• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Układ liniowy

    Przeczytaj także...
    Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).Równanie całkowe – równanie funkcyjne, w którym występuje całka niewiadomej funkcji. Równania te, w zależności od tego, czy funkcja niewiadoma pojawia się ponadto sama, dzielą się na jednorodne i niejednorodne. Wyróżnia się ponadto kilka ich rodzajów na podstawie typu występujących w nim całek (ściślej granic tych całek). Funkcję szukaną często oznacza się ϕ ( x ) . {displaystyle phi (x).} Zadaniem jest znalezienie postaci funkcji na przedziale [ a , b ] . {displaystyle [a,b].}
    Układ dyskretny (układ dyskretny w czasie, układ skwantowany w czasie, układ impulsowy) − w teorii sterowania, w odróżnieniu od układów ciągłych, mówimy, że układ jest dyskretny, jeżeli przynajmniej jeden jego sygnał ma charakter dyskretny, tzn. przyjmuje tylko określone wartości dla określonych argumentów (zob. sygnał dyskretny, sygnał cyfrowy). Układy przejawiające w swym zachowaniu zarówno cechy układów ciągłych jak i dyskretnych nazywane są układami hybrydowymi.

    Układ liniowy – matematyczny model układu regulacji oparty na przekształceniu liniowym. Będąc matematyczną abstrakcją i swoistą idealizacją, układ liniowy charakteryzuje się znacznie prostszymi własnościami niż układ nieliniowy.

    W świecie fizycznym układy liniowe faktycznie nie istnieją – bardzo surowe warunki jakie implikuje model liniowy nie są realizowalne – w szczególności wymóg, aby żadna zmienna nie była ograniczona, stoi w sprzeczności zarówno z ziarnistością, obserwowaną w fizycznym świecie mikroskopowym, jak i odczuciem, że fizyczne rzeczy nie mogą być dowolnie duże. Model liniowy stosuje się więc tylko wówczas, gdy uda się znaleźć pewien zakres wartości zmiennych, dla których model ten nie odbiega znacząco od faktycznie nieliniowego układu fizycznego. Innymi słowy modele liniowe, dogodne z matematycznego punktu widzenia, często stosuje się do opisu układów nieliniowych, które wcześniej zostały zlinearyzowane. Z tego względu modele liniowe są bardzo często wykorzystywane, znajdują ważne zastosowania w teorii sterowania, w przetwarzaniu sygnałów i w telekomunikacji. Na przykład w systemach łączności bezprzewodowej medium, w którym następuje rozprzestrzenianie się fal, można modelować za pomocą układu liniowego.

    Teoria sterowania - jedna z gałęzi matematyki i cybernetyki, zajmuje się analizą i modelowaniem matematycznym obiektów i procesów różnej natury, zarówno fizycznych (np. chemicznych, cieplnych, mechanicznych, hydraulicznych, pneumatycznych, elektrycznych) jak i społecznych (np. ekonomia matematyczna), traktowanych jako układy dynamiczne ze sterowaniem.Skalar – w algebrze (liniowej) element ustalonego ciała nad którym zbudowany jest dowolny moduł (przestrzeń liniowa).

    Ogólny model deterministyczny można stworzyć wykorzystując operator , który przekształca sygnał wejściowy (określony funkcją zmiennej ) na sygnał wyjściowy – jest to więc model o charakterze „czarnej skrzynki”. Podstawowymi własnościami układów liniowych są:

    Równanie algebraiczne – równanie w postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n jednej lub wielu zmiennych (n ≥ 0). Więc równanie algebraiczne jednej zmiennej to równanie w postaciUkład niestacjonarny - to układ, którego wyjście zależy wprost od czasu, układ stacjonarny natomiast to układ, którego wyjście nie zależy wprost od czasu.
  • własność superpozycji (addytywności),
  • własność skalowania (jednorodności).
  • Własności te można ująć w jeden warunek liniowości: jeśli dane są dwa sygnały wejściowe ,

    i odpowiadające im sygnały wyjściowe

    Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).Funkcja addytywna – funkcja która jest homomorfizmem struktury addytywnej rozważanych obiektów (pierścieni, ciał czy też przestrzeni liniowych). W teorii liczb jednak rozważa się całkowicie inną własność funkcji określaną tym samym terminem.
    , ,

    wówczas dla dowolnych wartości skalarnych

    Składowa harmoniczna jest pojęciem często używanym w teorii sygnałów. Jest to składowa szeregu Fouriera analizowanego sygnału (poza składową zerową zwaną składową stałą). Składowa harmoniczna jest częścią reprezentacji sygnału w dziedzinie widmowej (częstotliwości). Sygnał okresowy spełniający warunki Dirichleta można przedstawić jako sumę sinusoidalnych przebiegów oraz składowej stałej.Funkcja jednorodna – funkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika. Własności funkcji jednorodnych stopnia n {displaystyle n} używa się do rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcie funkcji jednorodnej uogólnia się bez zmian na moduły nad pierścieniami.
    i

    układ liniowy musi spełniać następującą zależność: .

    Zachowanie układu liniowego w odpowiedzi na złożony sygnał wejściowy można więc opisać za pomocą sumy odpowiedzi na prostsze sygnały wejściowe. W przypadku układów nieliniowych taka własność nie jest zachowana. Ta matematyczna własność sprawia, że znalezienie rozwiązania równań opisujących układ liniowy jest znacznie prostsze niż w przypadku równań, które opisują układ nieliniowy.

    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Przetwarzanie sygnałów zajmuje się wykonywaniem pewnych operacji na sygnałach oraz interpretacją tychże sygnałów.

    Opis za pomocą układu liniowego jest łatwo rozpoznawalny – ma charakter zależności liniowych, a więc w równaniach nie występują żadne iloczyny ani potęgi zmiennych, a ewentualne współczynniki tych równań (czyli parametry układu) nie zależą od zmiennych. Układy liniowe opisuje się ogólnie rzecz ujmując operatorami liniowymi, w szczególności liniowymi równaniami różniczkowymi (zwyczajnymi lub cząstkowymi), liniowymi równaniami różnicowymi, całkowymi lub liniowymi równaniami algebraicznymi. Układy nieliniowe opisuje się w ogólności operatorami nieliniowymi, w szczególności nieliniowymi równaniami różniczkowymi (zwyczajnymi lub cząstkowymi), nieliniowymi równaniami różnicowymi, całkowymi lub nieliniowymi równaniami algebraicznymi.

    Telekomunikacja – dziedzina techniki i nauki, zajmująca się transmisją wszelkiego rodzaju informacji na odległość. Obejmuje również sposoby przetwarzania tych informacji, kodowanie, sprzęt telekomunikacyjny, teorie propagacji, sieci telekomunikacyjne i wiele innych zagadnień. Obecnie telekomunikacja w coraz większym stopniu zależy od rozwiązań informatycznych i zaczyna odgrywać coraz większe znaczenie w sieciach komputerowych. Wykonywana jest przy użyciu środków łączności.Delta Diraca – dystrybucja, czyli funkcjonał liniowy i ciągły na przestrzeni D {displaystyle {mathcal {D}}} funkcji próbnych, tzn. wszystkich funkcji klasy C ∞ ( R N ) {displaystyle C^{infty }(mathbb {R} ^{N})} o zwartych nośnikach, dany wzorem

    W przypadku układów stacjonarnych opis za pomocą układu liniowego stanowi podstawę dla metod wykorzystujących charakterystyki impulsowe oraz dla metod częstotliwościowych (metod, w których korzysta się z charakterystyk częstotliwościowych). Metody te modelują funkcję sygnału wejściowego za pomocą odpowiednio: impulsów jednostkowych lub składowych harmonicznych. Zagadnienia te są przedmiotem uwagi w teorii stacjonarnych układów liniowych (ang. Linear Time-Invariant – LTI).

    Transformata Z, transformata Laurenta – jest odpowiednikiem transformaty Laplace’a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.Sterowanie polega na takim oddziaływaniu na dany obiekt aby osiągnąć określony cel. Samo sterowanie nie wiąże się zwykle bezpośrednio z wydatkiem energii, związane jest natomiast z pewną informacją w postaci sygnału. Natomiast efekt sterowania może wiązać się ze zmianami energii albo przemianami materii – szerzej to ujmując ze zmianami stanu (właściwości) obiektu. Obiekt, na który oddziałuje się podczas sterowania, nazywany jest obiektem sterowania.

    Typowe stacjonarne układy liniowe opisane równaniami różniczkowymi można w prosty sposób analizować wykorzystując, w przypadku układów ciągłychtransformatę Laplace'a, a w przypadku układów dyskretnych – transformatę Z. Dla typowych układów liniowych znane są ich własności i układy te posiadają rozwiązania analityczne, które łatwo wyliczyć. Warto również zauważyć, że rozwiązania układów linowych stanowią zbiór funkcji, które w geometrycznym sensie zachowują się jak wektory.

    Charakterystyka częstotliwościowa – charakterystyka reprezentowana przez wykres transmitancji widmowej uzyskiwana w ten sposób, że pulsacja ω {displaystyle omega ,} staje się na wykresie zmienną niezależną i przebiega od 0 {displaystyle 0,} do ∞ {displaystyle infty } .Model deterministyczny to model matematyczny, który danemu na wejściu zdarzeniu jednoznacznie przypisuje konkretny stan. Opis modelu nie zawiera żadnego elementu losowości. Oznacza to, że ewolucja układu w modelu deterministycznym jest z góry przesądzona i zależy wyłącznie od parametrów początkowych lub ich wartości poprzednich.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Zasada superpozycji mówi, że pole (siła) pochodzące od kilku źródeł jest wektorową sumą pól (sił), jakie wytwarza każde z tych źródeł. Spełniają ją, w dość dużym zakresie, pole elektromagnetyczne i pole grawitacyjne, a w konsekwencji siły pochodzące od nich, m.in. siła Coulomba.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.036 sek.