• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Zasada dualności

    Przeczytaj także...
    Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.Twierdzenie Pappusa – ważne twierdzenie geometrii euklidesowej, nazwane od Pappusa z Aleksandrii. Występuje w kilku wersjach:
    Twierdzenie Desargues’a – jedno z pierwszych twierdzeń geometrii rzutowej, sformułowane i udowodnione w XVII wieku przez francuskiego matematyka Gerarda Desargues’a. Wraz z twierdzeniem Pascala stanowi przykład twierdzenia, które jest niezależne od oryginalnego układu aksjomatów geometrii podanego przez Euklidesa – oznacza to, że nie da się go udowodnić ani obalić, bez przyjęcia dodatkowych założeń.

    Zasada dualności (lub dawniej zasada dwoistości) – prawo geometrii rzutowej, mówiące, że dowolne prawdziwe twierdzenie na płaszczyźnie rzutowej zawierające tylko sformułowania:

  • punkt leży na prostej,
  • proste przecinają się w punkcie,
  • punkt należy do stożkowej,
  • prosta jest styczna do stożkowej,
  • jest równoważne twierdzeniu które można otrzymać, jeśli zamieni się w nim pojęcia "prosta" na "punkt" i odwrotnie (i odpowiednio "przechodzi przez" na "leży na") oraz zwrot "punkt należy stożkowej" na "prosta jest styczna do stożkowej" i odwrotnie.

    Karol Borsuk (ur. 8 maja 1905 w Warszawie, zm. 24 stycznia 1982 w Warszawie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.Geometria rzutowa to dział matematyki zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach rzutowych. Do najważniejszych pojęć geometrii rzutowej należą: prosta, płaszczyzna oraz dwustosunek czwórki punktów. Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk Jean-Victor Poncelet, który jej podstawy podał w 1822.

    Przykłady[]

    Współliniowość i współpękowość punktów[]

    Do twierdzenia mówiącego o współliniowości danych punktów rzutowych istnieje dualne twierdzenie o współpękowości odpowiadającym im prostych dualnych.

    Twierdzenie Brianchona i Pascala[]

    Przykładem twierdzeń dualnych są twierdzenie Brianchona i twierdzenie Pascala.

    Twierdzenie Pappusa i Desargues’a[]

    Przykładem twierdzeń dualnych są twierdzenie Pappusa i twierdzenie Desargues’a.

    Włodzimierz Waliszewski (ur. 1934 w Ostrołęce, zm. 14 października 2013 w Łodzi) – polski matematyk, specjalista w zakresie geometrii różniczkowej, prof. dr hab.Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

    Twierdzenie Sylvestera-Gallai[]

    Przykładem twierdzeń dualnych są twierdzenie Sylvestera-Gallai oraz dualne twierdzenie Sylvestera-Gallai.

    Przypisy

    1. Prof. dr hab. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s.326, Zasada dualności
    2. Mariusz Swornóg, Liniowe Stałe Harbourne'a dla konfiguracji rzeczywistych na płaszczyźnie rzutowej, Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie, 2016, s.18, lemat 2.23
    3. Mariusz Swornóg, Liniowe Stałe Harbourne'a dla konfiguracji rzeczywistych na płaszczyźnie rzutowej, Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie, 2016, s.18, obserwacja 2.24
    4. Anna Niewiarowska, Rzutowe, afiniczne i euklidesowe twierdzenia o stożkowych, Uniwersytet Warszawski, s.9, rozdział 2.3.1.
    5. Prof. dr hab. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s.292, twierdzenie Brianchona
    6. Prof. dr hab. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s.293, twierdzenie Pascala
    7. Mariusz Swornóg, Liniowe Stałe Harbourne'a dla konfiguracji rzeczywistych na płaszczyźnie rzutowej, Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie, 2016, s.18, twierdzenie 2.25
    8. Mariusz Swornóg, Liniowe Stałe Harbourne'a dla konfiguracji rzeczywistych na płaszczyźnie rzutowej, Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie, 2016, s.19, twierdzenie 2.27

    Bibliografia[]

  • K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, Warszawa, 1977.
  • L. Dubikajtis, Wiadomości z geometrii rzutowej, Warszawa, 1972.
  • Twierdzenie Brianchona (czyt. Briãszona) opisuje pewną własność sześciokąta opisanego na krzywej stożkowej. Twierdzenie to udowodnił francuski matematyk Charles Julien Brianchon. Twierdzenie jest prawdziwe w geometrii afinicznej i rzutowej. Jest ono dualne do twierdzenia Pascala, co oznacza, że twierdzenia te są równoważne.Pęk prostych — zbiór wszystkich prostych, przechodzących przez ustalony punkt, który nazywamy środkiem pęku, lub równoległych do ustalonej prostej (przechodzących przez punkt nieskończoności). W tym drugim przypadku, mówimimy wówczas o niewłaściwym pęku prostych albo kierunku.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Punkt –  w najogólniejszym ujęciu – to element pewnego zbioru. Np. w zbiorze liczb punktem będzie liczba, w zbiorze samochodów - punktem będzie jakiś samochód. Punkt – rozważany w geometrii – to bezwymiarowy obiekt geometryczny; pojęcie punktu stanowi jedno z podstawowych pojęć geometrii; punkt ma zerowe rozmiary, dwa punkty mogą więc różnić się tylko położeniem. Punkty zaznacza się na rysunku jako × (krzyżyk), kółko lub kropkę i tradycyjnie oznacza wielkimi literami alfabetu łacińskiego (A, B, C).

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.019 sek.