Filozofia matematyki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Filozofia matematyki – dział filozofii.

Spór o uniwersalia - filozoficzny problem dotyczący statusu pojęć ogólnych (uniwersaliów, powszechników), historycznie przybierał formę dyskusji wokół istnienia idei. Współcześnie problem także dotyczy psychologii poznawczej, która zajmuje się m.in. pochodzeniem pojęć w umyśle i ich adekwatnością.Empiryzm (od stgr. ἐμπειρία empeiría – "doświadczenie") – doktryna filozoficzna głosząca, że źródłem ludzkiego poznania są wyłącznie lub przede wszystkim bodźce zmysłowe docierające do naszego umysłu ze świata zewnętrznego, zaś wszelkie idee, teorie itp. są w stosunku do nich wtórne.

Wśród zagadnień filozoficznych związanych z matematyką można wyróżnić dwa główne bloki problemowe: blok problemów ontologicznych, tj. zagadnień istnienia, sposobów i kryteriów istnienia i natury bytów matematycznych, oraz blok zagadnień epistemologicznych, tj. zagadnień natury poznania matematycznego, granic poznania matematycznego i kryteriów prawdziwości poznania matematycznego.

Sir Michael Anthony Eardley Dummett (ur. 27 czerwca 1925 w Londynie, zm. 27 grudnia 2011 w Oksfordzie) – angielski filozof i logik. Stanford Encyclopedia of Philosophy (SEP) jest ogólnie dostępną encyklopedią internetową filozofii opracowaną przez Stanford University. Każde hasło jest opracowane przez eksperta z danej dziedziny. Są wśród nich profesorzy z 65 ośrodków akademickich z całego świata. Autorzy zgodzili się na publikację on-line, ale zachowali prawa autorskie do poszczególnych artykułów. SEP ma 1260 haseł (stan na 20 stycznia 2011). Mimo, że jest to encyklopedia internetowa, zachowano standardy typowe dla tradycyjnych akademickich opracowań, aby zapewnić jakość publikacji (autorzy-specjaliści, recenzje wewnętrzne).

Główne koncepcje[ | edytuj kod]

Początkiem sporu o naturę obiektów matematycznych była platońska koncepcja idei, którym Platon przypisał istnienie realne – stanowisko to stało się początkiem skrajnego realizmu pojęciowego. Przeciw Platonowi wystąpił Arystoteles, którego poglądy stały się początkiem umiarkowanego realizmu pojęciowego. W średniowieczu spór o sposób istnienia pojęć rozgorzał na nowo jako spór o uniwersalia – wykształciło się w nim nowe stanowisko, nominalizm, w ostatnich wiekach epoki dominujące. Wprawdzie filozofia starożytna i średniowieczna zajmowała się sporem o status ontyczny wszelkich pojęć, a nie tylko obiektów matematycznych, niemniej współczesne stanowiska w kwestii bytów matematycznych są zbliżone, a realizm pojęciowy i nominalizm nadal stanowią jedne z głównych stanowisk w filozofii matematyki. Jako samodzielny dział filozofia matematyki rozwinęła się dopiero pod koniec XIX w. dzięki zaistniałemu w tym okresie rozwojowi formalnych metod logiki.

Aprioryzm (w filozofii stanowi przeciwieństwo aposterioryzmu, nazywany bywa także ultraracjonalizmem) - pogląd, według którego możliwe jest poznanie a priori, tj. przed doświadczeniem, nie opierające się na nim. Aprioryzm skrajny traktuje poznanie a priori jako jedyne obowiązujące, tym samym nie odnosi się do innych metod poznania. Taki pogląd występuje między innymi u Platona i Parmenidesa. W filozofii współczesnej istnieje także aprioryzm umiarkowany, zakładający istnienie wiedzy apriorycznej, która obok wiedzy wspartej poprzez doświadczenie buduje prawdziwy obraz rzeczywistości.Rzecz, substancja pierwsza, byt jednostkowy (łac. res) – kategoria przedmiotów, od innych przedmiotów (np. zdarzeń czy relacji) różniących się tym, że:

Według realizmu (nazywanego dla odróżnienia od innych stanowisk filozoficznych noszących tę nazwę antynominalizmem) uniwersalia istnieją realnie i niezależnie od egzemplifikujących je rzeczy. W filozofii matematyki analogicznie realiści twierdzą, że obiekty matematyczne to realnie istniejące lub skonstruowane poznawczo przedmioty abstrakcyjne. Realizm skrajny, zwany też platonizmem (w węższym znaczeniu) mówi, że obiekty matematyczne są pozaczasowymi, rzeczywistymi i obiektywnymi bytami, w przeciwieństwie do czasowych, przemijalnych i nie posiadających pełni istnienia przedmiotów zmysłowych i zjawisk.

Ontyczny (z gr. on - byt) - bytowy, odnoszący się do bytu, w jakiś sposób związany z bytem. Niekiedy używa się też rzeczownika ontyczność. Pod wpływem znaczenia terminu w filozofii Martina Heideggera używa się tego terminu także na określenie tego, co dotyczy jedynie bytów konkretnych.Język w logice matematycznej to pewien zbiór symboli, przy użyciu których można tworzyć bardziej złożone wyrażenia (na przykład formuły, zdania) według ściśle określonych reguł syntaktycznych. Przyjmuje się, że w danym języku L mogą występować (w dowolnej ilości) symbole funkcyjne, relacyjne oraz symbole stałych. Zdania napisane przy użyciu języków tego typu wystarczają do opisu większości własności dowolnych struktur matematycznych oraz do wyrażenia twierdzeń mówiących o tych strukturach.

Konstruktywizm w filozofii matematyki (nawiązujący do dawnego konceptualizmu w sporze o uniwersalia) obejmuje różne kierunki w filozofii matematyki, których cechą wspólną jest żądanie ograniczenia się do rozpatrywania wyłącznie obiektów matematycznych konstruowalnych i do operacji konstruktywnych. Kierunki te różnią się sposobem rozumienia pojęcia konstruowalności (jednym z nich jest postulat wykonywalności w skończonej liczbie kroków). Jednym z najlepiej rozwiniętych kierunków konstruktywistycznych jest intuicjonizm.

Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:Friedrich Ludwig Gottlob Frege (ur. 8 listopada 1848 w Wismarze, zm. 26 lipca 1925 w Bad Kleinen) – niemiecki matematyk, logik i filozof, profesor matematyki w Jenie.

Nominalizm, który zarysował się w starożytności na gruncie rozważań na temat logiki Arystotelesa i jego komentatorów, zaczął przybierać dojrzałą postać w XII w. (Abelard, Roscelin), w pełni rozwinął się jednak dopiero w wieku XIV William Ockham. Nominaliści uważają, że pojęcia ogólne nie istnieją samodzielnie, są to tylko czyste nazwy (flatus vocis). Realiści przyjęli liberalne kryterium istnienia bytów matematycznych - obiekt matematyczny istnieje, jeśli nie jest wewnętrznie sprzeczny. Konstruktywiści przyjęli stanowisko rygorystyczne – kryterium istnienia obiektu matematycznego jest istnienie metody jego konstrukcji.

Logicyzm to kierunek w filozofii matematyki, zakładający, że można oprzeć jej podstawy na bazie rachunku logicznego zdań (porównaj logika). W szczególności sprowadza to matematykę jako naukę do szczególnego rodzaju formalnej teorii logicznej implementującej pewien zestaw aksjomatów i wyprowadzającej z nich wnioski w oparciu o pewien zespół definicji (porównaj: formalizm (matematyka)).Konceptualizm - w średniowieczu stanowisko w sporze o uniwersalia, przeciwstawne realizmowi pojęciowemu, jedna z umiarkowanych postaci nominalizmu.

Trzy główne XX-wieczne stanowiska w filozofii matematyki są rozbudowanymi wersjami stanowisk dawniejszych – formalizm nawiązuje do nominalizmu, intuicjonizm do konceptualizmu, logicyzm do skrajnego realizmu pojęciowego.

Według formalistów przedmiotem badań matematycznych są teorie dające się wyprowadzić w określony sposób z pewnych założonych zdań logicznych, zwanych aksjomatami. Aksjomaty są zapisywane w sformalizowanym języku danej teorii, mającym ściśle określony system znaków i reguł służących do ich przekształcania. Zdania teorii ujmuje się jako niezinterpretowane serie symboli. Nie postuluje się istnienia rozpatrywanych obiektów.

Bertrand Arthur William Russell, 3. hrabia Russell (ur. 18 maja 1872 roku w Ravenscroft (Monmouthshire), zm. 2 lutego 1970 roku w Penrhyndeudraeth, Walia) – brytyjski filozof, logik, matematyk, działacz społeczny i eseista. Laureat Nagrody Nobla w dziedzinie literatury za rok 1950. Zainicjował w 1954 roku kampanię pokojową Pugwash.Formalizm to kierunek w filozofii matematyki, będący formą rozwojową logicyzmu, który postuluje, że matematyka jest systemem formalnym, który zawiera aksjomaty (współcześnie rolę tę pełnią aksjomaty teorii mnogości), pewien zespół definicji oraz wyprowadza swoje wnioski w oparciu o te pojęcia korzystając z rachunku logicznego zdań.

Intuicjoniści głoszą, że cała matematyka może być oparta na pierwotnej intuicji ciągu liczb naturalnych oraz na uznawanej za intuicyjną zasadzie indukcji. Dopuszcza się wyłącznie konstrukcyjne dowody istnienia. Według intuicjonistów aktywność matematyczna umysłu ludzkiego ma charakter twórczy – konstruuje on obiekty matematyczne, nie odkrywa. Niesprzeczność jest dla intuicjonistów warunkiem koniecznym istnienia, ale nie warunkiem wystarczającym – byt matematyczny musi oprócz tego zostać skonstruowany. Intuicjoniści dokonują także reformy metodologii logiki formalnej uznając, że źródłem antynomii w matematyce jest brak oparcia w pierwotnych intuicjach, związany z nieuprawnionym przeniesieniem intuicji o przedmiotach skończonych na przedmioty nieskończone, posługiwaniem się nieostrymi terminami logiki klasycznej (głównie kwantyfikatorami ogólnymi) i przyjmowaną w logice klasycznej zasadą wyłączonego środka. Intuicjonizm w filozofii matematyki wywarł duży wpływ na ogólną problematykę ontologiczną, zwłaszcza filozofię Michaela Dummetta.

Abelard – imię męskie zapewne pochodzenia francuskiego (prowansalskiego), którego pierwotne znaczenie wywodzone jest od wyrazu prowansalskiego abelha, oznaczającego „pszczelarza”. Jednak bywa ono także łączone z niemieckimi imionami Adalhard (dosł. „szlachetna siła”) bądź też Eberhard (dosł. „silny jak dzik”). Nominalizm pojęciowy – pogląd filozoficzny, sformułowany w średniowiecznym sporze o uniwersalia, odmawiający realnego (to znaczy poza umysłem i poza mową ludzką) istnienia pojęciom ogólnym (uniwersaliom), uznający je za nazwy, służące jedynie komunikacji językowej. Nominalizm często wiąże się z empiryzmem oraz pozytywizmem. Przeciwstawnym poglądem jest realizm pojęciowy. Według nominalistów każdemu pojęciu odpowiadają jednostkowe konkretne przedmioty, czyli desygnaty.

Logicyzm głosi, że wszystkie twierdzenia matematyki można, posługując się definicjami i regułami logicznymi, zredukować do logiki. Głównymi twórcami klasycznych wersji logicyzmu są Gottlob Frege i Bertrand Russell.

Główne stanowiska epistemologiczne w filozofii matematyki odpowiadają głównym kierunkom epistemologii. Empiryzm uznaje zdania matematyki za zdania empiryczne, aprioryzm za zdania analityczne a priori. Według konwencjonalistów aksjomaty matematyki mają charakter odgórnie przyjętej konwencji.

Intuicjonizm w matematyce to pogląd filozoficzny w zakresie istnienia obiektów matematycznych. Intuicjonizm jest prądem blisko związanym z finityzmem i innymi nurtami konstruktywizmu. Powstał głównie w związku z pojawieniem się teorii mnogości i paradoksów ujawnionych w jej ramach, jednak jego kontekst jest szerszy i ogólnie obejmuje odpowiedź na problemy wynikające z koncepcji nieskończoności i granicy w matematyce. Intuicjoniści uważają, że pewne atrybuty niektórych prostych obiektów matematycznych, jak np. liczb naturalnych czy obiektów geometrycznych lub własności przestrzeni, są nam dane i są dostępne poznaniu dzięki intuicjom jakie posiadamy na ich temat. Uważają oni, że treść twierdzeń matematycznych, a zwłaszcza mechanizmy prowadzące do rozwoju wiedzy matematycznej w znacznej mierze dostępne są dzięki intuicji, możliwości wglądu i zrozumienia ich znaczenia dzięki pewnym często pierwotnym intuicjom umysłu matematyków. Głównym twórcą intuicjonizmu był Luitzen Egbertus Jan Brouwer, który proponował budowę spójnej bazy zasad matematycznych w celu budowy systemu podstaw matematyki z pominięciem koncepcji, które intuicjonizm krytykuje, a więc niekonstruktywne dowody, żonglowanie nieskończonością aktualną itp.Epistemologia (od stgr. ἐπιστήμη, episteme – „wiedza; umiejętność, zrozumienie”; λόγος, logos – „nauka; myśl”), teoria poznania lub gnoseologia – dział filozofii, zajmujący się relacjami między poznawaniem, poznaniem a rzeczywistością. Epistemologia rozważa naturę takich pojęć jak: prawda, przekonanie, sąd, spostrzeganie, wiedza czy uzasadnienie.


Podstrony: 1 [2] [3]




Warto wiedzieć że... beta

William Ockham /ang. William of Occam/ (ur. ok. 1285, zm. 9 kwietnia 1348 lub 1347) – filozof, teolog franciszkański z nurtu woluntarystycznego, twórca teorii teologicznych, które postawiły go w konflikcie z oficjalnym nauczaniem Kościoła rzymskokatolickiego. Zmarł niepojednany z Kościołem, ale krótko po śmierci, w 1359 roku, został oficjalnie zrehabilitowany przez papieża Innocentego VI.
W logice matematycznej teorią nazywamy niesprzeczny zbiór zdań. Dokładniej, niech T będzie zbiorem zdań zapisanych w pewnym języku L. Wtedy T jest teorią, jeśli nie istnieje zdanie napisane w języku L takie że T dowodzi zarówno tego zdania, jak i jego zaprzeczenia. Zbiór zdań T dowodzi zdania X, jeśli można przeprowadzić formalny dowód zdania X przy użyciu zdań ze zbioru T oraz aksjomatów i reguł dowodzenia klasycznego rachunku logicznego.
a priori (łac. z góry, uprzedzając fakty, z założenia) – wyrażenie, które w filozofii Zachodu od czasów Immanuela Kanta nabrało powszechnego znaczenia na określenie tego, co pierwotne, uprzednie lub wcześniejsze i nie podlegające dowodzeniu – stało się antonimem określenia a posteriori dla tego, co wtórne. Jest to w pewnym sensie równoważne określeniu założenie.
Arystoteles (gr. Ἀριστοτέλης, Aristotelēs, ur. 384 p.n.e., zm. 7 marca 322 p.n.e.) – filozof, jeden z trzech, obok Sokratesa i Platona najsławniejszych filozofów starożytnej Grecji. Nazywany też Stagirytą (od miejsca urodzenia), lub po prostu Filozofem (w tekstach średniowiecznych i nowożytnych).
Zjawisko, fenomen (gr. phainomenon obserwowany) – pojęcie filozoficzne oznaczające to, co dane jest w poznaniu zmysłowym, a więc obrazy, dźwięki, zapachy, smaki itd.
Filozofia (gr. φιλοσοφία – umiłowanie mądrości) – rozważania na temat podstawowych problemów takich jak np. istnienie, umysł, poznanie, wartości, język.
Roman Murawski (ur. 15 lipca 1949 w Poznaniu) – polski matematyk, logik, filozof, teolog, profesor Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu. Zajmuje się logiką matematyczną i podstawami matematyki oraz filozofią matematyki i historią logiki.

Reklama