l
  • Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Temat nie został wyczerpany?
    Zapraszamy na Forum Naukowy.pl
    Jeśli posiadasz konto w serwisie Facebook rejestracja jest praktycznie automatyczna.
    Wystarczy kilka kliknięć.

    Wahadło matematyczne

    Przeczytaj także...
    Szerokość geograficzna (ang. latitude, symbol φ) – jedna ze współrzędnych geograficznych, kąt pomiędzy półprostą poprowadzoną ze środka kuli ziemskiej i przechodzącą przez dany punkt na jej powierzchni a płaszczyzną równika.Siła ciężkości, pot. ciężar – jest to wypadkowa sił (zobacz też siła) z jaką Ziemia lub inne ciało niebieskie przyciąga dany obiekt i siły odśrodkowej wynikającej z obiegu określonego obiektu wokół Ziemi (ciała niebieskiego).
    Wahadło Foucaulta – wahadło posiadające możliwość wahań w dowolnej płaszczyźnie pionowej. Powolna zmiana płaszczyzny ruchu wahadła względem Ziemi dowodzi jej obrotu wokół własnej osi. Nazwa wahadła upamiętnia jego wynalazcę, Jeana Bernarda Léona Foucaulta, który zademonstrował je w lutym 1851 roku w Paryskim Obserwatorium Astronomicznym. Kilka tygodni później eksperyment powtórzono w Panteonie w Paryżu.
    Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia fizycznego. Zapoznaj się również z: Wahadło (narzędzie tortur).
    Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe.
    Animacja ruchu wahadła ukazująca wektor prędkości i wypadkowego przyspieszenia.

    Wahadłociało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

    Wahadło sprężynowe – ciało zawieszone na sprężynie, które może w polu grawitacyjnym wykonywać pionowe drgania swobodne.Grawitacja (ciążenie powszechne) – jedno z czterech oddziaływań podstawowych, będące zjawiskiem naturalnym polegającym na tym, że wszystkie obiekty posiadające masę oddziałują na siebie wzajemnie przyciągając się.
  • matematyczne
  • fizyczne
  • Wahadło matematyczne[ | edytuj kod]

    Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

    Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest niezależność okresu drgań od maksymalnego wychylenia dla niewielkich wychyleń wahadła.

    Wahadło, nazywane też strappado, było bolesną torturą nie powodującą uszkodzeń skóry, za to zrywającą mięśnie i więzadła. Zaczynano ją od związania rąk ofiary z tyłu, przez pęta przewiązywano linę, którą przeciągano przez przymocowany do sufitu hak. Często do stóp przymocowywano ciężary, jako dodatkowe obciążenie. Gdy kat pociągnął wolny koniec liny, ręce torturowanego zaczynały wyginać się w stronę pleców. Czynił to powoli, co potęgowało ból. Po pewnym czasie, coraz mocniejszego podciągania, kości wyskakiwały ze stawów, czasem nawet pękały i zostawały zerwane ścięgna. Wtedy ręce ofiary znajdowały się równolegle do głowy.Wahadło rewersyjne (czyli odwracalne) to przyrząd będący rodzajem wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używany do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego. Wahadło zostało wynalezione przez Henry’ego Katera w 1817 roku.

    Analiza ruchu wahadła[ | edytuj kod]

    W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest punktem materialnym, zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długości l. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu. Równanie ruchu wahadła określa wzór: {d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0

    Wzór ten można wyprowadzić kilkoma metodami, analizując ruch ciała jako ruch liniowy albo ruch po okręgu. Na ciało to działa stała i skierowana pionowo w dół siła ciężkości. Składowa siły ciężkości działająca wzdłuż nici jest prostopadła do chwilowego kierunku ruchu i wpływa jedynie na kierunek ruchu. Gdy wahadło odchylone jest z położenia równowagi, niezerowa składowa prostopadła do nici działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału przyspieszenie styczne zmieniające wartość prędkości zgodnie ze wzorem:

    Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) to przyspieszenie, którego doznaje ciało na skutek działania siły lub jej składowej prostopadłej do wektora prędkości ciała. Kierunek i zwrot tego przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem tej siły. W wyniku przyspieszenia normalnego nie zmienia się wartość prędkości, tylko jej kierunek.Bryła sztywna (inaczej: ciało sztywne, ciało rozciągłe) - pojęcie używane w fizyce oznaczające ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, obiekty w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie, określa się mianem ośrodków ciągłych. Bryła sztywna w ogólnym przypadku posiada sześć stopni swobody.
     m a_s = - m g \sin \theta

    Składowa styczna przyspieszenia liniowego a_s w ruchu po okręgu związana jest ze zmianą kąta \theta:  a_s = l {d^2\theta\over dt^2}

    Przybliżenie małej amplitudy[ | edytuj kod]

    Dla małych wychyleń θ jest bliskie zera, wówczas funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem (zobacz: Funkcje trygonometryczne), co prowadzi do równania: \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{l}\theta =0

    Powyższe równanie jest równaniem ruchu drgania harmonicznego, którego ogólna postać jest dana wzorem:

    Wahadło zegarowe – wahadło fizyczne stosowane w zegarach jako element odmierzający jednakowe odcinki czasu. Wahadło zegarowe jest zwykle zbudowane z pręta 2 (patrz rys.) obciążonego obciążnikiem 6 nazywanym soczewką i jest zawieszone na sprężystej taśmie 1 ponad swoim środkiem ciężkości. Wahadło wykonuje drgania w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły grawitacji.Zegar wahadłowy – zegar mechaniczny wykorzystujący wahadło jako regulator chodu do odmierzania czasu. Do wskazywania czasu w zegarach wahadłowych wykorzystuje się wskaźnik analogowy w postaci tarczy i wskazówek. Zegar wahadłowy napędzany jest zazwyczaj siłą grawitacji (obciążnik na lince), sprężyną lub elektromagnesem.
    \frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}+\omega ^{2}\theta =0

    gdzie \omega =\frac{2\pi }{T} jest częstością kołową drgań a T - okresem. Wynika stąd, że okres drgań wynosi: T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}

    Takie drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła.

    Wahania o dużej amplitudzie[ | edytuj kod]

    Dla dużych wychyleń okres drgań zależy od maksymalnego wychylenia θ0 i rośnie wraz jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór: \begin{alignat}{2}
T = 2\pi \sqrt{l\over g} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left[ \left ( \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2} \right )^2 \cdot \sin^{2 n}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right]
\end{alignat}

    \approx 2\pi \sqrt{l\over g} \left( 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \cdots \right)

    Efekt Coriolisa – efekt występujący w obracających się układach odniesienia. Dla obserwatora pozostającego w takim układzie objawia się zakrzywieniem toru ciał poruszających się wewnątrz niego. Zakrzywienie to zdaje się być wywołane jakąś siłą, tak zwaną siłą Coriolisa. Siła Coriolisa jest pozorna, występującą jedynie w obracających się układach nieinercjalnych. Dla zewnętrznego obserwatora siła ta nie istnieje. Dla niego to układ zmienia położenie, a poruszające się ciało zachowuje swój stan ruchu zgodnie z I zasadą dynamiki.Model fizyczny − abstrakcyjny twór odzwierciedlający w uproszczeniu układ rzeczywisty. Jednocześnie model fizyczny zachowuje najbardziej istotne cechy układu rzeczywistego.
    Zależność okresu drgań wahadła T od kąta wychylenia \theta.

    Gdy w powyższym wzorze, w sumie, pominie się wyrazy poza pierwszym równym 1, otrzymuje się wzór dla małych wychyleń.

    Wahadło fizyczne[ | edytuj kod]

    Bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

    Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

    Poznań (niem. Posen, łac. Posnania, jidysz פּױזן Pojzn) – miasto na prawach powiatu w zachodniej Polsce, położone na Pojezierzu Wielkopolskim, nad Wartą, u ujścia Cybiny. Historyczna stolica Wielkopolski, od 1999 r. siedziba władz województwa wielkopolskiego i powiatu poznańskiego. Miasto jest istotnym węzłem drogowym i kolejowym, funkcjonuje tu również międzynarodowy port lotniczy.Wahadło radiestezyjne – przyrząd radiestety. Wahadło to ma służyć do wykrywania różnego typu źródeł domniemanego promieniowania.
    
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}

    Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:  T = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g}},

    wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła l_0  l_0 = \frac{I}{md}

    gdzie:

  • d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,
  • g - przyspieszenie ziemskie,
  • I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,
  • m - masa ciała.
  • Wahadło Foucaulta[ | edytuj kod]

    Information icon.svg Osobny artykuł: Wahadło Foucaulta.
    Wahadło Foucaulta w Poznaniu

    Jest to duża masa zawieszona na długiej linie. Dzięki działaniu siły Coriolisa spowodowanej obrotem Ziemi, płaszczyzna drgań wahadła ulega powolnemu obrotowi. Ściśle mówiąc płaszczyzna wahań jest stała w układzie inercjalnym, zatem musi obracać się w układzie wirującym. Obserwowany okres obrotu płaszczyzny ruchu wahadła można zapisać w postaci przybliżonej jako:

    Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.Oś obrotu – prosta w przestrzeni określająca kierunek obrotu danego ciała. Wyznacza ona układ odniesienia, względem którego wyznacza się moment bezwładności ciała. Prędkość kątowa jest zawsze równoległa do osi obrotu.
    T\approx \frac{24 \operatorname {h}}{\sin\varphi}

    gdzie \varphi, to szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło.

    Inne[ | edytuj kod]

  • wahadło torsyjne
  • wahadło rewersyjne
  • wahadło żyroskopowe
  • wahadło balistyczne
  • wahadło kolejowe
  • wahadło Oberbecka
  • wahadło zegarowe
  • wahadło radiestezyjne
  • Zobacz też[ | edytuj kod]

  • masa na sprężynie
  • zegar wahadłowy
  • Bibliografia[ | edytuj kod]

    1. Fizyka Mieczysław Jeżewski, PWN, Warszawa 1966.
    2. ”Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych. T. 1” R. Resnick, D. Halliday (Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa, 1980 r., ISBN 830100987X) tłum. Teresa Butler, Lech Kaniowski i Wojciech Ratyński.
    3. “Fizyka. T. 1” Robert Resnick, David Halliday (Wydaw. Naukowe PWN, Warszawa, 1993 r.) tłum. Teresa Butler-Kaniowska i Wojciech Ratyński.
    4. ''Wstęp do fizyki A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, PWN, Warszawa 1984.
    5. Mechanika Część I. Monografie Matematyczne 8, Stefan Banach:, Warszawa-Lwów-Wilno, 1938, s. V+234, dostępne pod [1]
    6. Pomiar natężenia pola grawitacyjnego w Siedlcach przy pomocy modelu wahadła matematycznego [2]
    Układ inercjalny (inaczej inercyjny) – układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku). Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z zasadą względności Galileusza wszystkie inercjalne układy odniesienia są równouprawnione i wszystkie prawa mechaniki i fizyki są w nich identyczne.Ciało (ciało fizyczne) – termin fizyki i innych dziedzin nauki, oznaczający zbiór cząstek o niezerowej masie spoczynkowej, traktowany jako całość. W odróżnieniu od ciała fizycznego posiadającego niezerową masę spoczynkową, zbiór cząstek o masie spoczynkowej zerowej (będący nośnikiem oddziaływań grawitacyjnych lub elektromagnetycznych) stanowi pole fizyczne. Określenie ciało fizyczne jest podstawowym pojęciem używanym w definicjach i prawach fizycznych w mechanice klasycznej jak i kwantowej, elektrodynamice i innych. Zastępuje słowa: materia, bryła, organizm, obiekt astronomiczny, przedmiot itp.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Czy wiesz że...? beta

    Wahadło balistyczne – prosty przyrząd do wyznaczania prędkości ruchu pocisków. Wahadło ma postać masywnego ciała zawieszonego na pręcie lub linie. Ciało to jest jednocześnie tarczą dla pocisku i powinno być wykonane z takiego materiału, by umożliwić wbicie się i zatrzymanie pocisku (zwykle jest to worek z piaskiem). Trafienie pocisku w ciało może być wówczas interpretowane jako zderzenie całkowicie niesprężyste; wprawia ono układ tarcza + pocisk w ruch wahadłowy. Pomiar wychylenia wahadła pozwala wyznaczyć pęd pocisku przed trafieniem, a dzięki znajomości masy pocisku, również jego prędkość oraz energię kinetyczną.
    Punkt materialny (masa punktowa) – ciało fizyczne obdarzone masą, ale mające nieskończenie małe rozmiary (będące punktem).
    Drgania swobodne (drgania własne) – drgania ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy na ciało nie działają żadne siły, poza siłami określającymi położenie równowagi i siłami dążącymi do jej przywrócenia. Amplituda drgań zależy od wielkości początkowego wychylenia (energii potencjalnej) lub od prędkości początkowej (energii kinetycznej) nadanej ciału.
    Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa prawie taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego, opisując relacje między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową jak masa między pędem, energią kinetyczną a prędkością. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.
    Okres (w fizyce) – czas wykonania jednego pełnego drgania w ruchu drgającym, czyli czas pomiędzy wystąpieniami tej samej fazy ruchu drgającego. Okres fali równy jest okresowi rozchodzących się drgań. Okres dotyczyć może również innych zjawisk fizycznych (np. prądu przemiennego), które mają charakter oscylacji (powtarzających się zmian jakiejś wielkości). W takim najogólniejszym znaczeniu, okresem nazywamy najmniejszy czas potrzebny na powtórzenie się wzoru oscylacji. Dla fali oznacza to odcinek czasu pomiędzy dwoma punktami fali o tej samej fazie, czyli np. między dwoma kolejnymi szczytami lub dolinami. Z innymi parametrami ruchu okresowego wiążą go następujące zależności:
    Masa – jedna z podstawowych wielkości fizycznych określająca bezwładność (masa bezwładna) i oddziaływanie grawitacyjne (masa grawitacyjna) obiektów fizycznych. Jest wielkością skalarną. Potocznie rozumiana jako miara ilości materii obiektu fizycznego. W szczególnej teorii względności związana z ilością energii zawartej w obiekcie fizycznym. Najczęściej oznaczana literą m.
    Wahadło Oberbecka - obracający się wokół poziomej osi walec z krzyżakiem z prętów prostopadłych do osi obrotu, do prętów krzyżaka można mocować ciężarki dobierając dowolnie ich odległość od osi obrotu. Wahadło ma też walec o promieniu r, na który nawinięta jest nić. Na nici zawiesza się ciężarki.

    Reklama

    tt