Dodawanie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dodawanie jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Obiekty dodawane to składniki, wynik dodawania nazywa się sumą. Dodawanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem plus:

Algebra Boole’a – algebra ogólna stosowana w matematyce, informatyce teoretycznej oraz elektronice cyfrowej. Jej nazwa pochodzi od nazwiska matematyka, filozofa i logika George’a Boole’a. Teoria algebr Boole’a jest działem matematyki na pograniczu teorii częściowego porządku, algebry, logiki matematycznej i topologii.Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo Parser nie mógł rozpoznać (Nie można zapisać obrazu z wzorem w systemie plików.): 5

Dodawanie liczb[ | edytuj kod]

Dodawanie pisemne liczb naturalnych[ | edytuj kod]

W niektórych przypadkach dodawanie w pamięci jest trudne. Można tę operację uprościć, wykorzystując metodę dodawania pisemnego, która pozwala obliczyć sumę, wykonując w pamięci wyłącznie dodawanie liczb jednocyfrowych.

Ułamek dziesiętny – zapis liczby rzeczywistej w postaci ułamka, którego mianownik jest potęgą o wykładniku naturalnym liczby 10.Ciąg Cauchy’ego – ciąg elementów przestrzeni metrycznej (np. zbioru liczb rzeczywistych) spełniających tzw. warunek Cauchy’ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy’ego.

Poniżej podany jest przykład obliczenia sumy dwóch, trzycyfrowych liczb: i Drugą liczbę zapisujemy pod pierwszą, tak by cyfry zostały zapisane w kolumnach. Zapisując liczby, należy je wyrównać do prawej, czyli zapisać jedności nad jednościami, dziesiątki nad dziesiątkami itd. Pod drugą liczbą narysuje się linię:

Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Figura geometryczna – w geometrii inna nazwa podzbioru danej przestrzeni, zwykle przestrzeni euklidesowej, afinicznej lub rzutowej.

Dodawanie rozpoczynamy od prawej kolumny zawierającej cyfry jedności obu liczb. Cyfrą jedności jest cyfrą jedności jest
Dodajemy te dwie liczby jednocyfrowe, a ostatnią w wyniku zapisujemy pod kreską. więc na pozycji jedności pod kreską piszemy

Kongruencja a. przystawanie – relacja równoważności określona w danym systemie algebraicznym. Jedną z najbardziej znanych kongruencji jest przystawanie liczb całkowitych.Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.

Przechodzimy z dodawaniem do następnej kolumny, gdzie dodajemy do siebie liczby jednocyfrowe odpowiadające cyfrom dziesiątek. Cyfrą dziesiątek jest cyfrą dziesiątek jest
piszemy pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a przenosimy do kolumny setek:

Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

Pozostała kolumna setek: dodajemy z trzeciej kolumny otrzymując piszemy w kolumnie setek pod kreską:

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

otrzymując wynik

Systemy pozycyjne – metody zapisywania liczb (in. systemy liczbowe) w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Np. powszechnie używa się systemu dziesiętnego, w którym za bazę przyjmuje się liczbę dziesięć. Tym samym napis 46532 oznacza 4 × 10 4 + 6 × 10 3 + 5 × 10 2 + 3 × 10 1 + 2 × 10 0 = 46532 {displaystyle 4 imes 10^{4}+6 imes 10^{3}+5 imes 10^{2}+3 imes 10^{1}+2 imes 10^{0}=46532} .Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako B k {displaystyle ,{B_{k}}} , gdzie k {displaystyle ,{k}} jest numerem porządkowym liczby, k = 0 , 1 , 2... , {displaystyle k=0,1,2...,} wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: 1 10 + 2 10 + 3 10 + . . . + 1000 10 {displaystyle 1^{10}+2^{10}+3^{10}+...+1000^{10}} "w pół kwadransa". Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.

Dodając pisemnie wiele liczb („podliczanie słupków”), wygodnie jest dodać osobno jednostki, dziesiątki, setki itd., napisać wyniki (odpowiednio przesunięte) jeden pod drugim i ponownie zsumować. Pozwala to, w przypadku pomyłki, powtarzać tylko część obliczeń:

Uwaga: Liczby można dodawać pisemnie tylko w systemach pozycyjnych.

Ciąg arytmetyczny – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz można otrzymać dodając wyraz bezpośrednio go poprzedzający oraz ustaloną liczbę, zwaną różnicą ciągu. Zwykle mówiąc o ciągu arytmetycznym zakładamy, iż jego wyrazy są liczbami rzeczywistymi, choć sporadycznie rozważa się również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Dodawanie liczb całkowitych[ | edytuj kod]

Możliwe są trzy przypadki, w zależności od znaku dodawanych liczb:

  • Jeśli obydwie są dodatnie, dodajemy je tak jak liczby naturalne powyżej.
  • Jeśli obydwie są ujemne i to należy dodać ich wartości bezwzględne i zmienić znak:
  • Jeśli jedna liczba jest dodatnia a druga ujemna to dodawanie sprowadza się do odejmowania ich wartości bezwzględnych: Aby obliczyć gdy oblicza się i bierze otrzymany wynik ze znakiem „minus”, czyli:
  • Jeśli jedna z liczb jest zerem, suma jest równa drugiemu składnikowi.
  • Dodawanie ułamków[ | edytuj kod]

    Dla liczb wymiernych i dodawanie wymaga najpierw tzw. sprowadzenia do wspólnego mianownika, czyli takiego przekształcenia tych ułamków, aby ich mianowniki były równe.

    Arytmetyka (łac. arithmetica, gr. αριθμητική arithmētikē, od αριθμητικός arithmētikos – arytmetyczna, od αριθμειν arithmein – liczyć, od αριθμός arithmós – liczba; spokr. ze staroang. rīm – liczba, i być z gr. αραρισκειν arariskein – pasować) – jedna z najstarszych część matematyki. W powszechnym użyciu słowo to odnosi się do zasad opisujących podstawowe działania na liczbach (arytmetyka elementarna).Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

    Następnie można zastosować wzór:

    Najmniejszym wspólnym mianownikiem jaki można tu zastosować, jest najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników dodawanych ułamków.

    Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an).

    Przykład:

    Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika można wykonać, mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Dodawanie ułamków sprowadza się wtedy do wzoru:

    Intuicyjnie, zdarzenie losowe to pewien zbiór możliwych wyników danego eksperymentu. Może to być zarówno zbiór składający się z pojedynczego wyniku, jak i zbiór złożony z większej ilości elementów. Zdarzenia losowe rozważa się w rachunku prawdopodobieństwa.Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).

    Przykład:

    Modulo – operacja wyznaczania reszty z dzielenia jednego typu liczbowego przez drugi. W dalszym ciągu napis a   mod   d = r {displaystyle a {mod { }}d=r} będzie oznaczał, iż r {displaystyle r} jest resztą z dzielenia a {displaystyle a} przez d {displaystyle d} .Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.

    W przypadku dodawania pisemnego ułamków dziesiętnych należy przesunąć dodawane liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu:

    Działania arytmetyczne – zwyczajowa nazwa czterech spośród działań algebraicznych: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:

    Definicja formalna[ | edytuj kod]

    Liczby naturalne na ogół definiuje się na jeden z dwóch sposobów: przez użycie liczb kardynalnych lub przez aksjomatykę Peana (zob. aksjomaty i konstrukcje liczb). W pierwszym przypadku dodawanie liczb naturalnych to nic innego jak dodawanie liczb kardynalnych, a w drugim dodawanie definiuje się indukcyjnie:

    Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
  • gdzie jest następnikiem liczby

    Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców. Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

    Działanie dodawania można krok po kroku definiować dla każdego rodzaju liczb:

  • dodawanie dwóch liczb całkowitych i gdzie określone jest wzorem
  • dodawanie dwóch liczb wymiernych określone jest wzorem
  • (w ogólności wzór ten jest definicją dodawania w dowolnym ciele ułamków);
  • dodawanie dwóch liczb rzeczywistych jest określone następująco: jeżeli jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych zbieżnym do a jest zbieżnym do to ciąg jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do
  • dodawanie dwóch liczb rzeczywistych i określa się następująco:
  • W zbiorze ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych wprowadza się relację równoważności: gdy ciąg jest zbieżny do zera. Niech będą ciągami Cauchy’ego liczb wymiernych, wówczas ciąg także jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych. Dowodzi się, że niezależnie od wyboru ciągów zachodzi Klasa abstrakcji reprezentanta jest sumą liczb utożsamianych z klasami reprezentantów
  • dodawanie dwóch liczb zespolonych określone jest wzorem
  • dodawanie dwóch kwaternionów określone jest wzorem
  • Własności sumy wynikające z własności składników[ | edytuj kod]

    Zapis oraz liczba składników[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Sumowanie.

    Dodawanie zwyczajowo oznacza się symbolem na przykład:

    Skalar – w algebrze (liniowej) element ustalonego ciała nad którym zbudowany jest dowolny moduł (przestrzeń liniowa).Odejmowanie – jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.

    Zwykle jest ono rozpatrywane jako działanie dwuargumentowe, można jednak dodawać też mniej niż dwie liczby:

  • sumą zawierającą jeden składnik jest
  • sumą zawierającą zero składników jest liczba zero, ponieważ liczba zero jest elementem neutralnym dodawania.
  • Sumę można rozumieć jako lub Obydwa te wyrażenia są równoważne, gdyż dodawanie jest łączne.

    Sigma (st.gr. σῖγμα, nw.gr. σίγμα, pisana Σσ lub ς) jest osiemnastą literą współczesnego alfabetu greckiego, przy czym "Σ" to majuskuła, "σ" to minuskuła pisana na początku lub w środku wyrazu, zaś "ς" na jego końcu. W dawnym greckim systemie liczbowym używano jej również do oznaczania liczby 200.Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).

    Jeżeli sumujemy wiele składników, wygodnie jest stosować uproszczone zapisy, takie jak wielokropki:

    Nieskończone sumy liczb bądź funkcji są nazywane szeregami, np. jest szczególnym przypadkiem szeregu geometrycznego. Są one ważnym przedmiotem badań analizy matematycznej. Niektóre typowe prawa dodawania nie są tu spełnione, np. zmiana kolejności składników szeregu nieskończonego może zmienić jego sumę.

    Kąt skierowany – para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego.Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

    Gdy rozważa się skomplikowane sumy, stosuje się także zapis z grecką dużą literą sigma:

    czytany „suma składników postaci rozciągnięta na wszystkie wskaźniki od do ”.

    Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.Wacław Franciszek Sierpiński (ur. 14 marca 1882 w Warszawie, zm. 21 października 1969 w Warszawie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej. Był jednym z twórców polskiej szkoły matematycznej.

    Analogicznie można zapisywać szeregi:

    Suma nie musi rozpoczynać się od 1, może rozpoczynać się od dowolnej całkowitej liczby (a także od przy zapisywaniu szeregów „od końca”).

    Biblioteka Narodowa Francji (fr. Bibliothèque nationale de France, BnF) – francuska biblioteka narodowa, znajdująca się w Paryżu. Przewidziana jest jako repozytorium dla wszystkich materiałów bibliotecznych, wydawanych we Francji. Obecnym dyrektorem Biblioteki jest Bruno Racine.Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.

    Notację sigma można uogólnić, gdy dany jest dowolny warunek logiczny dotyczący wskaźnika, np.:

  • jest sumą składników postaci dla każdego całkowitego w pewnym przedziale,
  • jest sumą składników postaci dla każdego (niekoniecznie całkowitego),
  • jest sumą wszystkich dla każdego całkowitego dzielącego
  • gdzie jest dowolną relacją zależną od
  • Możliwe jest także używanie sigmy do zapisywania sum podwójnych.

    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Następnik liczby porządkowej – najmniejsza liczba porządkowa większa niż α {displaystyle alpha } . Liczbę, która jest następnikiem pewnej liczby porządkowej, nazywa się liczbą następnikową. Każda liczba porządkowa różna od 0 {displaystyle 0} jest albo liczbą następnikową, albo graniczną liczbą porządkową.

    Analogiczne zapisy można stosować przy mnożeniu. Zamiast dużej litery sigma, stosowana jest wtedy duża litera pi:

    Przybliżanie całkami oznaczonymi[ | edytuj kod]

    Dla dowolnej rosnącej funkcji zachodzi następująca zależność między całkami a sumami:

    Wzory sumacyjne[ | edytuj kod]

  • (suma ciągu arytmetycznego)
  • gdzie jest k-tą liczbą Bernoulliego.
  • (patrz szereg geometryczny)
  • (szczególny przypadek poprzedniego wzoru dla m = 0)
  • (patrz dwumian Newtona)
  • (prawo rozdzielności dla iloczynu sum, prawdziwe dla sum skończonych i szeregów bezwzględnie zbieżnych)
  • (zamiana zmiennych)
  • (zamiana kolejności sumowania)
  • (manipulacja dziedziną)
  • Suma funkcji[ | edytuj kod]

    Sumę funkcji gdzie jest pewnym zbiorem ze zdefiniowanym działaniem dodawania (np. grupą czy, w szczególności, przestrzenią liniową) definiuje się jako

    Kwaterniony – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.
    dla wszystkich

    Przykłady użycia:

    Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.Znak liczby – właściwość liczby rzeczywistej określająca jej relację względem liczby 0. Liczba może mieć jeden z trzech znaków:
  • Traktując macierze jako funkcje, można określić działanie dodawania macierzy. Aby dodać dwie macierze o tych samych wymiarach, wystarczy dodać ich odpowiednie elementy.
  • Traktując ciągi jako funkcje, można określić dodawanie ciągów.
  • Traktując wielomiany (właściwie funkcje wielomianowe) jako funkcje rzeczywiste otrzymujemy analogiczną definicję dodawania, używaną w analizie matematycznej.
  • Traktując wielomiany jako ciągi współczynników (np. zapisując jako ), otrzymuje się definicję sumy wielomianów używaną w algebrze abstrakcyjnej; aby dodać dwa wielomiany, należy dodać ich współczynniki. Definicję tę rozszerza się w oczywisty sposób na pierścień szeregów formalnych.
  • Pi (st.gr. πῖ, nw.gr. πι, pisana Ππ lub ϖ) – szesnasta litera alfabetu greckiego oznaczająca spółgłoskę zwartą wybuchową p. W greckim systemie liczbowym oznacza liczbę 80.Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




    Warto wiedzieć że... beta

    Miara kąta to wielkość kąta wyrażona w odpowiednich jednostkach. W matematyce i jej zastosowaniach teoretycznych używa się miary łukowej.
    Sumowanie – w matematyce operacja dodawania ciągu liczb, której wynikiem jest suma. Jeśli liczby są dodawane kolejno od lewej do prawej to pośrednie wyniki nazywa się sumami częściowymi lub cząstkowymi. Sumowane liczby (zwane składnikami) mogą być całkowite, rzeczywiste lub zespolone. Oprócz liczb sumowaniu mogą podlegać również inne wielkości: wektory, macierze, wielomiany, lub ogólnie, elementy grupy addytywnej (a nawet monoid). Dla ciągów o skończonej liczbie takich elementów sumowanie zawsze zwraca dobrze określoną sumę.
    Kontrola autorytatywna – w terminologii bibliotekoznawczej określenie procedur zapewniających utrzymanie w sposób konsekwentny haseł (nazw, ujednoliconych tytułów, tytułów serii i haseł przedmiotowych) w katalogach bibliotecznych przez zastosowanie wykazu autorytatywnego zwanego kartoteką wzorcową.
    Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.
    Dwumian Newtona – tradycyjna nazwa twierdzenia nazywanego także wzorem dwumianowym (dwumiennym) lub wzorem Newtona, zgodnie z którym potęgę dwumianu ( x + y ) n {displaystyle (x+y)^{n}} można rozwinąć w sumę jednomianów postaci a x k y l {displaystyle ax^{k}y^{l}} . W każdym z tych jednomianów współczynnik a {displaystyle a} jest dodatnią liczbą całkowitą, a wykładniki przy x {displaystyle x} oraz y {displaystyle y} sumują się do n {displaystyle n} . Współczynniki a {displaystyle a} przy jednomianach są symbolami Newtona i nazywane są współczynnikami dwumianowymi.
    Funkcja monotoniczna – funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.
    Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

    Reklama