Znak liczby

Znak liczby – relacja liczby rzeczywistej względem liczby 0. Liczba może mieć jeden z trzech znaków:

Brahmagupta (598 - 670) - indyjski astronom i matematyk, który rozważał pewną liczbę idei obecnie akceptowanych w matematyce. Jego głównym osiągnięciem na polu matematyki było wprowadzenie pojęcia zera i liczb ujemnych. W dziele Brahmasphutasiddhanta (628), którego tytuł można przetłumaczyć jako Odsłona wszechświata, definiuje zero jako rezultat otrzymany wtedy gdy liczba jest odjęta od samej siebie – była to najlepsza definicja zera znana w tamtych czasach; dzieło to zawiera również pierwsze znane użycie znaku zera. Brahmagupta dostarczył ponadto zasad operowania "majętnościami" i "długami", czyli dodatnimi i ujemnymi liczbami (co uznaje się za pierwsze znane użycie liczb ujemnych). Odsłona Wszechświata zawiera również algorytm obliczania pierwiastka kwadratowego, metodę rozwiązywania równań kwadratowych, i elementarną postać notacji symbolicznej (algebraicznej).Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

dodatni (liczba większa od 0),

zerowy,

ujemny (liczba mniejsza od 0).

Liczbę rzeczywistą o dodatnim znaku nazywa się liczbą dodatnią, o ujemnym znaku liczbą ujemną. Liczbę rzeczywistą niebędącą ujemną (większą lub równą 0) nazywa się nieujemną, a liczbę niebędącą dodatnią (mniejszą lub równą 0) nazywa się niedodatnią.

Kontrola autorytatywna – w terminologii bibliotekoznawczej określenie procedur zapewniających utrzymanie w sposób konsekwentny haseł (nazw, ujednoliconych tytułów, tytułów serii i haseł przedmiotowych) w katalogach bibliotecznych przez zastosowanie wykazu autorytatywnego zwanego kartoteką wzorcową.Gemeinsame Normdatei (GND) – kartoteka wzorcowa, stanowiąca element centralnego katalogu Niemieckiej Biblioteki Narodowej (DNB), utrzymywanego wspólnie przez niemieckie i austriackie sieci biblioteczne.

Znak liczby zaznacza się przed daną liczbą jako + albo −, np. −124,5.
Znak + często jest pomijany w zapisie.

Pewną formalizacją znaku liczby rzeczywistej jest funkcja signum.

Ciało uporządkowane

Pojęcie znaku można zdefiniować w każdym ciele uporządkowanym ( K , + , ⋅ , 0 , 1 , ⩽ ) , {\displaystyle (\mathbb {K} ,+,\cdot ,0,1,\leqslant ),} $(\mathbb {K} ,+,\cdot ,0,1,\leqslant ),$ tzn. takim ciele ( K , + , ⋅ , 0 , 1 ) , {\displaystyle (\mathbb {K} ,+,\cdot ,0,1),} $(\mathbb {K} ,+,\cdot ,0,1),$ w którym jest określona relacja ⩽ {\displaystyle \leqslant } $\leqslant$ będąca porządkiem liniowym zgodnym z operacjami algebraicznymi:

jeśli a ⩽ b , {\displaystyle a\leqslant b,} $a\leqslant b,$ to a + c ⩽ b + c , {\displaystyle a+c\leqslant b+c,} $a+c\leqslant b+c,$

jeśli 0 ⩽ a {\displaystyle 0\leqslant a} $0\leqslant a$ i 0 ⩽ b , {\displaystyle 0\leqslant b,} $0\leqslant b,$ to 0 ⩽ a ⋅ b . {\displaystyle 0\leqslant a\cdot b.} $0\leqslant a\cdot b.$

Innym sposobem definiowania porządku w ciele jest wskazanie zbioru (stożka) elementów dodatnich, tj. największego podzbioru niezerowych elementów, który jest zamknięty na dodawanie i mnożenie w ciele.

Przez analogię do liczb rzeczywistych, w ciałach uporządkowanych ( K , + , ⋅ , 0 , 1 , ⩽ ) {\displaystyle (K,+,\cdot ,0,1,\leqslant )} $(K,+,\cdot ,0,1,\leqslant )$ elementy a ∈ K , {\displaystyle a\in K,} $a\in K,$ dla których a > 0 {\displaystyle a>0} $a>0$ nazywamy elementami dodatnimi.

Liczby zespolone

Niemożność określenia znaku liczby zespolonej o niezerowej części urojonej (na przykład liczby 5 + 4 i {\displaystyle 5+4i} $5+4i$) wynika z tego, że nie istnieje żaden porządek liniowy ⩽ ∗ {\displaystyle \leqslant ^{*}} $\leqslant ^{*}$ w C , {\displaystyle \mathbb {C} ,} $\mathbb C,$ który zgadzałby się ze strukturą algebraiczną ciała liczb zespolonych. Inaczej mówiąc, ciało liczb zespolonych nie jest ciałem uporządkowanym. Istotnie, w ciele uporządkowanym kwadrat każdego elementu jest nieujemny, tymczasem i 2 = − 1 < 0 {\displaystyle i^{2}=-1<0} $i^{2}=-1<0$ (gdzie i {\displaystyle i} $i$ jest jednostką urojoną).

Dla każdej niezerowej liczby zespolonej można jednak określić funkcję signum.

Zobacz też

Brahmagupta

signum