l
  • Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Temat nie został wyczerpany?
    Zapraszamy na Forum Naukowy.pl
    Jeśli posiadasz konto w serwisie Facebook rejestracja jest praktycznie automatyczna.
    Wystarczy kilka kliknięć.

    Wahadło fizyczne



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Drgania swobodne (drgania własne) – drgania ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy na ciało nie działają żadne siły, poza siłami określającymi położenie równowagi i siłami dążącymi do jej przywrócenia. Amplituda drgań zależy od wielkości początkowego wychylenia (energii potencjalnej) lub od prędkości początkowej (energii kinetycznej) nadanej ciału.Szerokość geograficzna (ang. latitude, symbol φ) – jedna ze współrzędnych geograficznych, kąt pomiędzy półprostą poprowadzoną ze środka kuli ziemskiej i przechodzącą przez dany punkt na jej powierzchni a płaszczyzną równika.
    Wahadło realne, które można opisać za pomocą modelu wahadła matematycznego (Katedra Metropolitalna, miasto Meksyk).
    Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe w układzie biegunowym.

    Wahadłociało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nie przechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

    Zasada zachowania energii – empiryczne prawo fizyki, stwierdzające, że w układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała (nie zmienia się w czasie). W konsekwencji, energia w układzie izolowanym nie może być ani utworzona, ani zniszczona, może jedynie zmienić się forma energii. Tak np. podczas spalania wodoru w tlenie energia chemiczna zmienia się w energię cieplną.Wahadło Foucaulta – wahadło posiadające możliwość wahań w dowolnej płaszczyźnie pionowej. Powolna zmiana płaszczyzny ruchu wahadła względem Ziemi dowodzi jej obrotu wokół własnej osi. Nazwa wahadła upamiętnia jego wynalazcę, Jeana Bernarda Léona Foucaulta, który zademonstrował je w lutym 1851 roku w Paryskim Obserwatorium Astronomicznym. Kilka tygodni później eksperyment powtórzono w Panteonie w Paryżu.

    W mechanice rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

  • matematyczne (proste),
  • fizyczne.
  • Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niezależność ich okresu drgań od amplitudy, co jest dobrze spełnione, gdy maksymalny kąt odchylenia wahadła od pionu jest mniejszy niż 0,1 radiana (ok. 6°). Własność ta, zwana izochronizmem drgań, odkryta około 1602 roku przez Galileo Galilei, który używał wahadło do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą Christiaan Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzaniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku zegarów kwarcowych.

    Wahadło sprężynowe – ciało zawieszone na sprężynie, które może w polu grawitacyjnym wykonywać pionowe drgania swobodne.Wahadło rewersyjne (czyli odwracalne) to przyrząd będący rodzajem wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używany do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego. Wahadło zostało wynalezione przez Henry’ego Katera w 1817 roku.

    Opis matematyczny wahadeł jest w ogólności dość złożony i dlatego zwykle robi się założenia upraszczające. W przypadku wahadła matematycznego pozwala to rozwiązać równania ruchu w sposób analityczny dla małych amplitud drgań.

    Spis treści

  • 1 Wahadło matematyczne
  • 1.1 Drgania dla małej amplitudy
  • 1.2 Okres drgań o dowolnej amplitudzie
  • 1.3 Rozwiązanie ogólnego równania ruchu. Krzywe fazowe
  • 1.4 Wahadło w stanie nieważkości
  • 2 Reakcji więzów
  • 3 Uogólnienia
  • 4 Wahadło fizyczne
  • 5 Wahadło Foucaulta
  • 6 Drgania tłumione i wymuszone wahadła
  • 7 Historia
  • 8 Zobacz też
  • 9 Uwagi
  • 10 Przypisy
  • 11 Bibliografia
  • 12 Linki zewnętrzne
  • Bryła sztywna (inaczej: ciało sztywne, ciało rozciągłe) - pojęcie używane w fizyce oznaczające ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, obiekty w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie, określa się mianem ośrodków ciągłych. Bryła sztywna w ogólnym przypadku posiada sześć stopni swobody.Izochronizm – właściwość wszystkich harmonicznych układów drgających polegająca na niezależności okresu drgań od ich amplitudy. Rzeczywiste układy drgające wykonują z dobrym przybliżeniem drgania harmoniczne i pozostają izochroniczne wówczas, gdy amplituda drgań jest stosunkowo mała. Dla drgań mechanicznych oznacza to np.

    Wahadło matematyczne[ | edytuj kod]

    Wahadło matematyczne to punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Równanie ruchu wahadła określa wzór: {d^2\theta(t)\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta(t)=0

    gdzie:

  • \theta(t) – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili t,
  • g – przyspieszenie ziemskie,
  • \ell – długość nici.
  • Drgania dla małej amplitudy[ | edytuj kod]

    Funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem gdy kąt jest odpowiednio mały (szereg Taylora). \sin \theta \approx \theta

    wówczas ogólne równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci \frac{d^{2}\theta(t)}{dt^{2}}+\frac{g}{\ell}\theta(t) =0

    Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych. Rozwiązanie określa zależność kąta wahań od czasu i może być określone wzorem:

    Wojciech Królikowski (ur. 16 lipca 1926 w Warszawie) – polski fizyk teoretyk (specjalność: teoria cząstek elementarnych i kwantowa teoria pola), profesor emerytowany Instytutu Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego, członek rzeczywisty Polskiej Akademii Nauk (od 1980). W 1952 otrzymał stopień doktora (promotorem jego pracy doktorskiej był profesor Wojciech Rubinowicz), a doktora habilitowanego - w 1957.Kołyska Newtona, wahadło Newtona – przyrząd, który ilustruje prawo zachowania pędu i energii podczas sprężystego zderzenia kul.
    \theta(t) =\theta_0 \,\text{sin}(\omega t+\varphi)

    gdzie:

  • \theta_0 – amplituda drgań,
  • \omega =\sqrt{\frac{g }{\ell}} – częstość kołowa drgań,
  • \varphi – faza początkowa drgań.
  • Okres drgań jest związany z częstością wzorem T =\frac{2\pi }{\omega}

    okres drgań wynosi T=2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}

    Wynika stąd, że w przybliżeniu małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

    Wzór na okres drgań jest więc słuszny nie tylko dla drgań na Ziemi, ale też np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi. Identyczne wahadło miałoby tam \sqrt 6 razy dłuższy okres drgań.

    Zegar kwarcowy - rodzaj zegara, w którym do odmierzania czasu wykorzystuje się drgający kryształ kwarcu. Drgania kryształu są zliczane przez układy cyfrowe, które pokazują aktualny czas na wyświetlaczu zegarka. Rezonator kwarcowy wytwarza sygnał o precyzyjnie ustalonej częstotliwości, przez co zegary kwarcowe są co najmniej o rząd wielkości dokładniejsze od zegarów mechanicznych.Wahadło zegarowe – wahadło fizyczne stosowane w zegarach jako element odmierzający jednakowe odcinki czasu. Wahadło zegarowe jest zwykle zbudowane z pręta 2 (patrz rys.) obciążonego obciążnikiem 6 nazywanym soczewką i jest zawieszone na sprężystej taśmie 1 ponad swoim środkiem ciężkości. Wahadło wykonuje drgania w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły grawitacji.

    Okres drgań o dowolnej amplitudzie[ | edytuj kod]

    Zależność okresu drgań wahadła T od amplitudy drgań θo.

    Dla dużych amplitud wahań okres drgań zależy od amplitudy i rośnie wraz z jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór \begin{alignat}{2}
T(\theta_0) = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \cdot\!\! \sum_{n=0}^\infty \left[\left(
                                      \! \frac{(2n)!}{( 2^n \cdot n!)^2}\right)^2\!\!\! \cdot \sin^{2n}\!\!\left(\frac{\theta_0}{2}
\right) \right]
\end{alignat} =\! 2\pi \sqrt{\ell\over g} \left( 1\!+ \!\left( \frac{1}{2} \right)^2\!\! \sin^2\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \!+ \! \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2\!\! \sin^4\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\! + \cdots \!\!\right)

    Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego. Powyższy wzór wynika z wzoru:

    Galileusz (wł. Galileo Galilei; ur. 15 lutego 1564 w Pizie, zm. 8 stycznia 1642 w Arcetri) – włoski astronom, astrolog, matematyk, fizyk i filozof, twórca podstaw nowożytnej fizyki.Energia mechaniczna — suma energii kinetycznej i potencjalnej. Jest postacią energii związaną z ruchem i położeniem obiektu fizycznego (układ punktów materialnych, ośrodka ciągłego itp.) względem pewnego układu odniesienia.
    T = 4\sqrt{\ell\over g}\,K\left( \sin{\theta_0\over 2} \right)

    gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

    Rozwiązanie ogólnego równania ruchu. Krzywe fazowe[ | edytuj kod]

    a) Wykres energii potencjalnej wahadła prostego w zależności od kąta wychylenia (u góry)
    b) krzywe fazowe, tj. krzywe zależności prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia (u dołu).

    Rozwiązanie ruchu wahadła dla dowolnego można podać rozwiązanie w postaci uwikłanej:

    Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.Oś obrotu – prosta w przestrzeni określająca kierunek obrotu danego ciała. Wyznacza ona układ odniesienia, względem którego wyznacza się moment bezwładności ciała. Prędkość kątowa jest zawsze równoległa do osi obrotu.
    dt = \sqrt{{\ell \over 2g }}{{d\theta\over(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

    Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do θ przy stałym kącie θ0 otrzymuje się t(\theta) = \sqrt{{\ell \over 2g }}\int_0^{\theta}{{d\theta\over(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

    Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

    W opisie ruchu wahadła zamiast kąta maksymalnego wychylenia, jako stały parametr ruchu można przyjąć całkowitą energię mechaniczną wahadła. Całkowita energia określa punkty zwrotne ruchu wahadła (kąty maksymalnego odchylenia). Jeżeli energia jest mniejsza od energii potrzebnej na wykonanie pełnego obrotu, równej E_{min}=2 m g h (zero energii potencjalnej jest w najniższym położeniu wahadła), to krzywe fazowe, czyli krzywe zależności prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia są krzywymi zamkniętymi. Dla energii równej minimalnej energii potrzebnej do wykonania pełnego obrotu krzywe fazowe tworzą przecinające się linie. Dla energii większej krzywe fazowe są liniami otwartymi. Na podstawie wykresów fazowych mona odróżnić poszczególne przypadki ruchu. W ogólności płaszczyzna fazowa odgrywa ważną rolę przy rozwiązywaniu nieliniowych równań różniczkowych.

    Moment siły (moment obrotowy) siły F względem punktu O – iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły F:Pole grawitacyjne – pole wytwarzane przez obiekty posiadające masę. Określa wielkość i kierunek siły grawitacyjnej działającej na znajdujące się w nim inne obiekty posiadające masę. Podstawową teorią opisującą pole grawitacyjne i jego związek z cechami przestrzeni jest ogólna teoria względności (OTW), stworzona przez Alberta Einsteina. Prawo grawitacji sformułował angielski uczony Izaak Newton. Pole opisuje się poprzez podanie natężenia pola grawitacyjnego γ, czyli siły F działającej na masę jednostkową m, lub potencjału grawitacyjnego. Obrazem pola grawitacyjnego są linie pola lub powierzchnie ekwipotencjalne. Kierunek i zwrot linii pola jest zgodny z kierunkiem i zwrotem sił działających na masę punktową.

    Poniżej zestawiono animacje pokazujące różne sposoby (mody) oscylacji wahadła matematycznego. Mody te zależą od warunków początkowych ruchu. Animacje pokazują, że okres drgań zależy od amplitudy. Małe wykresy powyżej wahadeł są wykresami fazowymi ruchu wahadeł.

  • Kąt początkowy 0°, równowaga trwała.

    Janusz Zakrzewski (ur. 23 lipca 1932 w Krakowie, zm. 26 października 2008 w Warszawie) – polski fizyk, profesor doktor habilitowany (od 1971), dziekan Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego (1972–1975) i prorektor Uniwersytetu Warszawskiego (1981-1982).Ciało (ciało fizyczne) – termin fizyki i innych dziedzin nauki, oznaczający zbiór cząstek o niezerowej masie spoczynkowej, traktowany jako całość. W odróżnieniu od ciała fizycznego posiadającego niezerową masę spoczynkową, zbiór cząstek o masie spoczynkowej zerowej (będący nośnikiem oddziaływań grawitacyjnych lub elektromagnetycznych) stanowi pole fizyczne. Określenie ciało fizyczne jest podstawowym pojęciem używanym w definicjach i prawach fizycznych w mechanice klasycznej jak i kwantowej, elektrodynamice i innych. Zastępuje słowa: materia, bryła, organizm, obiekt astronomiczny, przedmiot itp.
  • Kąt początkowy 45°

  • Kąt początkowy 90°

  • Kąt początkowy 135°

  • Kąt początkowy 170°

  • Kąt początkowy 180°, równowaga nietrwała.

  • Wahadło o energii nieco większej niż potrzebna na pełny obrót.

  • Wahadło o energii znacznie większej niż minimalna potrzebnej na pełny obrót.

  • Wahadło w stanie nieważkości[ | edytuj kod]

    W stanie nieważkości siła grawitacji jest równoważona przez siłę bezwładności układu odniesienia. W wyniku czego ciało wahadła zachowuje się tak jakby na nie nie działała siła. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywa (jest w równowadze trwałej) albo porusza się ruchem jednostajnym po okręgu.

    Wahadło balistyczne – prosty przyrząd do wyznaczania prędkości ruchu pocisków. Wahadło ma postać masywnego ciała zawieszonego na pręcie lub linie. Ciało to jest jednocześnie tarczą dla pocisku i powinno być wykonane z takiego materiału, by umożliwić wbicie się i zatrzymanie pocisku (zwykle jest to worek z piaskiem). Trafienie pocisku w ciało może być wówczas interpretowane jako zderzenie całkowicie niesprężyste; wprawia ono układ tarcza + pocisk w ruch wahadłowy. Pomiar wychylenia wahadła pozwala wyznaczyć pęd pocisku przed trafieniem, a dzięki znajomości masy pocisku, również jego prędkość oraz energię kinetyczną.Siła jest zachowawcza, jeśli praca przez nią wykonana na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru ruchu. Praca ta nie zależy wówczas również od prędkości przemieszczania ciała.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Czy wiesz że...? beta

    Punkt materialny (masa punktowa) – ciało fizyczne obdarzone masą, ale mające nieskończenie małe rozmiary (będące punktem).
    Katedra Metropolitalna w Meksyku (hiszp. Catedral Metropolitana de la Asunción de María lub Catedral Metropolitana de la Ciudad de México) jest największą i najstarszą katedrą w Ameryce i siedzibą arcybiskupa archidiecezji meksykańskiej. Jest położona po północnej stronie placu Zócalo (oficjalnie: Plaza de la Constitución) w historycznym centrum Meksyku. Budowana w ciągu trzech stuleci katedra zawiera w swojej architekturze elementy renesansu, baroku i neoklasycyzmu.
    Wojciech Sylwester Piotr Rubinowicz (ur. 22 lutego 1889 w Sadagórze koło Czerniowiec, zm. 13 października 1974 w Warszawie) – polski fizyk teoretyk.
    Andrzej Kajetan Wróblewski (ur. 7 sierpnia 1933 w Warszawie) – polski fizyk, profesor doktor habilitowany (od 1971 roku), dziekan Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego (1986–1989), rektor Uniwersytetu Warszawskiego (1989–1993), przewodniczący Rady Naukowej Instytutu Historii Nauki PAN. Członek PAN (od 1976), wiceprezes Polskiej Akademii Umiejętności, członek Towarzystwa Naukowego Warszawskiego (od 1983), Polskiego Towarzystwa Fizycznego i Polskiego Towarzystwa Astronomicznego.
    Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa prawie taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego, opisując relacje między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową jak masa między pędem, energią kinetyczną a prędkością. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.
    Okres (w fizyce) – czas wykonania jednego pełnego drgania w ruchu drgającym, czyli czas pomiędzy wystąpieniami tej samej fazy ruchu drgającego. Okres fali równy jest okresowi rozchodzących się drgań. Okres dotyczyć może również innych zjawisk fizycznych (np. prądu przemiennego), które mają charakter oscylacji (powtarzających się zmian jakiejś wielkości). W takim najogólniejszym znaczeniu, okresem nazywamy najmniejszy czas potrzebny na powtórzenie się wzoru oscylacji. Dla fali oznacza to odcinek czasu pomiędzy dwoma punktami fali o tej samej fazie, czyli np. między dwoma kolejnymi szczytami lub dolinami. Z innymi parametrami ruchu okresowego wiążą go następujące zależności:
    Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.

    Reklama

    tt