• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Twierdzenie Ponceleta-Steinera

    Przeczytaj także...
    Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.Twierdzenie Wantzela mówi, że: Jeżeli dana liczba rzeczywista lub liczba zespolona z jest konstruowalna przy pomocy cyrkla i linijki, to z jest pierwiastkiem pewnego wielomianu nierozkładalnego o współczynnikach wymiernych, którego stopień jest potęgą liczby 2, to znaczy jedną z liczb 1, 2, 4, 8, 16 ...
    Konstrukcje klasyczne, konstrukcje przy użyciu cyrkla i linijki – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki.

    Twierdzenie Ponceleta-Steinera mówi, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Jest to najsilniejszy rezultat tego typu, przy pomocy samej linijki nie da się wyciągać pierwiastków kwadratowych.

    Twierdzenie Mohra-Mascheroniego - mówi, że jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii. Wynik ten został opublikowany w roku 1672 przez Georga Mohra, był jednak nieznany aż do roku 1928. Niezależnie od Mohra twierdzenie zostało odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797.

    Nazwa twierdzenia pochodzi od Jeana Ponceleta, który postawił je jako hipotezę w roku 1822, oraz Jakoba Steinera, który udowodnił je w roku 1833.

    Schemat dowodu Steinera[]

    Przykład konstrukcji samą linijką – narysować prostą równoległą do g, przechodzącą przez punkt P

    Steiner udowodnił, że jeśli na płaszczyźnie dany jest pewien okrąg wraz ze środkiem (tzw. okrąg wspomagający), to można za pomocą jedynie linijki rozwiązać osiem następujących zadań (sformułowania Steinera lekko uwspółcześnione):

    I. Poprowadzić przez dowolny punkt prostą równoległą do danej prostej, gdy:

    a) dana prosta przechodzi przez środek okręgu wspomagającego,

    b) dana prosta przecina okrąg wspomagający, ale nie przechodzi przez jego środek,

    c) dana prosta jest położona dowolnie.

    II. Na prostej jest dany pewien odcinek. Należy:

    a) znaleźć odcinek będący dowolną krotnością pierwszego,

    b) podzielić ten odcinek na dowolną liczbę części,

    c) znaleźć odcinek, którego stosunek do danego jest daną liczbą wymierną.

    III. Przez dany punkt poprowadzić prostą prostopadłą do danej prostej.

    IV. Przez dany punkt poprowadzić prostą, która z daną prostą tworzyłaby kąt równy danemu kątowi.

    V. a) Dany kąt podzielić na połowy, albo

    b) wziąć dowolną krotność danego kąta.

    VI. Od danego punktu odłożyć odcinek równy danemu pod względem wielkości i położenia.

    VII. Znaleźć punkty przecięcia danej prostej i okręgu o danej wielkości i położeniu.

    VIII. Znaleźć punkty przecięcia dwóch danych okręgów.

    Zobacz też[]

  • Twierdzenie Mohra-Mascheroniego
  • Twierdzenie Wantzela
  • Przypisy

    1. J. Steiner: Konstrukcje geometryczne wykonywalne za pomocą linii prostej i nieruchomego okręgu (tłum. ros.). Wyd. 1. Uczpiedgiz, 1939, s. 45-66.

    Linki zewnętrzne[]

  • Twierdzenie Steinera na cut-the-knot (ang.)
  • (window.RLQ=window.RLQ||).push(function(){mw.log.warn("Gadget \"edit-summary-warning\" styles loaded twice. Migrate to type=general. See \u003Chttps://phabricator.wikimedia.org/T42284\u003E.");mw.log.warn("Gadget \"wikibugs\" styles loaded twice. Migrate to type=general. See \u003Chttps://phabricator.wikimedia.org/T42284\u003E.");mw.log.warn("Gadget \"ReferenceTooltips\" styles loaded twice. Migrate to type=general. See \u003Chttps://phabricator.wikimedia.org/T42284\u003E.");mw.log.warn("Gadget \"main-page\" styles loaded twice. Migrate to type=general. See \u003Chttps://phabricator.wikimedia.org/T42284\u003E.");});



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.009 sek.