• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Układ równań

    Przeczytaj także...
    Część wspólna zbiorów A i B (przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięcie zbiorów) – zbiór, który zawiera te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.Twierdzenie Kroneckera-Capellego – twierdzenie algebry liniowej dające kryterium istnienia rozwiązań układu równań liniowych i umożliwiające ich klasyfikację (która, opisana w niniejszym artykule jako „wniosek”, jest często przytaczana w samym twierdzeniu); stanowi ono uogólnienie opisu rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych zawartego w twierdzeniu o rzędzie na przypadek niejednorodny.
    Metoda eliminacji Gaussa – w algebrze liniowej algorytm rozwiązywania układów równań liniowych, obliczania rzędu macierzy, obliczania macierzy odwrotnej oraz obliczania wartości wyznacznika, wykorzystujący operacje elementarne; jego nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.

    Układ równańkoniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej) równań.

    Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu równań algebraicznych, funkcji w przypadku układu równań funkcyjnych itd.) niewiadomym, które spełniają każde z równań składowych. Innymi słowy rozwiązaniem układu równań jest część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich tych równań.

    Koniunkcja – zdanie złożone mające postać p i q , gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: p ∧ q {displaystyle p,land ,q,!} . Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać p(1) i ... i p(n). Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które zdaniom p, q przyporządkowuje zdanie p i qWzory Cramera – w algebrze liniowej zwyczajowa nazwa twierdzenia szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera z 1750 roku opisującego rozwiązanie oznaczonego układu równań liniowych o współczynnikach z ustalonego ciała (np. liczb rzeczywistych). Twierdzenie zachodzi także dla pierścieni przemiennych: warunek niezerowości wyznacznika należy wtedy zastąpić jego odwracalnością (a zerowości – nieodwracalnością).

    Układ równań nazywa się sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań.

    Historia[]

    Rozwiązywaniem układów równań zajmowano się już ponad 3000 lat temu. Najstarsze przykłady układów równań pochodzą z glinianych tabliczek, odkrytych podczas wykopalisk archeologicznych na terenie starożytnej Babilonii. Układy te są zapisane pismem klinowym, które w niczym nie przypominają współczesnej symboliki matematycznej. Jednak metody ich rozwiązywania przez starożytnych rachmistrzów niewiele różnią się od metod stosowanych dzisiaj.

    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Niewiadoma – w pojęciu nauk ścisłych określenie wielkości poszukiwanej, której wartość liczbowa jest zależna od różnych mierzalnych czynników, która może zostać zastąpiona symbolem niewiadomej (szukanej) i znaleziona doświadczalnie lub przez rozwiązanie równań lub nierówności.

    Układy równań liniowych[]

     Osobny artykuł: układ równań liniowych.

    Twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie. Wśród metod rozwiązywania układów równań można wymienić następujące:

  • przez podstawianie (wyznaczenie jednej zmiennej z jednego równania i podstawianie do innego tak, by ostatecznie otrzymać jedno równanie),
  • przeciwnych współczynników (zmiana współczynników tak, aby po dodaniu równań stronami niektóre ze zmiennych uległy redukcji),
  • wzory Cramera,
  • metoda eliminacji Gaussa.
  • W przypadku układu dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi możliwe przypadki pokazuje tabela:

    Układ równań liniowych – koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej) równań liniowych, czyli równań pierwszego rzędu.

    Przypisy

    1. F. P. Sayer. Some Aspects of Infinite Systems of Linear Simultaneous Equations. „IMA Journal of Numerical Analysis”. 1983 3(3):333-340; doi:10.1093/imanum/3.3.333. [dostęp 6 stycznia 2009]. 



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama