerowego. Wartość tej funkcji oznacza liczbę podzielników argumentu

    Przykłady[ | edytuj kod]

  • Funkcja liniowa jest malejąca, gdy rosnąca, gdy jest niemalejąca, gdy nierosnąca, gdy i stała, gdy
  • Funkcja wykładnicza jest rosnąca, gdy malejąca, gdy i stała dla
  • Funkcja logarytmiczna rośnie, gdy (w tym funkcja logarytmu naturalnego) i maleje
  • Funkcja potęgowa rośnie na przedziale gdy i maleje, gdy
  • Przykładami ciągów (które są funkcjami) mogą być:

    Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.Funkcja „na” a. surjekcja pisane też czasami jako suriekcja – funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny, tj. której obraz jest równy przeciwdziedzinie.
  • ciąg słów który jest stały;
  • ciąg liczb naturalnych który (ściśle) rośnie;
  • ciąg liczb całkowitych który nie jest monotoniczny.
  • Własności i zastosowania[ | edytuj kod]

    Funkcja monotoniczna przedziałami to funkcja, której dziedzinę można podzielić na przedziały tak, aby w każdym z nich osobno funkcja była monotoniczna (np. wartość bezwzględna, funkcje trygonometryczne, wielomiany; niektóre wielomiany są funkcjami monotonicznymi). Należy zaznaczyć, że większość funkcji rzeczywistych nie jest przedziałami monotoniczna (np. funkcja Dirichleta).

    Koniunkcja – zdanie złożone mające postać p i q , gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: p ∧ q {displaystyle p,land ,q,!} . Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać p(1) i ... i p(n). Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które zdaniom p, q przyporządkowuje zdanie p i qTeoria liczb - dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.

    Dla zachodzą następujące własności:

  • ma granice lewostronną i prawostronną w każdym punkcie dziedziny;
  • ma granicę w nieskończoności (tak jak i ) będącą liczbą rzeczywistą, bądź lub
  • może mieć tylko nieciągłości pierwszego rodzaju;
  • może mieć (co najwyżej) przeliczalnie wiele punktów nieciągłości w swojej dziedzinie.
  • Własności te są zasadniczym powodem, dla którego funkcje monotoniczne są użyteczne w analizie matematycznej. Ważnymi faktami dotyczącymi tych funkcji są:

    Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy’ego oraz Heinricha Eduarda Heinego. Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.
  • jeżeli jest funkcją monotoniczną na przedziale otwartym to jest ona prawie wszędzie różniczkowalna na tzn. zbiór liczb takich, że nie jest różniczkowalna w jest miary zero Lebesgue’a; w szczególności funkcja różniczkowalna na jest monotoniczna w tym przedziale, gdy jej pochodna nie zmienia tam znaku;
  • jeżeli jest funkcją monotoniczną określoną na przedziale to jest ona całkowalna w sensie Riemanna.
  • Ważnym zastosowaniem funkcji monotonicznych jest dystrybuanta zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa:

    Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych Q {displaystyle mathbb {Q} } , tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość 1 , {displaystyle 1,} gdy argument jest liczbą wymierną i wartość 0 , {displaystyle 0,} gdy argument jest liczbą niewymierną.Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

    jest funkcją (słabo) rosnącą.

    Funkcja unimodalna to funkcja, której wartości monotonicznie rosną do pewnego punktu (mody), a następnie monotonicznie maleją.

    Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.Badanie przebiegu zmienności funkcji – zadanie matematyczne polegające na wyznaczeniu pewnych własności danej wzorem funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej, które można wywnioskować z niej samej oraz z jej pierwszej i drugiej pochodnej. Własności te pozwalają skonstruować jej przybliżony wykres. Schemat rozwiązywania można przestawić następująco:


    Podstrony: 1 [2] [3]




    Warto wiedzieć że... beta

    Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana X (z normą ||·||), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka d dana wzorem
    Wypukłość i wklęsłość funkcji - własności funkcji mówiące o jej położeniu względem jej stycznej w danym punkcie. Jeśli krzywa znajduje się
    Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych – jedna z podstawowych nierówności w matematyce. Można za jej pomocą dowieść wielu innych nierówności, takich jak nierówności między średnimi, nierówność Cauchy’ego-Schwarza, nierówność Czebyszewa.
    Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.
    Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.
    Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.
    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.

    Reklama