• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Formalizm - matematyka

    Przeczytaj także...
    Finityzm – nurt filozofii matematyki, będący skrajną odmianą konstruktywizmu. Zwolennicy finityzmu uznają istnienie obiektów matematycznych o tyle, o ile są one dane „bezpośrednio” (jak na przykład liczby naturalne), lub dają się skonstruować z takich obiektów za pomocą skończonej liczby kroków. „Umiarkowany” konstruktywizm dopuszcza również konstrukcje o nieskończonej liczbie kroków pod warunkiem, że są one jednoznacznie opisane. W szczególności dozwolone są konstrukcje obiektów oparte na indukcji matematycznej.Rachunek zdań – dział logiki matematycznej badający związki między zmiennymi zdaniowymi (zdaniami) lub funkcjami zdaniowymi, utworzonymi za pomocą funktorów zdaniotwórczych (spójników zdaniowych) ze zdań lub prostszych funkcji zdaniowych. Rachunek zdań określa sposoby stosowania funktorów zdaniotwórczych w poprawnym wnioskowaniu.
    Kurt Gödel (ur. 28 kwietnia 1906 w Brnie, zm. 14 stycznia 1978 w Princeton) – austriacki logik i matematyk, autor twierdzeń z zakresu logiki matematycznej, współautor jednej z aksjomatyk teorii mnogości. Do najbardziej znanych osiągnięć matematycznych Gödla należą twierdzenia o niezupełności i niesprzeczności teorii dedukcyjnych, które obejmują arytmetykę liczb naturalnych.

    Formalizm to kierunek w filozofii matematyki, będący formą rozwojową logicyzmu, który postuluje, że matematyka jest systemem formalnym, który zawiera aksjomaty (współcześnie rolę tę pełnią aksjomaty teorii mnogości), pewien zespół definicji oraz wyprowadza swoje wnioski w oparciu o te pojęcia korzystając z rachunku logicznego zdań.

    Krzysztof Ciesielski (ur. 24 sierpnia 1956) – polski matematyk i popularyzator matematyki, pracownik Katedry Równań Różniczkowych Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego. Syn Romana Ciesielskiego. Prószyński i S-ka to polskie wydawnictwo prasowe i książkowe, działające w latach 1990-2008, oraz nazwa handlowa, pod którą od początku 2009 ukazują się książki wydawane przez wydawnictwo Prószyński Media.

    Pogląd taki implikuje w szczególności kształt teorii dowodu matematycznego, wedle której prawdziwość twierdzenia matematycznego może być określona przez wyprowadzenie go w procesie rachunku logicznego zdań z przyjętych aksjomatów. W szczególności filozoficznym aspektem formalizmu w matematyce jest twierdzenie, że twierdzenia matematyczne nie niosą w sobie żadnej treści poza tą związaną z wykonanym w taki mechaniczny sposób kalkulacją. Innymi słowy prawdziwość twierdzeń matematycznych jest wedle tych poglądów oceniana z pominięciem ich treści (z pominięciem semantyki, a wyłącznie przy użyciu mechanicznej kalkulacji). Dowolne twierdzenie matematyki możliwe jest do wyprodukowania w procesie mechanicznej generacji zdań systemu formalnego.

    Stanford Encyclopedia of Philosophy (SEP) jest ogólnie dostępną encyklopedią internetową filozofii opracowaną przez Stanford University. Każde hasło jest opracowane przez eksperta z danej dziedziny. Są wśród nich profesorzy z 65 ośrodków akademickich z całego świata. Autorzy zgodzili się na publikację on-line, ale zachowali prawa autorskie do poszczególnych artykułów. SEP ma 1260 haseł (stan na 20 stycznia 2011). Mimo, że jest to encyklopedia internetowa, zachowano standardy typowe dla tradycyjnych akademickich opracowań, aby zapewnić jakość publikacji (autorzy-specjaliści, recenzje wewnętrzne).Zdzisław Pogoda (ur. 1955) – polski matematyk, pracownik Zakładu Historii Matematyki Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego oraz profesor Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Nowym Sączu, popularyzator matematyki. Ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie Jagiellońskim w roku 1979. Stopień doktora uzyskał w roku 1982 (promotor: Andrzej Zajtz). Specjalizuje się w geometrii różniczkowej i jej zastosowaniach oraz historii i popularyzacji matematyki. Od roku 1991 jest członkiem Komitetu Redakcyjnego miesięcznika Delta, od roku 2013 członkiem Komitetu Redakcyjnego "European Mathematical Society Newsletter". W latach 1993-2006 był członkiem Komitetu Redakcyjnego czasopisma Wiadomości Matematyczne. Od 2014 jest jednym z redaktorów czasopisma Antiquitates Mathematicae. Jest autorem i współautorem licznych artykułów popularnonaukowych oraz kilku książek, a także laureatem prestiżowych nagród za popularyzację nauki.

    Program formalizacji matematyki zapostulował David Hilbert, jego podstawowym celem było wykazanie niesprzeczności matematyki. Odmienne W realizacji tego programu wzięło udział wielu wybitnych matematyków jak Bertrand Russell czy Alfred North Whitehead, matematycy z grupy Bourbaki i inni. Takim rozumieniem podstaw matematyki zachwiał Kurt Gödel dowodząc twierdzenia o niezupełności systemów formalnych zawierających arytmetykę liczb naturalnych. Wynika z niego, że w każdym systemie formalnym, który zawiera arytmetykę liczb naturalnych i jest niesprzeczny istnieją zdania, których nie uda się na gruncie tego systemu dowieść ani obalić. Rezultat Gödla został wzmocniony pod koniec lat siedemdziesiątych XX wieku przez podanie zdań nierozstrzygalnych w sformalizowanym systemie arytmetyki liczb naturalnych.

    Teoria mnogości lub inaczej: teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:

    Współcześnie formalizm to głównie technika budowania teorii matematycznych, choć można także uważać go za formę paradygmatu matematyki o ile będziemy pamiętali o znanych już współcześnie jego ograniczeniach.

    Przeciwieństwem formalizmu jest platonizm, wedle którego obiekty matematyczne istnieją niezależnie od uprawiającego matematykę umysłu.

    Przedstawiciele[ | edytuj kod]

  • David Hilbert
  • Bertrand Russell
  • Alfred North Whitehead
  • Nicolas Bourbaki
  • Zobacz też[ | edytuj kod]

  • intuicjonizm
  • finityzm
  • konstruktywizm
  • Przypisy[ | edytuj kod]

    Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Bezmiar Matematycznej Wyobraźni. Warszawa: Prószyński i S-ka, 2005. ISBN 83-7337-932-0.
  • Linki zewnętrzne[ | edytuj kod]

    Artykuły na Stanford Encyclopedia of Philosophy (ang.) [dostęp 2018-01-29]:

    Logicyzm to kierunek w filozofii matematyki, zakładający, że można oprzeć jej podstawy na bazie rachunku logicznego zdań (porównaj logika). W szczególności sprowadza to matematykę jako naukę do szczególnego rodzaju formalnej teorii logicznej implementującej pewien zestaw aksjomatów i wyprowadzającej z nich wnioski w oparciu o pewien zespół definicji (porównaj: formalizm (matematyka)).Bertrand Arthur William Russell, 3. hrabia Russell (ur. 18 maja 1872 roku w Ravenscroft (Monmouthshire), zm. 2 lutego 1970 roku w Penrhyndeudraeth, Walia) – brytyjski filozof, logik, matematyk, działacz społeczny i eseista. Laureat Nagrody Nobla w dziedzinie literatury za rok 1950. Zainicjował w 1954 roku kampanię pokojową Pugwash.
  • Alan Weir, Formalism in the Philosophy Mathematics, 11 marca 2015. (Formalizm w filozofii matematyki)
  • Richard Zach, Hilbert's Program, 6 stycznia 2015. (Program Hilberta)




  • Warto wiedzieć że... beta

    Paradygmat − w rozumieniu wprowadzonym przez filozofa Thomasa Kuhna w książce Struktura rewolucji naukowych (The Structure of Scientific Revolutions) opublikowanej w 1962 roku – to zbiór pojęć i teorii tworzących podstawy danej nauki. Teorii i pojęć tworzących paradygmat raczej się nie kwestionuje, przynajmniej do czasu kiedy paradygmat jest twórczy poznawczo - tzn. za jego pomocą można tworzyć teorie szczegółowe zgodne z danymi doświadczalnymi (historycznymi), którymi zajmuje się dana nauka.
    System formalny – w logice i matematyce język formuł (logiki) wraz ze zbiorem reguł wyprowadzania (wywodu) i zwykle zbiorem aksjomatów. Systemy formalne są tworzone i badane zarówno jako samodzielne abstrakcyjne twory, jak i systemy opisu rzeczywistości.
    Intuicjonizm w matematyce to pogląd filozoficzny w zakresie istnienia obiektów matematycznych. Intuicjonizm jest prądem blisko związanym z finityzmem i innymi nurtami konstruktywizmu. Powstał głównie w związku z pojawieniem się teorii mnogości i paradoksów ujawnionych w jej ramach, jednak jego kontekst jest szerszy i ogólnie obejmuje odpowiedź na problemy wynikające z koncepcji nieskończoności i granicy w matematyce. Intuicjoniści uważają, że pewne atrybuty niektórych prostych obiektów matematycznych, jak np. liczb naturalnych czy obiektów geometrycznych lub własności przestrzeni, są nam dane i są dostępne poznaniu dzięki intuicjom jakie posiadamy na ich temat. Uważają oni, że treść twierdzeń matematycznych, a zwłaszcza mechanizmy prowadzące do rozwoju wiedzy matematycznej w znacznej mierze dostępne są dzięki intuicji, możliwości wglądu i zrozumienia ich znaczenia dzięki pewnym często pierwotnym intuicjom umysłu matematyków. Głównym twórcą intuicjonizmu był Luitzen Egbertus Jan Brouwer, który proponował budowę spójnej bazy zasad matematycznych w celu budowy systemu podstaw matematyki z pominięciem koncepcji, które intuicjonizm krytykuje, a więc niekonstruktywne dowody, żonglowanie nieskończonością aktualną itp.
    Alfred North Whitehead (ur. 15 lutego 1861 w Ramsgate, zm. 30 grudnia 1947 w Cambridge w stanie Massachusetts) – angielski filozof, matematyk i fizyk.
    Platonizm – niejednorodny nurt filozoficzny, opierający się na filozofii Platona (427-347 p.n.e.). W poszczególnych epokach historycznych, rozwijały się różne odłamy platonizmu, niejednokrotnie bardzo się od siebie różniące.
    Nicolas Bourbaki – pseudonim grupy francuskich matematyków, którzy w roku 1935 założyli działające przy École normale supérieure w Paryżu stowarzyszenie Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki.
    Teoria dowodu to dział logiki matematycznej zajmujący się analizą pojęcia dowodu oraz możliwych sposobów używania go w rozważaniach matematycznych. Za ojca tej dziedziny uważa się Davida Hilberta, jednego z najwybitniejszych matematyków przełomu dziewiętnastego i dwudziestego wieku.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.76 sek.