C*-algebra

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

C*-algebra (czyt. ce-gwiazdka-algebra; czasami algebra typu C*) – zespolona algebra Banacha z dodatkowym działaniem inwolucji ( jest więc *-algebrą), spełniającym warunek

Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem).Ideał maksymalny – w teorii pierścieni ideał, który jest maksymalny (względem zawierania zbiorów) wśród wszystkich ideałów właściwych danego pierścienia; innymi słowy jest to taki ideał właściwy, który nie zawiera się w żadnym innym ideale danego pierścienia.
(C*)

Motywacją rozważania pojęcia C*-algebry była chęć aksjomatycznego ujęcia własności algebraicznych obserwabli w mechanice kwantowej. C*-algebry będące podalgebrami algebry operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta pojawiły się w matematyce i fizyce matematycznej w latach 30. XX wieku.

Promień spektralny elementu a algebry zespolonej z jedynką A - liczba nieujemna ν A ( a ) {displaystyle u _{A}(a)} , zdefiniowana wzoremForma liniowa albo funkcjonał liniowy (kowektor) – w algebrze liniowej przekształcenie liniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli funkcjonał, który jest liniowy, tj. addytywny i jednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadek modułów nad pierścieniami.

Przykłady[ | edytuj kod]

  • Niech będzie przestrzenią Hilberta. Algebra wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych na ma strukturę algebry Banacha (normą w tej algebrze jest norma operatorowa). Operacja sprzężenia operatora jest inwolucją na tej algebrze spełniającą warunek (C*), tj. algebra jest C*-algebrą. C*-algebra ta jest nieprzemienna, gdyż istnieją niekomutujące ze sobą operatory na przestrzeni Hilberta.
  • Operatory zwarte na przestrzeni Hilberta tworzą domknięty ideał w algebrze (w szczególności, tworzą one domkniętą podalgebrę ). Algebra operatorów zwartych jest zamknięta na inwolucję, a więc sama jest C*-algebrą. Identyczność na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nie jest operatorem zwartym, a więc algebra nie ma jedynki.
  • Niech będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. W przestrzeni Banacha złożonej z zespolonych funkcji ciągłych na i znikających w nieskończoności (normą w tej przestrzeni jest norma supremum) można wprowadzić działanie mnożenia określone punktowo oraz inwolucję, definiując jako sprzężenie zespolone wartości dla każdego punktu przestrzeni Przestrzeń z tak zadanymi działaniami mnożenia i inwolucji jest przemienną C*-algebrą. Algebra ta ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń jest zwarta (wówczas jej elementami są wszystkie zespolone funkcje ciągłe na w tym przypadku używa się zwykle symbolu zamiast ). Przestrzeń (z działaniami mnożenia i inwolucji zadanymi podobnie) jest również przemienną C*-algebrą. W szczególności, przestrzeń jest izomorficzna z przestrzenią gdzie \beta\omega oznacza uzwarcenie Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną. Podobnie, przestrzeń c0 jest algebrą postaci gdzie jest zbiorem liczb naturalnych z topologią dyskretną.
  • W przypadku gdy jest C*-algebrą oraz oznacza algebrę macierzy kwadratowych stopnia to algebrę macierzy o współczynnikach z algebry można w naturalny sposób wyposażyć w strukturę C*-algebry (por. podjednorodna C*-algebra).
  • Elementy normalne, samosprzężone i rzutowania[ | edytuj kod]

    Pojęcia operatora normalnego, samosprzężonego, rzutu rozszerza się na elementy C*-algebr. Dokładniej, o elemencie C*-algebry mówi się, że jest

    Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.William Arveson (ur. 22 listopada 1934 w Oakland w stanie Kalifornia, zm. 15 listopada 2011) – amerykański matematyk, który specjalizował się w teorii algebr operatorów (zob. C*-algebra, algebra Banacha). Pracował jako profesor na University of California w Berkeley. W 1964 doktoryzował się na University of California w Los Angeles. Autor podręczników akademickich:
  • normalny, gdy komutuje ze swoim sprzężeniem, tj.
  • samosprzężony, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj.
  • rzutem, gdy jest samosprzężony i idempotentny, tj. oraz
  • Klasyfikacja rzutów[ | edytuj kod]

    Istnieje naturalna relacja równoważności w rodzinie rzutów danej C*-algebry Dwa rzuty są równoważne w sensie Murraya-von Neumanna (ozn. ), gdy istnieje taka częściowa izometria że i Rzuty dzieli się na skończone i nieskończone. Rzut w C*-algebrze jest

    Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).Twierdzenie Gelfanda-Najmarka - twierdzenie mówiące, iż każda przemienna C*-algebra A jest (izometrycznie) *-izomorficzna z algebrą C0(K) funkcji ciągłych znikających w nieskończoności na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa K. W przypadku, gdy A ma jedynkę, przestrzeń K jest zwarta.
  • nieskończony, gdy dla pewnego właściwego rzutu spełniającego
  • skończony, gdy nie jest nieskończony.
  • Spośród rzutów nieskończonych wyróżnia się rzuty nieskończone w sposób właściwy, tj. takie rzuty dla których istnieją takie dwa rzuty że (wzajemna ortogonalność), oraz

    Dział algebry badający własności pierścieni przemiennych i związanych z nimi obiektów (ideałów, modułów, waluacji itp.).Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

    Dla niezerowego rzutu następujące warunki są równoważne:

    1. jest nieskończony w sposób właściwy,
    2. istnieją takie częściowe izometrie że oraz
    3. obraz w dowolnej algebrze ilorazowej poprzez kanoniczny homomorfizm ilorazowy jest albo rzutem zerowym albo rzutem nieskończonym.

    Przykładem rzutu, który jest nieskończony, ale nie jest nieskończony w sposób właściwy jest jedynka algebry Toepliza, tj. C*-algebry generowanej przez operator przesunięcia na

    Rzut lub projekcja – w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej uogólnienie pojęcia rzutu znanego z geometrii elementarnej: idempotentny endomorfizm liniowy określony na danej przestrzeni liniowej, czyli operator liniowy zachowujący swój obraz, tzn. dla którego każdy element obrazu jest punktem stałym tego przekształcenia.Operator unitarny - w analizie funkcjonalnej, operator normalny którego złożenie z jego operatorem sprzężonym jest identycznością.

    Elementy normalne i twierdzenie spektralne[ | edytuj kod]

    Każdy element samosprzężony jest normalny. Twierdzenie spektralne rozszerza się na elementy C*-algebr i w swej najbardziej abstrakcyjnej formie mówi, że najmniejsza C*-algebra z jedynką generowana przez element normalny jest przemienna. Twierdzenie, to prowadzi do pojęcia ciągłego rachunku funkcyjnego dla elementu normalnego tj. pozwala zdefiniować ściśle element gdzie jest zespoloną funkcją ciągłą określoną na widmie

    Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.Funkcja charakterystyczna zbioru – jedno z pojęć matematycznych, mających zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).

    W przypadku gdy C*-algebra jest postaci to jej rzutami są funkcje będące funkcjami charakterystycznymi domknięto-otwartych podzbiorów (jeżeli przestrzeń jest spójna i zwarta istnieją tylko dwa rzuty: funkcja stale równa 0 i funkcja stale równa 1).

    Iloczyny tensorowe C*-algebr – dla pary C*-algebr A i B, C*-algebry będące uzupłenieniami C*-norm na (algebraicznym) iloczynie tensorowym A ⊙ B, uzależnionych od norm w A i B. W ogólności, może istnieć wiele nieizomorficznych iloczynów tensorowych danej pary C*-algebr. Każda C*-norma na A ⊙ B jest normą krzyżową, tj. spełnia warunekLiczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




    Warto wiedzieć że... beta

    Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.
    Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.
    Zbiór gęsty – zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny. W przestrzeni metrycznej ( X , d ) {displaystyle (X,d)} zbiór D ⊂ X {displaystyle Dsubset X} nazywamy gęstym jeśli dla każdego x ∈ X {displaystyle xin X} i liczby ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} istnieje element q ∈ D {displaystyle qin D} taki, że d ( x , q ) < ε {displaystyle d(x,q)<varepsilon } , tzn. dowolnie blisko każdego elementu x ∈ X {displaystyle xin X} znajduje się jakiś element z D {displaystyle D} .
    Operator sprzężony - dla danego operatora liniowego i ograniczonego T: E → F, działającego między przestrzeniami Banacha E i F, operator liniowy
    Obserwabla – w mechanice kwantowej wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie zwane obserwablami. Aby dany operator był obserwablą, jego wektory własne muszą tworzyć bazę przestrzeni Hilberta. Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste. Podczas pomiaru danej wielkości fizycznej otrzymuje się jako wynik jedną z wartości własnych obserwabli przyporządkowanej danej wielkości fizycznej.
    Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana X (z normą ||·||), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka d dana wzorem
    Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej uogólniających twierdzenie teorii macierzy mówiące, że

    Reklama