• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  •                  Informacje o badaniu         Biorę udział       Nie obchodzi mnie to 

    Wahadło fizyczne



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]
    Przeczytaj także...
    Drgania swobodne (drgania własne) – drgania ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy na ciało nie działają żadne siły, poza siłami określającymi położenie równowagi i siłami dążącymi do jej przywrócenia. Amplituda drgań zależy od wielkości początkowego wychylenia (energii potencjalnej) lub od prędkości początkowej (energii kinetycznej) nadanej ciału.Charles Marie de La Condamine (ur. 28 stycznia 1701 w Paryżu, zm. 4 lutego 1774 tamże) – francuski przyrodnik, matematyk i podróżnik.


    Wahadło rzeczywiste, które można opisać za pomocą modelu wahadła matematycznego (Katedra Metropolitalna, miasto Meksyk).
    Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe w układzie biegunowym.

    Wahadłociało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nie przechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

    Szerokość geograficzna (ang. latitude, symbol φ) – jedna ze współrzędnych geograficznych, kąt pomiędzy półprostą poprowadzoną ze środka kuli ziemskiej i przechodzącą przez dany punkt na jej powierzchni a płaszczyzną równika.Zasada zachowania energii – empiryczne prawo fizyki, stwierdzające, że w układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała (nie zmienia się w czasie). W konsekwencji, energia w układzie izolowanym nie może być ani utworzona, ani zniszczona, może jedynie zmienić się forma energii. Tak np. podczas spalania wodoru w tlenie energia chemiczna zmienia się w energię cieplną.

    W mechanice rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

  • matematyczne (proste),
  • fizyczne.
  • Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niemal pełna niezależność ich okresu drgań od amplitudy, co jest dobrze spełnione dla małych wychyleń. Własność ta, zwana izochronizmem drgań, została odkryta około 1602 roku przez Galileusza, który używał wahadła do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą Christiaan Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzaniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku zegarów kwarcowych.

    Wahadło Foucaulta – wahadło posiadające możliwość wahań w dowolnej płaszczyźnie pionowej. Powolna zmiana płaszczyzny ruchu wahadła względem Ziemi dowodzi jej obrotu wokół własnej osi. Nazwa wahadła upamiętnia jego wynalazcę, Jeana Bernarda Léona Foucaulta, który zademonstrował je w lutym 1851 roku w Paryskim Obserwatorium Astronomicznym. Kilka tygodni później eksperyment powtórzono w Panteonie w Paryżu.Wahadło sprężynowe – ciało zawieszone na sprężynie, które może w polu grawitacyjnym wykonywać pionowe drgania swobodne.

    W ogólności wahadło jest oscylatorem anharmonicznym, jego okres drgań i inne parametry zależy od amplitudy. Opis matematyczny rozwiązań równania ruchu wahadła jest w ogólności dość złożony, ale założenia upraszczające przyjmowane dla małych amplitud drgań pozwalają rozwiązać równania ruchu w sposób analityczny.

    Friedrich Wilhelm Bessel (ur. 22 lipca 1784 w Minden, zm. 17 marca 1846 w Królewcu, obecnie Kaliningrad, Rosja) – niemiecki astronom, geodeta i matematyk, który dokonał pomiarów położenia ok. 50 tys. gwiazd. Pozwoliło to po raz pierwszy dokładnie wyznaczyć odległości międzygwiezdne. Od roku 1810 profesor uniwersytetu w Królewcu. Założył tam obserwatorium astronomiczne, którym kierował.Pierre Bouguer (polska wersja imienia – Piotr); (ur. 16 lutego 1698, zm. 15 sierpnia 1758) – francuski matematyk, astronom i geodeta. Nazywany jest "ojcem nauki o architekturze okrętów".

    Spis treści

  • 1 Wahadło matematyczne
  • 1.1 Drgania dla małej amplitudy
  • 1.2 Okres drgań o dowolnej amplitudzie
  • 1.2.1 Przybliżona zależność okresu od amplitudy
  • 1.3 Wahadło o okresie niezależnym od amplitudy
  • 1.4 Rozwiązanie ogólnego równania ruchu. Krzywe fazowe
  • 1.5 Wahadło w stanie nieważkości
  • 2 Reakcja więzów
  • 3 Uogólnienia
  • 4 Wahadło fizyczne
  • 5 Wahadło Foucaulta
  • 6 Drgania tłumione i wymuszone wahadła
  • 7 Historia
  • 8 Zobacz też
  • 9 Uwagi
  • 10 Przypisy
  • 11 Bibliografia
  • 12 Linki zewnętrzne
  • Wahadło rewersyjne (czyli odwracalne) to przyrząd będący rodzajem wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używany do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego. Wahadło zostało wynalezione przez Henry’ego Katera w 1817 roku.Bryła sztywna (inaczej: ciało sztywne, ciało rozciągłe) - pojęcie używane w fizyce oznaczające ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, obiekty w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie, określa się mianem ośrodków ciągłych. Bryła sztywna w ogólnym przypadku posiada sześć stopni swobody.

    Wahadło matematyczne[]

    Wahadło matematyczne to punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Równanie ruchu wahadła określa wzór:

    gdzie:

    Izochronizm – właściwość wszystkich harmonicznych układów drgających polegająca na niezależności okresu drgań od ich amplitudy. Rzeczywiste układy drgające wykonują z dobrym przybliżeniem drgania harmoniczne i pozostają izochroniczne wówczas, gdy amplituda drgań jest stosunkowo mała. Dla drgań mechanicznych oznacza to np.Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.
  • – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili ,
  • – przyspieszenie ziemskie,
  • – długość nici.
  • Drgania dla małej amplitudy[]

    Funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem, gdy kąt jest odpowiednio mały (wzór Taylora):

    Wahadło zegarowe – wahadło fizyczne stosowane w zegarach jako element odmierzający jednakowe odcinki czasu. Wahadło zegarowe jest zwykle zbudowane z pręta 2 (patrz rys.) obciążonego obciążnikiem 6 nazywanym soczewką i jest zawieszone na sprężystej taśmie 1 ponad swoim środkiem ciężkości. Wahadło wykonuje drgania w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły grawitacji.Oscylator anharmoniczny — oscylator, którego okres drgań (w przeciwieństwie do oscylatora harmonicznego) zależy od jego amplitudy. W oscylatorze anharmonicznym, zależność energii potencjalnej od wychylenia z pozycji równowagi jest opisywana funkcją inną niż kwadratowa.

    wówczas ogólne równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci

    Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych. Rozwiązanie określa zależność kąta wahań od czasu i może być określone wzorem:

    Galileusz (wł. Galileo Galilei; ur. 15 lutego 1564 w Pizie, zm. 8 stycznia 1642 w Arcetri) – włoski astronom, astrolog, matematyk, fizyk i filozof, twórca podstaw nowożytnej fizyki.Energia mechaniczna — suma energii kinetycznej i potencjalnej. Jest postacią energii związaną z ruchem i położeniem obiektu fizycznego (układ punktów materialnych, ośrodka ciągłego itp.) względem pewnego układu odniesienia.

    gdzie:

    Christiaan Huygens (ur. 14 kwietnia 1629 w Hadze, zm. 8 lipca 1695 tamże) – holenderski matematyk, fizyk oraz astronom. Syn Constantijna Huygensa.Energia potencjalna – energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych, wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero. Konfigurację odniesienia dla danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J].
  • – amplituda drgań,
  • – częstość kołowa drgań,
  • – faza początkowa drgań.
  • Okres drgań jest związany z częstością wzorem

    Marin Mersenne (ur. 8 września 1588 w pobliżu Oizé, zm. 1 września 1648 w Paryżu) – francuski minimita, teolog, filozof, matematyk i teoretyk muzyki.Sir Isaac Newton (ur. 25 grudnia 1642/4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 20 marca 1726/31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.

    okres drgań wynosi

    Wynika stąd, że w przybliżeniu dla małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

    Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.Zegar wahadłowy – zegar mechaniczny wykorzystujący wahadło jako regulator chodu do odmierzania czasu. Do wskazywania czasu w zegarach wahadłowych wykorzystuje się wskaźnik analogowy w postaci tarczy i wskazówek. Zegar wahadłowy napędzany jest zazwyczaj siłą grawitacji (obciążnik na lince), sprężyną lub elektromagnesem.

    Wzór na okres drgań jest więc słuszny nie tylko dla drgań na Ziemi, ale też np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi. Identyczne wahadło miałoby tam razy dłuższy okres drgań.

    Efekt Coriolisa – efekt występujący w obracających się układach odniesienia. Dla obserwatora pozostającego w takim układzie objawia się zakrzywieniem toru ciał poruszających się wewnątrz niego. Zakrzywienie to zdaje się być wywołane jakąś siłą, tak zwaną siłą Coriolisa. Siła Coriolisa jest pozorna, występującą jedynie w obracających się układach nieinercjalnych. Dla zewnętrznego obserwatora siła ta nie istnieje. Dla niego to układ zmienia położenie, a poruszające się ciało zachowuje swój stan ruchu zgodnie z I zasadą dynamiki.Nieważkość – stan, w którym działające na układ ciał siły zewnętrzne nie wywołują wzajemnych ciśnień (nacisków) części układu na siebie, a wewnętrzne oddziaływania grawitacyjne są pomijalne. Rzadziej używany jest także termin nieciężkość.

    Okres drgań o dowolnej amplitudzie[]

    Zależność okresu drgań wahadła T od amplitudy drgań θo.

    Dla dużych amplitud wahań okres drgań zależy od amplitudy i rośnie wraz z jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór:

    gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

    Paryż (fr. Paris) – stolica i największa aglomeracja Francji, położona w centrum Basenu Paryskiego, nad Sekwaną (La Seine). Miasto stanowi centrum polityczne, ekonomiczne i kulturalne kraju. Znajdują się tu liczne zabytki i atrakcje turystyczne, co powoduje, że Paryż jest co roku odwiedzany przez ok. 30 milionów turystów.Jean Richer (ur. 1630, zm. 1698 w Paryżu) - francuski astronom. Rząd Francji wysłał go do Kajenna (fr. Cayenne) w Gujanie Francuskiej w celu zmierzenia paralaksy Marsa w perygeum. Prowadzone przez niego badania przyczyniły się do rozwoju astronomii i geodezji. Odkrył, że przyspieszenie ziemskie zależy od szerokości geograficznej.

    Jego rozwinięciem jest wzór:

    Rozwijając w szereg Maclaurina:

    Wahadło radiestezyjne – przyrząd radiestety. Wahadło to ma służyć do wykrywania różnego typu źródeł domniemanego promieniowania.Amplituda w ruchu drgającym i w ruchu falowym jest to największe wychylenie z położenia równowagi. Jednostka amplitudy zależy od rodzaju ruchu drgającego: dla drgań mechanicznych jednostką może być metr, jednostka gęstości lub ciśnienia (np. dla fali podłużnej); dla fali elektromagnetycznej tą jednostką będzie V/m.

    Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego.

    Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.Oś obrotu – prosta w przestrzeni określająca kierunek obrotu danego ciała. Wyznacza ona układ odniesienia, względem którego wyznacza się moment bezwładności ciała. Prędkość kątowa jest zawsze równoległa do osi obrotu.

    Przybliżona zależność okresu od amplitudy[]

    Zależność kąta wychylenia od czasu dla wahadeł o tej samej długości, a różniących się amplitudą 0,25π(45°) i 0,99π(178°).
    Konstrukcja wahadła cykloidalnego o okresie niezależnym od amplitudy.

    Zagadnienie ruchu wahadła można rozwiązać przybliżając funkcję sinus do dwóch wyrazów, wówczas równanie ruchu wahadła przyjmuje postać:

    Przyjmując poniższe oznaczenia, przybliżonym rozwiązaniem jest:

    Przybliżenie to wskazuje, że wahadło nie jest oscylatorem harmonicznym, a jego trzecia harmoniczna jest zależna w trzeciej potędze od amplitudy drgań.

    Wahadło o okresie niezależnym od amplitudy[]

    Ruch ciał po tautochronie.

    Problemem konstruowania dokładnych zegarów wahadłowych, których szybkość chodu nie zależy od amplitudy drgań, zajmował się Christiaan Huygens, wykazał że niezależność szybkości chodu zapewni zmniejszanie długość nici wahadła wraz z wychyleniem, wykazał, że krzywą zmniejszającą długość wahadła jest cykloida o poziomej osi i promieniu równym ćwierci długości wahadła, jest ono wahadłem cykloidalnym. Skonstruował wahadło o okresie niezależnym od amplitudy.

    Problem wahadła o okresie niezależnym od amplitudy sprowadza się do wyznaczenia takiej krzywej, że ciało poruszając pod działaniem stałej siły grawitacji po niej w takim samym czasie przemieści się od punktu ruszenia do jej najniższego punktu. Krzywa zwana jest tautochroną i jest cykloidą

    Rozwiązanie ogólnego równania ruchu. Krzywe fazowe[]

    a) Wykres energii potencjalnej wahadła prostego w zależności od kąta wychylenia (u góry)
    b) krzywe fazowe, tj. krzywe zależności prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia (u dołu).

    Dokładne rozwiązanie ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy można podać w postaci uwikłanej:

    Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do θ przy stałym kącie θ0 otrzymuje się

    Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

    W opisie ruchu wahadła zamiast kąta maksymalnego wychylenia, jako stały parametr ruchu można przyjąć całkowitą energię mechaniczną wahadła. Całkowita energia określa punkty zwrotne ruchu wahadła (kąty maksymalnego odchylenia). Jeżeli energia jest mniejsza od energii potrzebnej na wykonanie pełnego obrotu, równej (zero energii potencjalnej jest w najniższym położeniu wahadła), to krzywe fazowe, czyli krzywe zależności prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia są krzywymi zamkniętymi. Dla energii równej minimalnej energii potrzebnej do wykonania pełnego obrotu krzywe fazowe tworzą przecinające się linie. Dla energii większej krzywe fazowe są liniami otwartymi. Na podstawie wykresów fazowych mona odróżnić poszczególne przypadki ruchu.

    Poniżej zestawiono animacje pokazujące sposoby (mody) oscylacji wahadła matematycznego w zależności od jego energii. Animacje pokazują, że okres drgań zależy od amplitudy. Małe wykresy powyżej wahadeł są wykresami fazowymi ruchu wahadeł.

  • Kąt początkowy 0°, równowaga trwała.

  • Kąt początkowy 45°

  • Kąt początkowy 90°

  • Kąt początkowy 135°

  • Kąt początkowy 170°

  • Kąt początkowy 180°, równowaga nietrwała.

  • Wahadło o energii nieco większej niż potrzebna na pełny obrót.

  • Wahadło o energii znacznie większej niż minimalna potrzebnej na pełny obrót.

  • Wyżej podano dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy, ale w postaci uwikłanej. Podanie zależności kąta wychylenia w postaci analitycznej sprawia już problem. Okresową funkcję można przedstawić w postaci szeregu Taylora:

    Dla wahadła symetrycznego ruszającego z maksymalnego wychylenia gdy czas równa się zero, wychylenie jest symetryczną funkcją czasu θ(t) = θ(-t), dlatego współczynniki przed funkcją sinus są równe zero.

    Można także wykazać, że parzyste harmoniczne składowej cosinus są równe zero.


    Wahadło w stanie nieważkości[]

    W stanie nieważkości siła grawitacji jest równoważona przez siłę bezwładności układu odniesienia. W wyniku czego ciało wahadła zachowuje się tak jakby na nie nie działała siła. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywa (jest w równowadze trwałej) albo porusza się ruchem jednostajnym po okręgu.

    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama