Brachistochrona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Brachistochrona

Brachistochrona, krzywa najkrótszego spadku (gr. βραχιστoς brachistos – „najkrótszy” + χρovoς chronos – „czas”) – krzywa, po której masa punktowa pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) stacza się w możliwie najkrótszym czasie. Brachistochrona jest fragmentem cykloidy.

Siła ciężkości, pot. ciężar – jest to wypadkowa sił (zobacz też siła) z jaką Ziemia lub inne ciało niebieskie przyciąga dany obiekt i siły odśrodkowej wynikającej z obiegu określonego obiektu wokół Ziemi (ciała niebieskiego).Zasada zachowania energii – empiryczne prawo fizyki, stwierdzające, że w układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała (nie zmienia się w czasie). W konsekwencji, energia w układzie izolowanym nie może być ani utworzona, ani zniszczona, może jedynie zmienić się forma energii. Tak np. podczas spalania wodoru w tlenie energia chemiczna zmienia się w energię cieplną.

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Postawiony w 1696 przez Johanna Bernoulliego problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Johanna Bernoulliego oraz de l’Hospitala. Braquistócrona.gif

Rozwiązanie zagadnienia[ | edytuj kod]

Przy założeniu, że równaniem szukanej krzywej jest punkty i można zapisać następująco:

Johann Bernoulli (ur. 27 lipca 1667 w Bazylei, zm. 1 stycznia 1748 tamże) – matematyk i fizyk szwajcarski. Pochodził ze znanej rodziny matematyków – Bernoullich. Jego synem był Daniel Bernoulli, bratem – Jacob. Był profesorem uniwersytetów w Groningen (Holandia) od 1695 i Bazylei od 1705 roku. Zajmował się rachunkiem różniczkowym, całkowym i wariacyjnym oraz liniami geodezyjnymi. Sformułował i rozwiązał niezależnie od brata Jakoba zagadnienie brachistochrony. Odkrył talent matematyczny Leonharda Eulera i odwiódł jego ojca od decyzji kształcenia Leonharda na pastora.Cykloida – krzywa, jaką zakreśla punkt leżący na obwodzie koła, które toczy się bez poślizgu po prostej. Cykloidę można narysować za pomocą cykloidografu.
oraz

Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:

3blue1brown – kanał na YouTube poświęcony matematyce, prowadzony przez Granta Sandersona, którego celem jest przedstawienie pojęć matematycznych w sposób wizualny. Język grecki, greka (starogr. dialekt attycki Ἑλληνικὴ γλῶττα, Hellenikè glõtta; nowogr. Ελληνική γλώσσα, Ellinikí glóssa lub Ελληνικά, Elliniká) – język indoeuropejski z grupy helleńskiej, w starożytności ważny język basenu Morza Śródziemnego. W cywilizacji Zachodu zaadaptowany obok łaciny jako język terminologii naukowej, wywarł wpływ na wszystkie współczesne języki europejskie, a także część pozaeuropejskich i starożytnych. Od X wieku p.n.e. zapisywany jest alfabetem greckim. Obecnie, jako język nowogrecki, pełni funkcję języka urzędowego w Grecji i Cyprze. Jest też jednym z języków oficjalnych Unii Europejskiej. Po grecku mówi współcześnie około 15 milionów ludzi. Język grecki jest jedynym językiem z helleńskich naturalnych, który nie wymarł.

gdzie:

Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców. Sir Isaac Newton (ur. 25 grudnia 1642/4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 20 marca 1726/31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.
– długość krzywej, – prędkość, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:

stąd:

Guillaume François Antoine, markiz de l’Hospital lub l’Hôpital (IPA: ​[ɡijom fʁɑ̃swa ɑ̃twan maʁki də lopiˈtal], ur. w 1661 w Paryżu, zm. 2 lutego 1704 tamże) – francuski matematyk.Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Wyrażenia na i można teraz wstawić do wyjściowej całki:

YouTube – serwis internetowy, stworzony w lutym roku 2005, który umożliwia bezpłatne umieszczanie, oglądanie filmów oraz live streaming. Używa technologii FLV do wyświetlania szerokiego wyboru filmów zamieszczonych przez użytkowników (tzw. user-generated content), takich jak zwiastuny filmowe lub telewizyjne, teledyski, jak i dzieła amatorskie: wideoblogi i krótkie własne filmy. Większość materiałów została załadowana na YouTube przez prywatne osoby, ale wiele firm (na przykład Columbia Broadcasting System, BBC, Universal Music Group, w Polsce Polska Agencja Prasowa, Grupa TVN, CD Projekt), różne instytucje i organizacje oferują część swoich materiałów przez YouTube jako część programu partnerskiego.Funkcjonał – w matematyce to przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń. Jest to funkcja, której argumentami są wektory, a wartościami skalary. Często tą przestrzenią jest przestrzeń funkcji - wtedy argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem uważany jest za funkcję funkcji.

Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt jako co upraszcza dalsze rachunki. Dodatkowo można założyć również, że oś skierowana jest do dołu. Zatem aby rozwiązać postawione zagadnienie, należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:

Wielka Encyklopedia Rosyjska (ros. Большая российская энциклопедия, БРЭ) – jedna z największych encyklopedii uniwersalnych w języku rosyjskim, wydana w 36 tomach w latach 2004–2017. Wydana przez spółkę wydawniczą o tej samej nazwie, pod auspicjami Rosyjskiej Akademii Nauk, na mocy dekretu prezydenckiego Władimira Putina nr 1156 z 2002 roku Ekstremum funkcji (l. mn. ekstrema; z łac. extrēmus – najdalszy, ostatni) – maksymalna lub minimalna wartość funkcji.

Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej można zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego

Tautochrona lub izochrona – krzywa, po której czas staczania się masy punktowej pod wpływem stałej siły ciężkości do najniższego jej punktu jest taki sam, niezależnie od punktu startowego na tej krzywej. Nazwa pochodzi o złożenia greckich słów: tautos (ταυτoς) oznaczającego: "taki sam" i chronos (χρovoς): "czas".Kontrola autorytatywna – w terminologii bibliotekoznawczej określenie procedur zapewniających utrzymanie w sposób konsekwentny haseł (nazw, ujednoliconych tytułów, tytułów serii i haseł przedmiotowych) w katalogach bibliotecznych przez zastosowanie wykazu autorytatywnego zwanego kartoteką wzorcową.

gdzie oznacza pewną stałą. Po uproszczeniu powyższego wyrażenia otrzymuje się:

Masa – jedna z podstawowych wielkości fizycznych określająca bezwładność (masa bezwładna) i oddziaływanie grawitacyjne (masa grawitacyjna) obiektów fizycznych. Jest wielkością skalarną. Potocznie rozumiana jako miara ilości materii obiektu fizycznego. W szczególnej teorii względności związana z ilością energii zawartej w obiekcie fizycznym. Najczęściej oznaczana literą m.Krzywa – w matematyce jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak geometria, czy geometria różniczkowa; stosowane również w mowie potocznej. Mimo intuicyjnej prostoty okazało się ono być bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Poprawna definicja powinna obejmować „dowolną linię” (w szczególności na płaszczyźnie lub przestrzeni trójwymiarowej), w tym także linię prostą, która mogłaby się rozgałęziać i przerywać.

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci:

Gottfried Wilhelm Leibniz, znany także pod nazwiskiem Leibnitz (ur. 1 lipca 1646 w Lipsku, zm. 14 listopada 1716 w Hanowerze) – niemiecki polihistor: filozof, matematyk, prawnik, inżynier–mechanik, fizyk, historyk i dyplomata.


Podstrony: 1 [2] [3]




Reklama