• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Forma dwuliniowa



    Podstrony: [1] [2] [3] [4] 5 [6]
    Przeczytaj także...
    Mnożenie przez skalar − jedno z działań dwuargumentowych definiujących przestrzeń liniową w algebrze liniowej (lub ogólniej: moduł w algebrze ogólnej). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z iloczynem skalarnym (nazywanym niekiedy iloczynem wewnętrznym) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.
    Uwagi[ | edytuj kod]
    1. Wynika to z równości skąd
    2. Jeżeli będzie liczbą parzystą, a jest macierzą formy dwuliniowej która jest antysymetryczna, lecz nie jest ani symetryczna, ani alternująca dla z pierścienia rozpatrywanego jako -moduł.
    3. Dostateczność: refleksywność wynika wprost z równości Konieczność: niech warunek daje skąd np. oraz z refleksywności warunek daje wtedy Z podstawienia otrzymuje się co oznacza, że pociąga (podobnie ). Wystarczy teraz pokazać, że niesymetryczna forma refleksywna jest alternująca; z założenia istnieją więc spełniające dla których jeśli lub to daje w przeciwnym przypadku czyli zatem analogicznie Stąd zaś dlatego ze względu na a więc
    4. Ponieważ to a więc w ciele charakterystyki różnej od 2 jest w ciele charakterystyki 2 zachodzi z kolei
    5. Dodając i odejmując stronami równości oraz otrzymuje się przedstawienia oraz Jednoznaczność otrzymuje się z odwrócenia rozumowania.
    6. Wynika to wprost z powyższej uwagi dotyczącej ciał charakterystyki 2.
    7. Zachodzi
    8. Czasem nietrywialność jądra nazywana bywa „niezdegenerowaniem”, a pełność rzędu – „nieosobliwością”; w ten sposób niezdegenerowanie nie musi pociągać nieosobliwości.
    9. Jeśli i to gdzie
    10. Kontrprzykład (zob. ostatni przykład): choć przestrzeń jest niezdegenerowana, to płaszczyzna rozpinana przez wektory oraz w jest zdegenerowana (czyli zdegenerowane jest zawężenie do tej płaszczyzny), gdyż oraz Istnieją w wektory, które nie są prostopadłe do np. ale nie leżą one we wspomnianej płaszczyźnie.
    11. Czasami oznacza się ją symbolem – odpowiada ona wtedy tzw. zewnętrznej ortogonalnej sumie prostej; symbol ten stosuje się również do oznaczania ortogonalności podprzestrzeni danej przestrzeni (z formami dwuliniowymi z niej indukowanymi) – ogólnie mówi się wówczas o wewnętrznej ortogonalnej sumie prostej; w ogólności symbol można stosować względem dowolnych podzbiorów danej przestrzeni, zob. ortogonalność.
    12. Tak jak przestrzeń lokalnie podobną do przestrzeni euklidesowej nazywa się rozmaitością riemannowską (rozmaitość różniczkowa, dla której przestrzeń styczna w każdym jej punkcie wyposażona jest w dodatnio określoną symetryczną formę dwuliniową, tzn. iloczyn skalarny), tak przestrzeń lokalnie podobną do przestrzeni pseudoeuklidesowej nazywa się rozmaitością pseudoriemannowską (rozmaitość różniczkowa, która w dowolnym punkcie ma przestrzeń styczną z niezdegenerowaną, symetryczną formą dwuliniową, tzn. uogólnionym iloczynem skalarnym); odpowiednikiem rozmaitości pseudoriemannowskiej dla niezdegenerowanych alternujących form dwuliniowych (nazywanych też formami symplektycznymi) różniczkowych zamkniętych jest rozmaitość symplektyczna.
    13. Zbiór definiuje się również jako zbiór wówczas jest on podprzestrzenią w a nie izomorfizmem między nimi jest zwykle lub
    14. Pojęcie to jest przypadkiem szczególnym tzw. anihilatora danego podzbioru przestrzeni bądź radykału czyli zbioru tych dla których dla wszystkich który tworzy podprzestrzeń liniową w w powyższym przypadku zachodzi
    15. Dla dowolnej niezdegenerowanej, niekoniecznie refleksywnej, formy oraz podprzestrzeni przestrzeni można zdefiniować zbiory oraz które mają wymiar równy i dla których zachodzi
    16. Niech oznacza płaszczyznę w przestrzeni pseudoeuklidesowej (zob. ostatni i czwarty przykład) rozpinaną przez wektory oraz ponieważ jest niezdegenerowana na to skąd jest jednowymiarowa, a bezpośrednie obliczenia wskazują, iż czyli co oznacza, że nie jest sumą (prostą) oraz co pozostaje w zgodzie ze zdegenerowaniem podprzestrzeni w
    17. Jeśli jest układem ortogonalnym, to zakładając dla każdego zachodzi czyli
    18. Przestrzeń nie ma bazy ortonormalnej względem gdyż równanie nie ma rozwiązań wymiernych, choć jest bazą ortonormalną przestrzeni względem tej samej formy
    19. Macierz formy w tej bazie jest diagonalna z elementami na przekątnej, których nieznikanie jest równoważne odwracalności tej macierzy.
    20. Macierz tej postaci jest macierzą jednostki urojonej w macierzowej reprezentacji liczb zespolonych.
    21. Odpowiadająca tej macierzy niezdegenerowana forma dwuliniowa alternująca ma w pewnej bazie postać przechodząc do bazy standardowej otrzymuje się
    22. Często ustala się go w następujący sposób: współczynnik przy w jest równy
    23. Wzór ten wynika z równoważności wszystkich niezdegenerowanych form dwuliniowych alternujących na przestrzeni liniowej ustalonego wymiaru.

    Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.
  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
  • Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.


    Podstrony: [1] [2] [3] [4] 5 [6]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Szczególna teoria względności (STW) – teoria fizyczna stworzona przez Alberta Einsteina w 1905 roku. Zmieniła ona sposób pojmowania czasu i przestrzeni opisane wcześniej w newtonowskiej mechanice klasycznej. Teoria pozwoliła usunąć trudności interpretacyjne i sprzeczności pojawiające się na styku mechaniki (zwanej obecnie klasyczną) i elektromagnetyzmu po ogłoszeniu przez Jamesa Clerka Maxwella teorii elektromagnetyzmu.
    Macierz jednostkowa (identycznościowa, tożsamościowa) – macierz kwadratowa, której współczynniki są określone wzorami:
    Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.
    Forma kwadratowa albo funkcjonał kwadratowy – w algebrze liniowej szczególna forma (funkcjonał) określona na danej przestrzeni liniowej (tzn. funkcja w ciało jej skalarów), mianowicie jednorodna stopnia 2 funkcja wielomianowa drugiego stopnia.
    Elektrostatyka – dziedzina fizyki zajmująca się oddziaływaniami pomiędzy nieruchomymi ładunkami elektrycznymi. Oddziaływania te zwane są elektrostatycznymi. Elektrostatyka rozpatruje też ładunki poruszające się, o ile pomija się wszystkie efekty wynikające z ruchu ładunków z wyjątkiem zmiany ilości ładunku.
    Jądro – dla danej struktury algebraicznej homomorficzny przeciwobraz elementu neutralnego. Dla danego homomorfizmu f {displaystyle f} jego jądro oznacza się zwykle ker  f {displaystyle {mbox{ker }}f} (od ang. kernel)
    Rozwijanie funkcji (ang. currying) - operacja w funkcyjnych językach programowania polegająca na przekształceniu funkcji, która pobiera parę argumentów i zwraca wynik (f : (P × Q) → R) w funkcję, która po pobraniu argumentu zwraca funkcję, która pobiera argument i zwraca wynik (g : P → (Q → R)). Operacja odwrotna nosi nazwę zwijanie funkcji (ang. uncurrying).

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.162 sek.