• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  •                Biorę udział w badaniu      Nie obchodzi mnie to 
    Temat nie został wyczerpany?
    Zapraszamy na Forum Naukowy.pl
    Jeśli posiadasz konto w serwisie Facebook rejestracja jest praktycznie automatyczna.
    Wystarczy kilka kliknięć.

    Wahadło fizyczne



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Drgania swobodne (drgania własne) – drgania ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy na ciało nie działają żadne siły, poza siłami określającymi położenie równowagi i siłami dążącymi do jej przywrócenia. Amplituda drgań zależy od wielkości początkowego wychylenia (energii potencjalnej) lub od prędkości początkowej (energii kinetycznej) nadanej ciału.Charles Marie de La Condamine (ur. 28 stycznia 1701 w Paryżu, zm. 4 lutego 1774 tamże) – francuski przyrodnik, matematyk i podróżnik.


    Wahadło rzeczywiste, które można opisać za pomocą modelu wahadła matematycznego (Katedra Metropolitalna, miasto Meksyk).
    Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe w układzie biegunowym.

    Wahadłociało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nie przechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

    Szerokość geograficzna (ang. latitude, symbol φ) – jedna ze współrzędnych geograficznych, kąt pomiędzy półprostą poprowadzoną ze środka kuli ziemskiej i przechodzącą przez dany punkt na jej powierzchni a płaszczyzną równika.Zasada zachowania energii – empiryczne prawo fizyki, stwierdzające, że w układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała (nie zmienia się w czasie). W konsekwencji, energia w układzie izolowanym nie może być ani utworzona, ani zniszczona, może jedynie zmienić się forma energii. Tak np. podczas spalania wodoru w tlenie energia chemiczna zmienia się w energię cieplną.

    W mechanice rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

  • matematyczne (proste),
  • fizyczne.
  • Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niemal pełna niezależność ich okresu drgań od amplitudy, co jest dobrze spełnione dla małych wychyleń. Własność ta, zwana izochronizmem drgań, została odkryta około 1602 roku przez Galileusza, który używał wahadła do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą Christiaan Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzaniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku zegarów kwarcowych.

    Wahadło Foucaulta – wahadło posiadające możliwość wahań w dowolnej płaszczyźnie pionowej. Powolna zmiana płaszczyzny ruchu wahadła względem Ziemi dowodzi jej obrotu wokół własnej osi. Nazwa wahadła upamiętnia jego wynalazcę, Jeana Bernarda Léona Foucaulta, który zademonstrował je w lutym 1851 roku w Paryskim Obserwatorium Astronomicznym. Kilka tygodni później eksperyment powtórzono w Panteonie w Paryżu.Wahadło sprężynowe – ciało zawieszone na sprężynie, które może w polu grawitacyjnym wykonywać pionowe drgania swobodne.

    W ogólności wahadło jest oscylatorem anharmonicznym, jego okres drgań i inne parametry zależy od amplitudy. Opis matematyczny rozwiązań równania ruchu wahadła jest w ogólności dość złożony, ale założenia upraszczające przyjmowane dla małych amplitud drgań pozwalają rozwiązać równania ruchu w sposób analityczny.

    Friedrich Wilhelm Bessel (ur. 22 lipca 1784 w Minden, zm. 17 marca 1846 w Królewcu, obecnie Kaliningrad, Rosja) – niemiecki astronom, geodeta i matematyk, który dokonał pomiarów położenia ok. 50 tys. gwiazd. Pozwoliło to po raz pierwszy dokładnie wyznaczyć odległości międzygwiezdne. Od roku 1810 profesor uniwersytetu w Królewcu. Założył tam obserwatorium astronomiczne, którym kierował.Pierre Bouguer (polska wersja imienia – Piotr); (ur. 16 lutego 1698, zm. 15 sierpnia 1758) – francuski matematyk, astronom i geodeta. Nazywany jest "ojcem nauki o architekturze okrętów".

    Spis treści

  • 1 Wahadło matematyczne
  • 1.1 Drgania dla małej amplitudy
  • 1.2 Okres drgań o dowolnej amplitudzie
  • 1.2.1 Przybliżona zależność okresu od amplitudy
  • 1.3 Wahadło o okresie niezależnym od amplitudy
  • 1.4 Rozwiązanie ogólnego równania ruchu. Krzywe fazowe
  • 1.5 Wahadło w stanie nieważkości
  • 2 Reakcja więzów
  • 3 Uogólnienia
  • 4 Wahadło fizyczne
  • 5 Wahadło Foucaulta
  • 6 Drgania tłumione i wymuszone wahadła
  • 7 Historia
  • 8 Zobacz też
  • 9 Uwagi
  • 10 Przypisy
  • 11 Bibliografia
  • 12 Linki zewnętrzne
  • Wahadło rewersyjne (czyli odwracalne) to przyrząd będący rodzajem wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używany do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego. Wahadło zostało wynalezione przez Henry’ego Katera w 1817 roku.Bryła sztywna (inaczej: ciało sztywne, ciało rozciągłe) - pojęcie używane w fizyce oznaczające ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, obiekty w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie, określa się mianem ośrodków ciągłych. Bryła sztywna w ogólnym przypadku posiada sześć stopni swobody.

    Wahadło matematyczne[ | edytuj kod]

    Wahadło matematyczne to punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Równanie ruchu wahadła określa wzór: {d^2\theta(t)\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta(t)=0

    gdzie:

  • \theta(t) – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili t,
  • g – przyspieszenie ziemskie,
  • \ell – długość nici.
  • Drgania dla małej amplitudy[ | edytuj kod]

    Funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem, gdy kąt jest odpowiednio mały (wzór Taylora): \sin \theta \approx \theta

    wówczas ogólne równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci \frac{d^{2}\theta(t)}{dt^{2}}+\frac{g}{\ell}\theta(t) =0

    Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych. Rozwiązanie określa zależność kąta wahań od czasu i może być określone wzorem:

    Księżyc (łac. Luna, gr. Σελήνη Selḗnē; pol. fraz. „Srebrny Glob”, „srebrny glob”; pol. przest. gw. poet. „miesiąc”; pol. przest. poet. „luna”) – jedyny naturalny satelita Ziemi (nie licząc tzw. księżyców Kordylewskiego, które są obiektami pyłowymi i przez niektórych badaczy uważane za obiekty przejściowe). Jest piątym co do wielkości księżycem w Układzie Słonecznym. Przeciętna odległość od środka Ziemi do środka Księżyca to 384 403 km, co stanowi mniej więcej trzydziestokrotność średnicy ziemskiej. Średnica Księżyca wynosi 3474 km, nieco więcej niż 1/4 średnicy Ziemi. Oznacza to, że objętość Księżyca wynosi około 1/50 objętości kuli ziemskiej. Przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni jest blisko 6 razy słabsze niż na Ziemi. Księżyc wykonuje pełny obieg wokół Ziemi w ciągu 27,3 dnia (tzw. miesiąc syderyczny), a okresowe zmiany w geometrii układu Ziemia-Księżyc-Słońce powodują występowanie powtarzających się w cyklu 29,5-dniowym (tzw. miesiąc synodyczny) faz Księżyca.Wojciech Królikowski (ur. 16 lipca 1926 w Warszawie) – polski fizyk teoretyk (specjalność: teoria cząstek elementarnych i kwantowa teoria pola), profesor emerytowany Instytutu Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego, członek rzeczywisty Polskiej Akademii Nauk (od 1980). W 1952 otrzymał stopień doktora (promotorem jego pracy doktorskiej był profesor Wojciech Rubinowicz), a doktora habilitowanego - w 1957.
    \theta(t) =\theta_0 \,\text{sin}(\omega t+\varphi)

    gdzie:

  • \theta_0 – amplituda drgań,
  • \omega =\sqrt{\frac{g }{\ell}} – częstość kołowa drgań,
  • \varphi – faza początkowa drgań.
  • Okres drgań jest związany z częstością wzorem T =\frac{2\pi }{\omega}

    okres drgań wynosi T=2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}

    Wynika stąd, że w przybliżeniu dla małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

    Wzór na okres drgań jest więc słuszny nie tylko dla drgań na Ziemi, ale też np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi. Identyczne wahadło miałoby tam \sqrt 6 razy dłuższy okres drgań.

    Kołyska Newtona, wahadło Newtona – przyrząd, który ilustruje prawo zachowania pędu i energii podczas sprężystego zderzenia kul.Zegar kwarcowy - rodzaj zegara, w którym do odmierzania czasu wykorzystuje się drgający kryształ kwarcu. Drgania kryształu są zliczane przez układy cyfrowe, które pokazują aktualny czas na wyświetlaczu zegarka. Rezonator kwarcowy wytwarza sygnał o precyzyjnie ustalonej częstotliwości, przez co zegary kwarcowe są co najmniej o rząd wielkości dokładniejsze od zegarów mechanicznych.

    Okres drgań o dowolnej amplitudzie[ | edytuj kod]

    Zależność okresu drgań wahadła T od amplitudy drgań θo.

    Dla dużych amplitud wahań okres drgań zależy od amplitudy i rośnie wraz z jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór: T = 4\sqrt{\ell\over g}\,K\left( \sin{\theta_0\over 2} \right)

    gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

    Jego rozwinięciem jest wzór:

    Wahadło zegarowe – wahadło fizyczne stosowane w zegarach jako element odmierzający jednakowe odcinki czasu. Wahadło zegarowe jest zwykle zbudowane z pręta 2 (patrz rys.) obciążonego obciążnikiem 6 nazywanym soczewką i jest zawieszone na sprężystej taśmie 1 ponad swoim środkiem ciężkości. Wahadło wykonuje drgania w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły grawitacji.Oscylator anharmoniczny — oscylator, którego okres drgań (w przeciwieństwie do oscylatora harmonicznego) zależy od jego amplitudy. W oscylatorze anharmonicznym, zależność energii potencjalnej od wychylenia z pozycji równowagi jest opisywana funkcją inną niż kwadratowa.
    \begin{alignat}{2}
T(\theta_0) = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \cdot\!\! \sum_{n=0}^\infty \left[\left(
                                      \! \frac{(2n)!}{( 2^n \cdot n!)^2}\right)^2\!\!\! \cdot \sin^{2n}\!\!\left(\frac{\theta_0}{2}
\right) \right]
\end{alignat} =\! 2\pi \sqrt{\ell\over g} \left( 1\!+ \!\left( \frac{1}{2} \right)^2\!\! \sin^2\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \!+ \! \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2\!\! \sin^4\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\! + \cdots \!\!\right)

    Rozwijając w szereg Maclaurina:  T = 2\pi \sqrt {\frac l g} \left( 1 + \frac {1} {16} \theta_0^2  + \frac {11} {3072} \theta_0^4  + \frac {173} {737280} \theta_0^6  + \frac {22931} {1321205760} \theta_0^8 + ...\right)

    Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego.

    Przybliżona zależność okresu od amplitudy[ | edytuj kod]

    Zależność kąta wychylenia od czasu dla wahadeł o tej samej długości, a różniących się amplitudą 0,25π(45°) i 0,99π(178°).
    Konstrukcja wahadła cykloidalnego o okresie niezależnym od amplitudy.

    Zagadnienie ruchu wahadła można rozwiązać przybliżając funkcję sinus do dwóch wyrazów, wówczas równanie ruchu wahadła przyjmuje postać:

    Nieważkość – stan, w którym działające na układ ciał siły zewnętrzne nie wywołują wzajemnych ciśnień (nacisków) części układu na siebie, a wewnętrzne oddziaływania grawitacyjne są pomijalne. Rzadziej używany jest także termin nieciężkość.Paryż (fr. Paris) – stolica i największa aglomeracja Francji, położona w centrum Basenu Paryskiego, nad Sekwaną (La Seine). Miasto stanowi centrum polityczne, ekonomiczne i kulturalne kraju. Znajdują się tu liczne zabytki i atrakcje turystyczne, co powoduje, że Paryż jest co roku odwiedzany przez ok. 30 milionów turystów.
    \frac {d^2 \theta} {dt^2} + \frac g l \left( \theta - \frac 1 6 \theta^3 \right) = 0

    Przyjmując poniższe oznaczenia, przybliżonym rozwiązaniem jest:  \theta (t) = \theta_0 \cos \omega t + \epsilon \cos (3\omega t)  \theta_0 = \cos (\omega_0 t + \phi)  \omega_0 = \sqrt {\frac g l}  \omega = \omega_0\left(1 - \frac {\theta^2_0} {16} \right)  \epsilon = \frac {1} {3} \left( \frac {\theta_0} {4}\right)^3

    Przybliżenie to wskazuje, że wahadło nie jest oscylatorem harmonicznym, a jego trzecia harmoniczna jest zależna w trzeciej potędze od amplitudy drgań.

    Wahadło o okresie niezależnym od amplitudy[ | edytuj kod]

    Ruch ciał po tautochronie.

    Problemem konstruowania dokładnych zegarów wahadłowych, których szybkość chodu nie zależy od amplitudy drgań, zajmował się Christiaan Huygens, wykazał że niezależność szybkości chodu zapewni zmniejszanie długość nici wahadła wraz z wychyleniem, wykazał, że krzywą zmniejszającą długość wahadła jest cykloida o poziomej osi i promieniu równym ćwierci długości wahadła, jest ono wahadłem cykloidalnym. Skonstruował wahadło o okresie niezależnym od amplitudy.

    Jean Richer (ur. 1630, zm. 1698 w Paryżu) - francuski astronom. Rząd Francji wysłał go do Kajenna (fr. Cayenne) w Gujanie Francuskiej w celu zmierzenia paralaksy Marsa w perygeum. Prowadzone przez niego badania przyczyniły się do rozwoju astronomii i geodezji. Odkrył, że przyspieszenie ziemskie zależy od szerokości geograficznej.Wahadło radiestezyjne – przyrząd radiestety. Wahadło to ma służyć do wykrywania różnego typu źródeł domniemanego promieniowania.

    Problem wahadła o okresie niezależnym od amplitudy sprowadza się do wyznaczenia takiej krzywej, że ciało poruszając pod działaniem stałej siły grawitacji po niej w takim samym czasie przemieści się od punktu ruszenia do jej najniższego punktu. Krzywa zwana jest tautochroną i jest cykloidą

    Rozwiązanie ogólnego równania ruchu. Krzywe fazowe[ | edytuj kod]

    a) Wykres energii potencjalnej wahadła prostego w zależności od kąta wychylenia (u góry)
    b) krzywe fazowe, tj. krzywe zależności prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia (u dołu).

    Dokładne rozwiązanie ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy można podać w postaci uwikłanej:

    Amplituda w ruchu drgającym i w ruchu falowym jest to największe wychylenie z położenia równowagi. Jednostka amplitudy zależy od rodzaju ruchu drgającego: dla drgań mechanicznych jednostką może być metr, jednostka gęstości lub ciśnienia (np. dla fali podłużnej); dla fali elektromagnetycznej tą jednostką będzie V/m.Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.
    dt = \sqrt{{\ell \over 2g }}{{d\theta\over(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

    Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do θ przy stałym kącie θ0 otrzymuje się t(\theta) = \sqrt{{\ell \over 2g }}\int_0^{\theta}{{d\theta\over(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

    Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

    W opisie ruchu wahadła zamiast kąta maksymalnego wychylenia, jako stały parametr ruchu można przyjąć całkowitą energię mechaniczną wahadła. Całkowita energia określa punkty zwrotne ruchu wahadła (kąty maksymalnego odchylenia). Jeżeli energia jest mniejsza od energii potrzebnej na wykonanie pełnego obrotu, równej E_{min}=2 m g h (zero energii potencjalnej jest w najniższym położeniu wahadła), to krzywe fazowe, czyli krzywe zależności prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia są krzywymi zamkniętymi. Dla energii równej minimalnej energii potrzebnej do wykonania pełnego obrotu krzywe fazowe tworzą przecinające się linie. Dla energii większej krzywe fazowe są liniami otwartymi. Na podstawie wykresów fazowych mona odróżnić poszczególne przypadki ruchu.

    Oś obrotu – prosta w przestrzeni określająca kierunek obrotu danego ciała. Wyznacza ona układ odniesienia, względem którego wyznacza się moment bezwładności ciała. Prędkość kątowa jest zawsze równoległa do osi obrotu.Moment siły (moment obrotowy) siły F względem punktu O – iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły F:

    Poniżej zestawiono animacje pokazujące sposoby (mody) oscylacji wahadła matematycznego w zależności od jego energii. Animacje pokazują, że okres drgań zależy od amplitudy. Małe wykresy powyżej wahadeł są wykresami fazowymi ruchu wahadeł.

  • Kąt początkowy 0°, równowaga trwała.

  • Kąt początkowy 45°

    Pole grawitacyjne – pole wytwarzane przez obiekty posiadające masę. Określa wielkość i kierunek siły grawitacyjnej działającej na znajdujące się w nim inne obiekty posiadające masę. Podstawową teorią opisującą pole grawitacyjne i jego związek z cechami przestrzeni jest ogólna teoria względności (OTW), stworzona przez Alberta Einsteina. Prawo grawitacji sformułował angielski uczony Izaak Newton. Pole opisuje się poprzez podanie natężenia pola grawitacyjnego γ, czyli siły F działającej na masę jednostkową m, lub potencjału grawitacyjnego. Obrazem pola grawitacyjnego są linie pola lub powierzchnie ekwipotencjalne. Kierunek i zwrot linii pola jest zgodny z kierunkiem i zwrotem sił działających na masę punktową.Więzy – w mechanice, każdy rodzaj ograniczenia ruchu nałożonego na poruszające się ciało. Są zawsze realizowane przez przyłożenie pewnych sił, których działanie może być zniesione.
  • Kąt początkowy 90°

  • Kąt początkowy 135°

  • Kąt początkowy 170°

  • Kąt początkowy 180°, równowaga nietrwała.

  • Wahadło o energii nieco większej niż potrzebna na pełny obrót.

  • Wahadło o energii znacznie większej niż minimalna potrzebnej na pełny obrót.

  • Wyżej podano dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy, ale w postaci uwikłanej. Podanie zależności kąta wychylenia w postaci analitycznej sprawia już problem. Okresową funkcję można przedstawić w postaci szeregu Taylora:

    Janusz Zakrzewski (ur. 23 lipca 1932 w Krakowie, zm. 26 października 2008 w Warszawie) – polski fizyk, profesor doktor habilitowany (od 1971), dziekan Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego (1972–1975) i prorektor Uniwersytetu Warszawskiego (1981-1982).Ciało (ciało fizyczne) – termin fizyki i innych dziedzin nauki, oznaczający zbiór cząstek o niezerowej masie spoczynkowej, traktowany jako całość. W odróżnieniu od ciała fizycznego posiadającego niezerową masę spoczynkową, zbiór cząstek o masie spoczynkowej zerowej (będący nośnikiem oddziaływań grawitacyjnych lub elektromagnetycznych) stanowi pole fizyczne. Określenie ciało fizyczne jest podstawowym pojęciem używanym w definicjach i prawach fizycznych w mechanice klasycznej jak i kwantowej, elektrodynamice i innych. Zastępuje słowa: materia, bryła, organizm, obiekt astronomiczny, przedmiot itp.
     \theta(t) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \sin(n\omega t) + b_n \cos (n\omega t))

    Dla wahadła symetrycznego ruszającego z maksymalnego wychylenia gdy czas równa się zero, wychylenie jest symetryczną funkcją czasu θ(t) = &theta(-t), dlatego współczynniki przed funkcją sinus są równe zero.  \theta(t) = \sum_{n=0}^\infty b_n \cos (n\omega t)

    Można także wykazać, że parzyste harmoniczne składowej cosinus są równe zero.


    Wahadło balistyczne – prosty przyrząd do wyznaczania prędkości ruchu pocisków. Wahadło ma postać masywnego ciała zawieszonego na pręcie lub linie. Ciało to jest jednocześnie tarczą dla pocisku i powinno być wykonane z takiego materiału, by umożliwić wbicie się i zatrzymanie pocisku (zwykle jest to worek z piaskiem). Trafienie pocisku w ciało może być wówczas interpretowane jako zderzenie całkowicie niesprężyste; wprawia ono układ tarcza + pocisk w ruch wahadłowy. Pomiar wychylenia wahadła pozwala wyznaczyć pęd pocisku przed trafieniem, a dzięki znajomości masy pocisku, również jego prędkość oraz energię kinetyczną.Siła jest zachowawcza, jeśli praca przez nią wykonana na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru ruchu. Praca ta nie zależy wówczas również od prędkości przemieszczania ciała.

    Wahadło w stanie nieważkości[ | edytuj kod]

    W stanie nieważkości siła grawitacji jest równoważona przez siłę bezwładności układu odniesienia. W wyniku czego ciało wahadła zachowuje się tak jakby na nie nie działała siła. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywa (jest w równowadze trwałej) albo porusza się ruchem jednostajnym po okręgu.

    Punkt materialny (masa punktowa) – ciało fizyczne obdarzone masą, ale mające nieskończenie małe rozmiary (będące punktem).Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Czy wiesz że...? beta

    Katedra Metropolitalna w Meksyku (hiszp. Catedral Metropolitana de la Asunción de María lub Catedral Metropolitana de la Ciudad de México) jest największą i najstarszą katedrą w Ameryce i siedzibą arcybiskupa archidiecezji meksykańskiej. Jest położona po północnej stronie placu Zócalo (oficjalnie: Plaza de la Constitución) w historycznym centrum Meksyku. Budowana w ciągu trzech stuleci katedra zawiera w swojej architekturze elementy renesansu, baroku i neoklasycyzmu.
    Wojciech Sylwester Piotr Rubinowicz (ur. 22 lutego 1889 w Sadagórze koło Czerniowiec, zm. 13 października 1974 w Warszawie) – polski fizyk teoretyk.
    Mechanika Lagrange’a jest przeformułowaniem mechaniki klasycznej przy użyciu zasady najmniejszego działania Hamiltona. Mechanika Lagrange’a stosuje się do układów, dla których istnieje potencjał lub potencjał uogólniony. W układach tych energia, pęd, moment pędu niekoniecznie są zachowane. Mechanika Lagrange’a podaje warunki, pozwalające łatwo określić, które spośród tych wielkości są zachowane. Mechanika Lagrange’a została sformułowana przez włosko-francuskiego matematyka Josepha-Louisa Lagrange’a w 1788 roku.
    Andrzej Kajetan Wróblewski (ur. 7 sierpnia 1933 w Warszawie) – polski fizyk, profesor doktor habilitowany (od 1971 roku), dziekan Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego (1986–1989), rektor Uniwersytetu Warszawskiego (1989–1993), przewodniczący Rady Naukowej Instytutu Historii Nauki PAN. Członek PAN (od 1976), wiceprezes Polskiej Akademii Umiejętności, członek Towarzystwa Naukowego Warszawskiego (od 1983), Polskiego Towarzystwa Fizycznego i Polskiego Towarzystwa Astronomicznego.
    Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa prawie taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego, opisując relacje między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową jak masa między pędem, energią kinetyczną a prędkością. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.
    Okres (w fizyce) – czas wykonania jednego pełnego drgania w ruchu drgającym, czyli czas pomiędzy wystąpieniami tej samej fazy ruchu drgającego. Okres fali równy jest okresowi rozchodzących się drgań. Okres dotyczyć może również innych zjawisk fizycznych (np. prądu przemiennego), które mają charakter oscylacji (powtarzających się zmian jakiejś wielkości). W takim najogólniejszym znaczeniu, okresem nazywamy najmniejszy czas potrzebny na powtórzenie się wzoru oscylacji. Dla fali oznacza to odcinek czasu pomiędzy dwoma punktami fali o tej samej fazie, czyli np. między dwoma kolejnymi szczytami lub dolinami. Z innymi parametrami ruchu okresowego wiążą go następujące zależności:
    Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.

    Reklama

    tt