Funkcja addytywna zbioru

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja addytywna zbiorufunkcja określona na pewnej rodzinie zbiorów o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, której wartość dla sumy dwu zbiorów rozłącznych jest sumą wartości dla każdego z tych zbiorów. Z pojęciem addytywności blisko związane są pojęcia podaddytywności, σ-addytywności oraz σ-podaddytywności (funkcje dwóch ostatnich rodzajów definiuje się zwykle na σ-ciałach lub σ-pierścieniach zbiorów).

Miara wektorowa – addytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą. Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.Miara skończenie addytywna jest przykładem funkcji addytywnej zbioru. Wbrew nazwie, nie jest to miara w ścisłym sensie.

Definicje[ | edytuj kod]

Niech będzie rodziną zbiorów oraz niech O funkcji mówi się, że jest

Podmiara – monotoniczna i podaddytywna funkcja zbioru (bądź ogólniej, funkcja określona na algebrze Boole’a) o wartościach rzeczywistych. Pierścień zbiorów – niepusta rodzina zbiorów zamknięta ze względu na przecięcia i różnicę symetryczną, tzn. jeżeli dla dowolnego A , B ∈ R {displaystyle A,Bin {mathcal {R}}} zachodzi
  • addytywna, jeśli
  • dla wszystkich zbiorów rozłącznych dla których
  • podaddytywna lub subaddytywna, jeśli
  • dla wszystkich zbiorów dla których
  • skończenie addytywna jeśli
  • dla wszystkich parami rozłącznych zbiorów dla których
  • skończenie podaddytywna lub skończenie subaddytywna, jeśli
  • dla wszystkich zbiorów dla których
  • przeliczalnie addytywna lub σ-addytywna jeśli
  • dla wszystkich parami rozłącznych zbiorów dla których
  • przeliczalnie podaddytywna, przeliczalnie subaddytywna, σ-podaddytywna lub σ-subaddytywna, jeśli
  • dla wszystkich zbiorów dla których

    Powyższe funkcje mają częstokroć swoje dodatkowe nazwy wynikłe z ich zastosowań:

    Miara zewnętrzna – monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna funkcja zbiorów określona na rodzinie wszystkich podzbiorów danego zbioru. Prace nad nimi zapoczątkował grecki matematyk Constantin Carathéodory; z tego powodu funkcje tego rodzaju nazywa się też niekiedy miarami Carathéodory’ego.Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.
  • funkcje skończenie addytywne: miary skończenie addytywne,
  • funkcje przeliczalnie addytywne: miary (przeliczalnie addytywne).
  • Powyższe definicje rozszerza się czasem na funkcje o wartościach w pewnej strukturze algebraicznej wyposażonej w działanie dodawania (jak np. grupa abelowa, przestrzeń liniowa), w szczególności: zbiorze liczb rzeczywistych, zespolonych, czy ich rozszerzeniach, które spełniają warunki analogiczne do powyższych. Addytywne funkcje zbiorów o wartościach w przestrzeniach liniowo-topologicznych nazywa się miarami wektorowymi.

    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.


    Podstrony: 1 [2] [3]




    Warto wiedzieć że... beta

    Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.
    Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych – zbiór liczb rzeczywistych z dołączonym jednym lub dwoma „elementami nieskończonymi”, pierwsze z nich nazywane jest jednopunktowym bądź rzutowym, drugie z kolei dwupunktowym lub afinicznym.
    W matematyce, termin indukcja matematyczna używany jest na określenie szczególnej metody dowodzenia twierdzeń (w najbardziej typowych przypadkach o liczbach naturalnych), ale także jest on używany na oznaczenie konstrukcji pewnych obiektów.
    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.
    Ścisła addytywność – w analizie funkcjonalnej własność miar wektorowych o wartościach w przestrzeniach Banacha.
    Twierdzenie Hahna-Kołmogorowa – twierdzenie teorii miary umożliwiające skonstruowanie miary przez uprzednie zdefiniowanie przeliczalnie addytywnej funkcji zbiorów (o nieujemnych wartościach rzeczywistych znikającej na zbiorze pustym) na względnie małej algebrze zbiorów, gdzie stosunkowo łatwo jest zapewnić σ-addytywność, a następnie rozszerzenie jej za pomocą tego twierdzenia na potencjalnie dużo większą σ-algebrę; jeżeli funkcja przeliczalnie addytywna jest σ-skończona, to istnieje dokładnie jedno takie rozszerzenie.
    Grupa przemienna (abelowa) – grupa, w której działanie jest przemienne. Zwyczajowo, w przypadku grup przemiennych stosuje się zapis addytywny.

    Reklama