Funkcja Carmichaela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja λ (lambda) Carmichaelafunkcja określona dla dodatnich liczb całkowitych, której wartością dla danej liczby jest najmniejsza liczba, taka, że podniesiona do jej potęgi liczba względnie pierwsza z przystaje do przy czym .

Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.Funkcje specjalne – umowna nazwa grupy funkcji, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Funkcje specjalne zostały szczegółowo przebadane i stablicowane, a wiele programów komputerowych może obliczać ich wartości z dowolną dokładnością. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach. Niektóre funkcje specjalne stanowią rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych drugiego i wyższych rzędów.

gdzie NWD to największy wspólny dzielnik, a „” – reszta z dzielenia przez

Funkcja σ (sigma) określona jest dla wszystkich liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników liczby, np.Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi. Jednostajna ciągłość funkcji pociąga ciągłość, ale na ogół nie odwrotnie.

Definicja formalna[ | edytuj kod]

Ścisła definicja funkcji Carmichaela jest taka, że dla danej liczby to najmniejsza taka liczba, że:

Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an).

gdzie NWD to największy wspólny dzielnik, a „” – reszta z dzielenia przez

Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):

Wychodząc od pojęcia grupy, pojęcie funkcji Carmichaela można wprowadzić dużo naturalniej. Mianowicie, jeżeli rozważymy multiplikatywną grupę klas reszt modulo n z działaniem mnożenia modulo n to:

Funkcja τ – funkcja w teorii liczb równa funkcji σ stopnia zerowego. Wartość tej funkcji oznacza liczbę podzielników argumentuFunkcja „na” a. surjekcja pisane też czasami jako suriekcja – funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny, tj. której obraz jest równy przeciwdziedzinie.

przy czym powyższe potęgowanie należy rozumieć jako składanie działania z grupy.

Teoria liczb - dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.Badanie przebiegu zmienności funkcji – zadanie matematyczne polegające na wyznaczeniu pewnych własności danej wzorem funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej, które można wywnioskować z niej samej oraz z jej pierwszej i drugiej pochodnej. Własności te pozwalają skonstruować jej przybliżony wykres. Schemat rozwiązywania można przestawić następująco:

Własności[ | edytuj kod]

Poniżej – oznacza funkcję Carmichaёla, – funkcję Eulera.

Ścisły wzór[ | edytuj kod]

Ścisły wzór na funkcję λ jest następujący (w poniższym wzorze pi to dla różnych indeksów różne liczby pierwsze, a αi – liczby naturalne):

przy czym NWW to Najmniejsza wspólna wielokrotność.

Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.

Oszacowania[ | edytuj kod]

Dla dowolnej liczby naturalnej zachodzi oszacowanie górne:

Natomiast zachodzi również nietrywialne oszacowanie górne dla nieskończenie wielu

Warunek Höldera – warunek dotyczący funkcji pojawiający się w założeniach wielu twierdzeń z zakresu analizy matematycznej, jedno z kryteriów jednostajnej ciągłości funkcji.Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) – funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i "na". Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

i oszacowanie dolne dla dostatecznie dużych

Funkcja błędu Gaussa — funkcja nieelementarna, która występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jest zdefiniowana jakoWarunek Lipschitza – pewne wzmocnienie ciągłości jednostajnej funkcji. Intuicyjnie można powiedzieć, że własność ta oznacza, że szybkość zmian wartości funkcji jest ograniczona. Nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Rudolfa Lipschitza.

Wartości dla potęg liczby dwa[ | edytuj kod]

Dla potęg liczby dwa zachodzą następujące równości:

Funkcja różnowartościowa (iniekcja, funkcja 1-1) – funkcja, której każdy element przeciwdziedziny przyjmowany jest co najwyżej raz.Paul Erdős, węg. Erdős Pál [ˈɛrdøːʃ ˈpaːl] (ur. 26 marca 1913 w Budapeszcie, zm. 20 września 1996 w Warszawie) – węgierski matematyk.
dla dla

Wartość dla liczb pierwszych[ | edytuj kod]

Jeżeli – liczba pierwsza to zachodzi:

Funkcja monotoniczna – funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny. Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.

Wartość dla potęg nieparzystych liczb pierwszych[ | edytuj kod]

Jeżeli – nieparzysta liczba pierwsza a – liczba naturalna to zachodzi:

Liczby Carmichaela to w teorii liczb takie złożone liczby naturalne, dla których teza Małego Twierdzenia Fermata jest prawdziwa.Dziedzina relacji (dwuczłonowej) – zbiór wszystkich poprzedników par należących do danej relacji. W szczególności dziedziną funkcji nazywa się zbiór wszystkich dopuszczalnych argumentów danej funkcji, lub – dla funkcji wieloargumentowej – zbiór par, trójek lub ogólnie krotek jej argumentów.

Wartość dla iloczynu liczb względnie pierwszych[ | edytuj kod]

Niech – dwie liczby naturalne; wówczas:

Funkcje elementarne – funkcje, które powstają z funkcji, takich jak: funkcja stała, identyczność i ( x ) = x {displaystyle i(x)=x} , funkcje trygonometryczne i logarytm, za pomocą skończonej liczby operacji, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie oraz złożenie.Funkcja W Lamberta lub funkcja Omega – funkcja specjalna używana podczas rozwiązywania równań zawierających niewiadomą zarówno w podstawie jak i wykładniku potęgi. Określona jest jako funkcja odwrotna do f ( z ) = z e z {displaystyle f(z)=ze^{z};} , gdzie z należy do zbioru liczb zespolonych. Oznacza się ją symbolem W ( z ) {displaystyle W(z);} . Zatem dla każdej liczby zespolonej z zachodzi:
Funkcja φ (Eulera) lub tocjent – funkcja nosząca nazwisko Eulera przypisująca każdej liczbie naturalnej liczbę liczb względnie z nią pierwszych nie większych od niej samej.Funkcja Möbiusa – funkcja określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 roku i zdefiniowana w następujący sposób:


Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




Warto wiedzieć że... beta

Największy wspólny dzielnik – dla danych dwóch (lub więcej) liczb całkowitych największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich. Pojęcie to ma wiele uogólnień, które przedstawiono w dalszej części artykułu.
Funkcje Bessela – rozwiązania y(x) równania różniczkowego drugiego stopnia ze zmiennymi współczynnikami (równania Bessela):

Reklama