Algebra abstrakcyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Permutacje kostki Rubika mają strukturę grupy. Grupa to podstawowe pojęcie algebry abstrakcyjnej.

Algebra abstrakcyjna (dawniej algebra współczesna) – dział matematyki zajmujący się badaniem struktur algebraicznych oraz homomorfizmów zachowujących te struktury. Strukturami algebraicznymi są m.in.: grupy, półgrupy, pierścienie, ciała, moduły, ideały, przestrzenie wektorowe, grupoidy, algebry nad ciałami. Za najważniejsze struktury uważa się grupy, pierścienie i ciała. Do badania tych struktur wykorzystuje się homomorfizmy i inne narzędzia. Określenie algebra abstrakcyjna zostało wprowadzone na początku XX wieku dla odróżnienia tej dziedziny nauki od innych części algebry. Niekiedy za części algebry abstrakcyjnej uznaje się także następujące dyscypliny matematyczne: algebrę liniową, elementarną teorię liczb i matematykę dyskretną. Na przykład Ash przydzielił do algebry abstrakcyjnej następujące obszary matematyki: logikę matematyczną i podstawy matematyki, elementarną arytmetykę, elementarną teorię liczb, nieformalną teorię grup, algebrę liniową i teorię operatorów liniowych.

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

Algebraik Claude Chevalley twierdził, że algebra przede wszystkim stanowi język matematyki i nie istnieje sama dla siebie, lecz jej kierunki rozwoju są uzależnione od potrzeb w innych dziedzinach matematyki. Hermann Weyl w swym artykule Topologie und abstrakte Algebra als zwei Wege mathematischen Verstandisse (1932) stwierdził, iż algebra abstrakcyjna oraz topologia są głównymi drogami zrozumienia matematycznego. Takie ujęcie roli algebry abstrakcyjnej w matematyce może uzasadniać algebraizację całej matematyki, rozpoczętą na przełomie XIX i XX wieku. Algebraizacja matematyki polega na abstrakcyjnym formułowaniu problemów matematycznych w postaci algebraicznej. Osiągane tą metodą wyniki łączą zazwyczaj wiele pozornie odległych działów matematyki i często są zaskakujące.

MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Przypisy[ | edytuj kod]

  1. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 7, Algebra.
  2. Britannica, Abstract Algebra, Mark Andrew Ronan.
  3. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 264–265, Homomorfizm struktur algebraicznych.
  4. John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Gropus.
  5. Edwin Connell „Elements of Abstract and Linear Algebra”, Chapter 02.
  6. Mathematics: About abstract algebra.
  7. John Renze, Eric W. Weisstein, Abstract Algebra, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.).
  8. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 262–264, Grupa.
  9. Encyklopedia Powszechna PWN, PWN, Warszawa 1983, ​ISBN 83-01-00001-5​, t. 1, s. 68, Algebra.
  10. Zdzisław Opial, Algebra wyższa, PWN, Łódź 1972, s. 47-49, Podstawowe typy struktur algebraicznych
  11. John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Rings.
  12. Edwin Connell „Elements of Abstract and Linear Algebra”, Chapter 03.
  13. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 264, Pierścień.
  14. John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Fields.
  15. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 264, Ciało.
  16. John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Modules.
  17. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, ​ISBN 83-01-14388-6​; s. 172, definicja 124.
  18. Sethuraman, B.A.. (2015), „A Gentle Introduction to Abstract Algebra”.
  19. A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups (wyd. rosyjskie). Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1972, s. 15.
  20. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 106–107.
  21. Robert B. Ash, A Primer of Abstract Mathematics, Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1998.
  22. Krzysztof Maurin, Przedmowa, Warszawa, 24 grudnia 1975, [w:] Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978, s. IX.

Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Bolesław Gleichgewicht, Elementy algebry abstrakcyjnej, Warszawa 1974.
  • Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.




    Warto wiedzieć że... beta

    Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.
    Kostka Rubika (węg. „bűvös kocka”, magiczna kostka) – popularna zabawka logiczna wynaleziona przez Ernő Rubika w 1974 roku. W 1976 r. taką samą kostkę skonstruował i opatentował w Japonii inżynier Terutoshi Ishige. Wynalazca kostki Ernő Rubik pierwszy raz układał kostkę przez miesiąc.
    Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.
    Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
    Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców.
    Teoria liczb - dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.
    Krzysztof Maurin /fon. "Morę"/ (ur. 14 lipca 1923 w Warszawie) – polski matematyk i fizyk matematyczny, od 1966 r. profesor zwyczajny matematyki na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, obecnie emerytowany.

    Reklama