l
  • Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia

  • Prowadzimy badanie na temat nowotworów.
    Potrzebna jest nam pomoc.




    Prosimy o wypełnienie
    anonimowego kwestionariusza

    Zajmie to ok. 10 - 15 minut.


    TAK - pomagam            NIE - odmawiam (zamknij)

    Zebrane informacje wykorzystane zostaną do celów naukowych.
    Temat nie został wyczerpany?
    Zapraszamy na Forum Naukowy.pl
    Jeśli posiadasz konto w serwisie Facebook rejestracja jest praktycznie automatyczna.
    Wystarczy kilka kliknięć.

    Wymiar Hausdorffa

    Przeczytaj także...
    Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.
    Felix Hausdorff (ur. 8 listopada 1868 roku we Wrocławiu (wówczas Breslau), zm. 26 stycznia 1942 roku w Bonn) – niemiecki matematyk, jeden z twórców topologii.

    Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa.

    Definicja[ | edytuj kod]

    Niech s  > 0. Niech \;(X, d) będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru E \subseteq X określamy miarę zewnętrzną H^s_\delta(E) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \operatorname{diam}(A_i)^s\right\},

    gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów \,\{A_i\}_i, które pokrywają E\, i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej \,\delta.

    Pokrycie zbioru – dowolna rodzina zbiorów przestrzeni zawierającej dany zbiór taka, że zbiór ten jest zawarty w sumie elementów tej rodziny.Samuel Eilenberg (ur. 30 września 1913 w Warszawie, zm. 30 stycznia 1998 w Nowym Jorku) – polski i amerykański matematyk żydowskiego pochodzenia, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.

    Gdy \delta\, maleje, to H^s_\delta(E) rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa (dla wykładnika s): H^s(E) = \lim_{\delta \to 0}~H^s_\delta(E).

    Łatwo sprawdzić, że:

  • H^s(E) = 0 \implies H^t(E) = 0     dla każdego \,t>s;
  • H^s(E) = \infty \implies H^t(E) = \infty     dla każdego \,t<s.
  • Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako \operatorname{dim}_H(E) = \inf \{s\colon H^s(E) = 0\} = \sup \{s\colon H^s(E) = \infty\}.

    Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny[ | edytuj kod]

    Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze niemniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)   udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

    Atraktor – w analizie układów dynamicznych: zbiór w przestrzeni fazowej, do którego w miarę upływu czasu zmierzają trajektorie rozpoczynające się w różnych obszarach przestrzeni fazowej. Atraktorem może być punkt, zamknięta krzywa (cykl graniczny) lub fraktal (dziwny atraktor). Atraktor to jedno z podstawowych pojęć używanych w teorii chaosu.Edward Marczewski (ur. 15 listopada 1907 w Warszawie, zm. 17 października 1976 we Wrocławiu; do roku 1940 nosił nazwisko Szpilrajn) − polski matematyk żydowskiego pochodzenia, profesor i rektor Uniwersytetu Wrocławskiego.

    Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)   wykorzystując zamiast miary Hausdorffa logarytm minimalnych liczności ε-pokryć, podzielony przez log(ε).

    Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witolda Hurewicza i Henry'ego Wallmana ; patrz też rosyjskie tłumaczenie , gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

    Praktyczna metoda wyznaczania[ | edytuj kod]

    Dla większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej, obliczanie wymiaru fraktalnego może okazać się trudne. Jednak dla pewnej klasy obiektów fraktalnych można korzystać z następującego twierdzenia:

    Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:Kostka Mengera, gąbka Mengera – bryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i dywanu Sierpińskiego. Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi:

    Niech A_{\infty} będzie atraktorem układu iterowanych odwzorowań w_{1},\dots,w_{k}, będących zwężającymi podobieństwami o skalach podobieństwa a_{1},\dots,a_{k}. Ponadto załóżmy, że obrazy atraktora są rozłączne, to znaczy, że dla każdego i \neq j zachodzi w_{i}(A_{\infty}) \cap w_j(A_{\infty})=\emptyset. Wtedy wymiar Hausdorffa \dim_{H}(A_{\infty}) jest równy liczbie r będącej rozwiązaniem równania:

    Lew Pontriagin (ros. Лев Семёнович Понтрягин) (ur. 3 września 1908 w Moskwie, zm. 3 maja 1988) – matematyk rosyjski.Lew Gienrichowicz Sznirelman, ros. Лев Генрихович Шнирельман (ur. 2 stycznia 1905 w Homlu, zm. 24 września 1938 w Moskwie) – rosyjski matematyk (pochodzenia żydowskiego), prowadzący badania w ramach teorii liczb, geometrii różniczkowej, Analizy Globalnej, oraz topologii. Jeden z wybitnych wyników Sznirelmana dotyczył hipotezy Goldbacha:

    |a_1|^r+\dots+|a_k|^r=1

    Powyższe równanie jest konsekwencją następującego zapisu oraz własnościami miary H^s:

    H^s(A_{\infty}) = H^s(w_{1}(A_{\infty})) + \dots + H^s(w_{k}(A_{\infty}))


    H^s(A_{\infty}) = |a_{1}|^s H^s(A_{\infty}) + \dots + |a_{k}|^s H^s(A_{\infty})


    1=|a_1|^s+\dots+|a_k|^s


    Przykład: dywan Sierpińskiego:

    Dywan Sierpińskiego jest atraktorem układu IFS ośmiu podobieństw o skalach podobieństwa a_{i}=1/3. Wtedy rozwiązaniem równania

    8 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{r}=1

    jest r=\frac{\log(8)}{\log(3)}\approx 1,8928

    Dla kostki Mengera będzie to więc \log(20)/\log(3), dla piramidy Sierpińskiego \log(4)/\log(2)=2, a dla zbioru Cantora \log(2)/\log(3).

    Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.Piramida Sierpińskiego, Gąbka Sierpińskiego, tetrix – zbiór fraktalny, trójwymiarowy odpowiednik trójkąta Sierpińskiego.

    Przypisy

    1. F. Hausdorff, Mathematische Annalen, 79 (1918), s. 157-179
    2. Szpilrajn, La dimension et la mesure, Fund. math., 28 (1937), 81-89
    3. Об одном метрическом свойстве размерности, Annals of Mathematics 33 (1932), 156-162
    4. Witold Hurewicz, Henry Wallman, Dimension Theory, 1941
    5. Witold Hurewicz i Henry Wallman, Теория Размерности, И*Л, 1948, Μοсква
    6. Saupe D., Jürgens H., Peitgen H.-O.,Fraktale - granice chaosu, PWN, Warszawa 1995, t.I, ss. 273-295
    7. Kudrewicz Jacek, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 2007, wydanie czwarte, ss. 58-61
    8. Egdar Gerald, Measure, Topology and Fractal Geometry, Springer-Verlag, 1990
    Niezmiennik metryczny - właściwość nie zmieniająca się przy przekształceniach izometrycznych przestrzeni metrycznej.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)


    Reklama

    tt