• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Twierdzenie Eulera o wielościanach

    Przeczytaj także...
    Graf planarny – graf, który można narysować na płaszczyźnie tak, by krzywe obrazujące krawędzie grafu nie przecinały się ze sobą. Odwzorowanie grafu planarnego na płaszczyznę o tej własności nazywane jest jego rysunkiem płaskim. Graf planarny o zbiorze wierzchołków i krawędzi zdefiniowanym poprzez rysunek płaski nazywany jest grafem płaskim.Harold Scott MacDonald "Donald" Coxeter (ur. 9 lutego 1907 w Londynie, zm. 31 marca 2003 w Toronto) – matematyk, uważany za jednego z najwybitniejszych specjalistów XX wieku w dziedzinie geometrii, większość życia spędził w Kanadzie. Przez 60 lat pracował na Uniwersytecie Toronto, opublikował 12 książek. Otrzymał najwyższy stopień orderu Kanady - Companion.
    Ściana – w stereometrii ściana powierzchni wielościennej albo wielościanu to jeden z wielokątów, które tworzą jej/jego brzeg.

    Twierdzenie Eulera o wielościanach, twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłychtwierdzenie o wielościanach zwykłych opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędziami wielościanu.

    gdzie:

  • W — liczba wierzchołków
  • S — liczba ścian
  • K — liczba krawędzi
  • Wzór Eulera, wzór Eulera dla grafów płaskich – twierdzenie teorii grafów opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędzi grafu płaskiego.Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

    Dowód[]

    Dowód wzoru Eulera wynika z analizy diagramu Schlegela wielościanu zwykłego. Diagram ten jest rzutem ścian wielościanu, przy czym rzut jednej z nich zawiera rzuty pozostałych. Jeśli zastąpimy tę wyróżnioną ścianę jej dopełnieniem, to otrzymamy podział płaszczyzny na skończoną liczbę obszarów. Wystarczy wykazać, że tworząc taki podział począwszy od jednego punktu, dodając stopniowo krawędź po krawędzi, na każdym etapie uzyskamy tę samą wartość wzoru

    Diagram Schlegela wielościanu wypukłego - obraz brzegu wielościanu w rzucie środkowym o środku S na płaszczyznę π {displaystyle pi ;} , gdzie:Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.

    równą 2. Dla jednego punktu mamy W = 1 i S = 1, czyli W - K + S = 2. Na każdym etapie do istniejącej części diagramu dodajemy nową krawędź w taki sposób, aby dołączyć ją do istniejących wierzchołków. Zatem nowa krawędź albo łączy nowy wierzchołek z jednym ze starych, albo łączy dwa stare wierzchołki. W pierwszym przypadku liczba S się nie zmienia, a liczby W i K zwiększają się o 1. W drugim przypadku W się nie zmienia, a liczby K i S zwiększają się o 1.Zmiany te nie powodują zmiany wzoru Eulera.

    Wielościan zwykły – wielościan, który przez ciągłą deformację można przekształcić w kulę. Brzeg wielościanu zwykłego jest jednospójny. Wielościany takie nazywa się też często wielościanami Eulera ze względu na to, że spełniony jest dla nich wzór Eulera. Dla wielościanów zwykłych można skonstruować tak zwany diagram Schlegela.David Hilbert (ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu (Prusy Wschodnie), zm. 14 lutego 1943 w Getyndze) – matematyk niemiecki; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.


    Uogólnienia[]

    Zachodzą także nierówności:

    Analogiczne twierdzenie można uzyskać także dla grafów planarnych. Odpowiednikiem wierzchołka i krawędzi wielościanu jest wierzchołek i krawędź grafu, a odpowiednikiem ściany wielościanu obszar otoczony przez krawędzie grafu, a także obszar na zewnątrz grafu.

    Krawędź wielościanu to odcinek łączący dwa jego wierzchołki, będący równocześnie wspólnym bokiem (brzegiem) co najmniej dwóch jego ścian.

    Uogólnienie wzoru Eulera:

    gdzie T to liczba tzw. „tuneli”, czyli wielościennych „wydrążeń” przenikających z jednej strony na drugą tak, że wielościan staje się bryłą (T+1)-spójną.

    Warto zauważyć, że twierdzenie to nie ma postaci równoważności: każdy wielościan wypukły spełnia powyższe równanie, ale nie każdy zestaw ścian, wierzchołków i krawędzi spełniający równanie opisuje jakiś wielościan wypukły – łatwo wskazać kontrprzykłady, np. W=2, K=S=0. Istnieją też wielościany niewypukłe, które to równanie spełniają.

    Przypisy

    1. Hilbert, Cohn-Vossen, op. cit., s. 266
    2. Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 171.

    Bibliografia[]

  • Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa. Warszawa: PWN, 1956.
  • Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Linki zewnętrzne[]

  • Twierdzenie Eulera i jego zastosowanie



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama