• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Twierdzenie Wantzela

    Przeczytaj także...
    Wielomian nierozkładalny (inaczej: nieprzywiedlny) – wielomian, którego nie da się rozłożyć na iloczyn dwóch prostszych wielomianów. W przypadku wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, wielomian jest nierozkładalny, jeśli nie da się go przedstawić jako iloczynu dwóch wielomianów rzeczywistych o stopniach niższych niż wielomian wyjściowy. Dla przykładu wielomian x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) {displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1)} jest rozkładalny, a wielomian x 2 + 1 {displaystyle x^{2}+1} nie.Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że n {displaystyle n} -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, jeżeli n {displaystyle n} jest liczbą postaci 2 k ⋅ p 1 ⋅ p 2 ⋯ ⋅ p s , {displaystyle 2^{k}cdot p_{1}cdot p_{2}dots cdot p_{s},} gdzie p 1 ,   p 2 ,   … p s ,   {displaystyle p_{1}, p_{2}, dots p_{s}, } są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: F 0 = 3 {displaystyle F_{0}=3} , F 1 = 5 {displaystyle F_{1}=5} , F 2 = 17 {displaystyle F_{2}=17} , F 3 = 257 {displaystyle F_{3}=257} , F 4 = 65537 {displaystyle F_{4}=65537} i nie wiadomo, czy jest ich więcej.
    Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0 ∘   {displaystyle 0^{circ } } . Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.

    Twierdzenie Wantzela mówi, że: Jeżeli dana liczba rzeczywista lub liczba zespolona z jest konstruowalna przy pomocy cyrkla i linijki, to z jest pierwiastkiem pewnego wielomianu nierozkładalnego o współczynnikach wymiernych, którego stopień jest potęgą liczby 2, to znaczy jedną z liczb 1, 2, 4, 8, 16 ...

    Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i {displaystyle i} , tj. pierwiastek wielomianu x 2 + 1 {displaystyle x^{2}+1} .Podwojenie sześcianu (inaczej nazywany problemem delijskim) – jedno z trzech, obok trysekcji kąta i kwadratury koła, wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej, polegające na zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej niż dany.

    Twierdzenie to w wielu przypadkach pozwala na rozstrzygnięcie niewykonalności pewnych konstrukcji za pomocą cyrkla i linijki. W szczególności bardzo prosto wynika z niego niekonstruowalność przy pomocy cyrkla i linijki starożytnych problemów podwojenia sześcianu i trysekcji kąta, a także pozwala udowodnić twierdzenie Gaussa-Wantzela, które określa warunki konstruowalności wielokąta foremnego.

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Trysekcja kąta – jeden z trzech (obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła) wielkich problemów matematyki greckiej. Polega on na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i liniału. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna. Posługując się narzędziami teorii Galois można wykazać, że dla danego kąta φ {displaystyle varphi } kąt o mierze 1 3 φ {displaystyle { frac {1}{3}}varphi } jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian


    Przypisy

    1. Andrzej Strojnowski: Trzy słynne problemy starożytnych Greków. Wyd. 1. Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1995, s. 35-49. ISBN 83-02-05346-5.
    2. Feliks Klein: Elementarmathematik vom hoheren standpunkte aus erster band. Verlag von Julius Springer, 1924.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.014 sek.