l
  • Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Temat nie został wyczerpany?
    Zapraszamy na Forum Naukowy.pl
    Jeśli posiadasz konto w serwisie Facebook rejestracja jest praktycznie automatyczna.
    Wystarczy kilka kliknięć.

    Wahadło matematyczne



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Drgania swobodne (drgania własne) – drgania ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy na ciało nie działają żadne siły, poza siłami określającymi położenie równowagi i siłami dążącymi do jej przywrócenia. Amplituda drgań zależy od wielkości początkowego wychylenia (energii potencjalnej) lub od prędkości początkowej (energii kinetycznej) nadanej ciału.Szerokość geograficzna (ang. latitude, symbol φ) – jedna ze współrzędnych geograficznych, kąt pomiędzy półprostą poprowadzoną ze środka kuli ziemskiej i przechodzącą przez dany punkt na jej powierzchni a płaszczyzną równika.
    Inne znaczenia Ten artykuł dotyczy pojęcia fizycznego. Zapoznaj się również z: Wahadło (narzędzie tortur).
    Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe.
    Siły działające na ciało wahadła: siła grawitacji mg oraz siła napięcia nici T. Siła T równoważy składową siły grawitacji skierowaną wzdłuż nici, gdy nić jest nierozciągliwa.

    Wahadłociało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nie przechodzącej przez jej środek ciężkości. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

    Siła ciężkości, pot. ciężar – jest to wypadkowa sił (zobacz też siła) z jaką Ziemia lub inne ciało niebieskie przyciąga dany obiekt i siły odśrodkowej wynikającej z obiegu określonego obiektu wokół Ziemi (ciała niebieskiego).Współrzędne uogólnione – jest to układ współrzędnych, używany w mechanice klasycznej i mechanice kwantowej do przedstawienia innego układu współrzędnych, w uproszczony sposób.
  • matematyczne,
  • fizyczne.
  • Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest niezależność okresu drgań od amplitudy, co jest dobrze spełnione, gdy maksymalny kąt odchylenia wahadła od pionu jest mniejszy niż 6°. Własność ta, zwana izochronizmem drgań wahadła, stanowi podstawę budowy zegarów wahadłowych.

    Wahadło Foucaulta – wahadło posiadające możliwość wahań w dowolnej płaszczyźnie pionowej. Powolna zmiana płaszczyzny ruchu wahadła względem Ziemi dowodzi jej obrotu wokół własnej osi. Nazwa wahadła upamiętnia jego wynalazcę, Jeana Bernarda Léona Foucaulta, który zademonstrował je w lutym 1851 roku w Paryskim Obserwatorium Astronomicznym. Kilka tygodni później eksperyment powtórzono w Panteonie w Paryżu.Wahadło sprężynowe – ciało zawieszone na sprężynie, które może w polu grawitacyjnym wykonywać pionowe drgania swobodne.

    Spis treści

  • 1 Wahadło matematyczne
  • 1.1 Równanie ruchu wahadła dla dowolnych amplitud
  • 1.2 Przybliżenie małej amplitudy
  • 1.3 Okres drgań o dowolnej amplitudzie
  • 2 Wahadło fizyczne
  • 3 Wahadło Foucaulta
  • 4 Drgania swobodne i nieswobodne wahadła
  • 5 Przypisy
  • 6 Inne
  • 7 Zobacz też
  • 8 Linki zewnętrzne
  • 9 Bibliografia
  • Wahadło matematyczne[ | edytuj kod]

    Jest to punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w polu grawitacyjnym. Wahadło matematyczne stanowi szczególny przypadek wahadła fizycznego .

    Wahadło, nazywane też strappado, było bolesną torturą nie powodującą uszkodzeń skóry, za to zrywającą mięśnie i więzadła. Zaczynano ją od związania rąk ofiary z tyłu, przez pęta przewiązywano linę, którą przeciągano przez przymocowany do sufitu hak. Często do stóp przymocowywano ciężary, jako dodatkowe obciążenie. Gdy kat pociągnął wolny koniec liny, ręce torturowanego zaczynały wyginać się w stronę pleców. Czynił to powoli, co potęgowało ból. Po pewnym czasie, coraz mocniejszego podciągania, kości wyskakiwały ze stawów, czasem nawet pękały i zostawały zerwane ścięgna. Wtedy ręce ofiary znajdowały się równolegle do głowy.Wahadło rewersyjne (czyli odwracalne) to przyrząd będący rodzajem wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używany do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego. Wahadło zostało wynalezione przez Henry’ego Katera w 1817 roku.

    Równanie ruchu wahadła dla dowolnych amplitud[ | edytuj kod]

    Wahadło rzeczywiste może być traktowane jako wahadło matematyczne, jeżeli spełnione są następujące założeniach :

  • Rozmiary ciała są niewielkie w porównaniu do długości nici.
  • Nić jest nieważka (a nie jest np. masywnym prętem, jak w rzeczywistych zegarach wahadłowych).
  • Nić jest nierozciągliwa (a nie jest np. gumą; wtedy układ miałby dwa stopnie swobody i wykonywał drgania złożone).
  • Wahadłu nadano takie warunki początkowe, że wykonuje drgania po okręgu w płaszczyźnie pionowej (a nie np. ruch po elipsie w płaszczyźnie poziomej).
  • Na ciało działają jedynie siła ciężkości oraz siła reakcji nici (a pomijalne są inne siły, np. siła oporów ruchu).
  • Przy tych założeniach równanie ruchu wahadła określa wzór

    Bryła sztywna (inaczej: ciało sztywne, ciało rozciągłe) - pojęcie używane w fizyce oznaczające ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, obiekty w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie, określa się mianem ośrodków ciągłych. Bryła sztywna w ogólnym przypadku posiada sześć stopni swobody.Izochronizm – właściwość wszystkich harmonicznych układów drgających polegająca na niezależności okresu drgań od ich amplitudy. Rzeczywiste układy drgające wykonują z dobrym przybliżeniem drgania harmoniczne i pozostają izochroniczne wówczas, gdy amplituda drgań jest stosunkowo mała. Dla drgań mechanicznych oznacza to np.
    {d^2\theta(t)\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta(t)=0

    gdzie:

  • \theta(t) - kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili t,
  • g - przyspieszenie ziemskie,
  • \ell - długość nici.
  • Wyprowadzenie równania ruchu wahadła: Na ciało zawieszone na nici działa stała i skierowana pionowo w dół siła ciężkości oraz siła napięcia nici. Siła napięcia nici równoważy składową siły ciężkości działającą wzdłuż nici. Niezrównoważona pozostaje składowa siły ciężkości styczna do okręgu, której współrzędna uogólniona (w układzie biegunowym) określona jest wzorem

    Księżyc (łac. Luna, gr. Σελήνη Selḗnē; pol. fraz. „Srebrny Glob”, „srebrny glob”; pol. przest. gw. poet. „miesiąc”; pol. przest. poet. „luna”) – jedyny naturalny satelita Ziemi (nie licząc tzw. księżyców Kordylewskiego, które są obiektami pyłowymi i przez niektórych badaczy uważane za obiekty przejściowe). Jest piątym co do wielkości księżycem w Układzie Słonecznym. Przeciętna odległość od środka Ziemi do środka Księżyca to 384 403 km, co stanowi mniej więcej trzydziestokrotność średnicy ziemskiej. Średnica Księżyca wynosi 3474 km, nieco więcej niż 1/4 średnicy Ziemi. Oznacza to, że objętość Księżyca wynosi około 1/50 objętości kuli ziemskiej. Przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni jest blisko 6 razy słabsze niż na Ziemi. Księżyc wykonuje pełny obieg wokół Ziemi w ciągu 27,3 dnia (tzw. miesiąc syderyczny), a okresowe zmiany w geometrii układu Ziemia-Księżyc-Słońce powodują występowanie powtarzających się w cyklu 29,5-dniowym (tzw. miesiąc synodyczny) faz Księżyca.Wojciech Królikowski (ur. 16 lipca 1926 w Warszawie) – polski fizyk teoretyk (specjalność: teoria cząstek elementarnych i kwantowa teoria pola), profesor emerytowany Instytutu Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego, członek rzeczywisty Polskiej Akademii Nauk (od 1980). W 1952 otrzymał stopień doktora (promotorem jego pracy doktorskiej był profesor Wojciech Rubinowicz), a doktora habilitowanego - w 1957.
     F_s = - m g \sin \theta

    przy czym znak "minus" jest dlatego, że siła ta jest zawsze skierowana w kierunku malejących kątów. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona siła ta nadaje ciału przyspieszenie styczne do okręgu  a_s = \frac{F_s}{m}= - g \sin \theta

    Przyspieszenie styczne można wyrazić jako iloczyn przyspieszenia kątowego  \varepsilon = \frac{d^2 \theta}{dt^2}  i długości promienia \ell okręgu  a_s = \ell {d^2\theta\over dt^2}

    Porównując oba wzory na  a_s otrzymuje się równanie ruchu, podane na początku.

    Wahadło zegarowe – wahadło fizyczne stosowane w zegarach jako element odmierzający jednakowe odcinki czasu. Wahadło zegarowe jest zwykle zbudowane z pręta 2 (patrz rys.) obciążonego obciążnikiem 6 nazywanym soczewką i jest zawieszone na sprężystej taśmie 1 ponad swoim środkiem ciężkości. Wahadło wykonuje drgania w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły grawitacji.Droga Mleczna – galaktyka spiralna z poprzeczką, w której znajduje się m.in. nasz Układ Słoneczny. Droga Mleczna nazywana jest też po prostu Galaktyką. Ale wtedy dla odróżnienia od innych galaktyk pisana wielką literą "G". Zawiera od 100 (według starszych szacunków) do 400 miliardów (według nowszych szacunków) gwiazd. Ma średnicę około 100 000 lat świetlnych i grubość ok. 1000 lat świetlnych.

    Przybliżenie małej amplitudy[ | edytuj kod]

    Amplitudą drgań (amplitudą kątową) nazywa się kąt maksymalnego odchylenia wahadła od położenia równowagi. Dla małych kątów drgań okres ten nie zależy od amplitudy. Jest tak dlatego, że funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem \sin \theta \approx \theta

    i ogólne równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci

    Zegar wahadłowy – zegar mechaniczny wykorzystujący wahadło jako regulator chodu do odmierzania czasu. Do wskazywania czasu w zegarach wahadłowych wykorzystuje się wskaźnik analogowy w postaci tarczy i wskazówek. Zegar wahadłowy napędzany jest zazwyczaj siłą grawitacji (obciążnik na lince), sprężyną lub elektromagnesem.Stefan Banach (ur. 30 marca 1892 w Krakowie, zm. 31 sierpnia 1945 we Lwowie) – polski matematyk, jeden z przedstawicieli lwowskiej szkoły matematycznej.
    \frac{d^{2}\theta(t)}{dt^{2}}+\frac{g}{\ell}\theta(t) =0

    Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych. Wielkość \omega =\sqrt{\frac{g }{\ell}} jest częstością kołową drgań. Ponieważ okres drgań jest związany z częstością wzorem T =\frac{2\pi }{\omega}, to okres drgań wynosi T=2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}

    Wynika stąd, że w przybliżeniu małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

    W ogólności przez g należy rozumieć przyspieszenie względne, jakiego doznaje ciało zawieszone na nici względem punktu zawieszenia. Wzór na okres drgań jest więc słuszny nie tylko dla drgań na Ziemi, ale też np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi. Identyczne wahadło miałoby tam \sqrt 6 razy dłuższy okres drgań. Zaś w stacji kosmicznej krążącej wokół Ziemi, gdzie ciała są w stanie nieważkości, przyspieszenie względne g = 0 i wówczas okres drgań wynosi T=+\infty. Oznacza to, że wahadło w warunkach nieważkości nie wykonuje drgań.

    Efekt Coriolisa – efekt występujący w obracających się układach odniesienia. Dla obserwatora pozostającego w takim układzie objawia się zakrzywieniem toru ciał poruszających się wewnątrz niego. Zakrzywienie to zdaje się być wywołane jakąś siłą, tak zwaną siłą Coriolisa. Siła Coriolisa jest pozorna, występującą jedynie w obracających się układach nieinercjalnych. Dla zewnętrznego obserwatora siła ta nie istnieje. Dla niego to układ zmienia położenie, a poruszające się ciało zachowuje swój stan ruchu zgodnie z I zasadą dynamiki.Nieważkość – stan, w którym działające na układ ciał siły zewnętrzne nie wywołują wzajemnych ciśnień (nacisków) części układu na siebie, a wewnętrzne oddziaływania grawitacyjne są pomijalne. Rzadziej używany jest także termin nieciężkość.

    Okres drgań o dowolnej amplitudzie[ | edytuj kod]

    Zależność okresu drgań wahadła T od amplitudy drgań θo.

    Dla dużych amplitud wahań okres drgań zależy od amplitudy i rośnie wraz z jej wzrostem. Zależność okresu od θo opisuje wzór \begin{alignat}{2}
T(\theta_o) = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left[ \left ( \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2} \right )^2 \cdot \sin^{2 n}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right]
\end{alignat} = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \left( 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \cdots \right)

    Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego.

    Poznań (niem. Posen, łac. Posnania, jidysz פּױזן Pojzn) – miasto na prawach powiatu w zachodniej Polsce, położone na Pojezierzu Wielkopolskim, nad Wartą, u ujścia Cybiny. Historyczna stolica Wielkopolski, od 1999 r. siedziba władz województwa wielkopolskiego i powiatu poznańskiego. Miasto jest istotnym węzłem drogowym i kolejowym, funkcjonuje tu również międzynarodowy port lotniczy.Nieinercjalny układ odniesienia – układ odniesienia poruszający się ruchem niejednostajnym względem jakiegokolwiek inercjalnego układu odniesienia.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Czy wiesz że...? beta

    Wahadło radiestezyjne – przyrząd radiestety. Wahadło to ma służyć do wykrywania różnego typu źródeł domniemanego promieniowania.
    Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.
    Oś obrotu – prosta w przestrzeni określająca kierunek obrotu danego ciała. Wyznacza ona układ odniesienia, względem którego wyznacza się moment bezwładności ciała. Prędkość kątowa jest zawsze równoległa do osi obrotu.
    Pole grawitacyjne – pole wytwarzane przez obiekty posiadające masę. Określa wielkość i kierunek siły grawitacyjnej działającej na znajdujące się w nim inne obiekty posiadające masę. Podstawową teorią opisującą pole grawitacyjne i jego związek z cechami przestrzeni jest ogólna teoria względności (OTW), stworzona przez Alberta Einsteina. Prawo grawitacji sformułował angielski uczony Izaak Newton. Pole opisuje się poprzez podanie natężenia pola grawitacyjnego γ, czyli siły F działającej na masę jednostkową m, lub potencjału grawitacyjnego. Obrazem pola grawitacyjnego są linie pola lub powierzchnie ekwipotencjalne. Kierunek i zwrot linii pola jest zgodny z kierunkiem i zwrotem sił działających na masę punktową.
    Układ inercjalny (inaczej inercyjny) – układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku). Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z zasadą względności Galileusza wszystkie inercjalne układy odniesienia są równouprawnione i wszystkie prawa mechaniki i fizyki są w nich identyczne.
    Janusz Zakrzewski (ur. 23 lipca 1932 w Krakowie, zm. 26 października 2008 w Warszawie) – polski fizyk, profesor doktor habilitowany (od 1971), dziekan Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego (1972–1975) i prorektor Uniwersytetu Warszawskiego (1981-1982).
    Ciało (ciało fizyczne) – termin fizyki i innych dziedzin nauki, oznaczający zbiór cząstek o niezerowej masie spoczynkowej, traktowany jako całość. W odróżnieniu od ciała fizycznego posiadającego niezerową masę spoczynkową, zbiór cząstek o masie spoczynkowej zerowej (będący nośnikiem oddziaływań grawitacyjnych lub elektromagnetycznych) stanowi pole fizyczne. Określenie ciało fizyczne jest podstawowym pojęciem używanym w definicjach i prawach fizycznych w mechanice klasycznej jak i kwantowej, elektrodynamice i innych. Zastępuje słowa: materia, bryła, organizm, obiekt astronomiczny, przedmiot itp.

    Reklama

    tt