• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa



    Podstrony: 1 [2] [3]
    Przeczytaj także...
    Ciąg Cauchy’ego – ciąg elementów przestrzeni metrycznej (np. zbioru liczb rzeczywistych) spełniających tzw. warunek Cauchy’ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy’ego.Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (ur. 31 października 1815 w Ostenfelde w Westfalii, zm. 19 lutego 1897 w Berlinie) – niemiecki matematyk, zwolennik arytmetyzacji analizy matematycznej, twórca precyzyjnego pojęcia granicy funkcji.

    Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa – jeden z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym ujęciu oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte. Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Heinego-Borela, głoszącego, że podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony oraz z równoważności zwartości ze zwartością ciągową w przestrzeniach metryzowalnych.

    Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

    Twierdzenie było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzana, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.

    Twierdzenie[ | edytuj kod]

    Z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych można wybrać podciąg zbieżny, tzn. można wybrać rosnący ciąg indeksów tak, że ciąg jest zbieżny.

    Twierdzenie Heinego-Borela charakteryzuje zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej. Twierdzenie to najprawdopodobniej udowodnił wcześniej Dirichlet, przypisywane jest jednak Heinemu i Borelowi.Przestrzeń ciągowo zwarta - przestrzeń topologiczna w której, każdy ciąg punktów tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny. Podzbiór przestrzeń topologicznej jest ciągowo zwarty, jeśli zbiór ten z topologią indukowaną jest przestrzenią ciągowo zwartą.

    Dowód 1.[ | edytuj kod]

    Załóżmy, że jest ciągiem liczb rzeczywistych, oraz dla wszystkich Indukcyjnie wybieramy liczby oraz liczby naturalne tak że dla każdego mamy

    Przestrzeń metryzowalna – w topologii przestrzeń topologiczna, w której można określić strukturę metryczną, czyli wprowadzić metrykę wyznaczającą topologię tej przestrzeni. Przestrzenie metryzowalne mają te same własności topologiczne co przestrzenie metryczne; w szczególności każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa (a więc również normalna), a także spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.Topologia podprzestrzeni – w topologii i powiązanych z nią działach matematyki topologia określona na podzbiorze danej przestrzeni topologicznej, nazywanym wtedy podprzestrzenią, za pomocą naturalnie odziedziczonej z przestrzeni wyjściowej topologii. Topologię podprzestrzeni nazywa się też topologią śladową, relatywną lub indukowaną.
  • zbiór jest nieskończony.
  • Pierwszy warunek powyżej definiuje Przypuśćmy że wybraliśmy już tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech Jeśli zbiór jest nieskończony, to połóżmy i wybierzmy tak że Jeśli zbiór jest skończony, to wtedy zbiór musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy że i wybieramy tak że

    Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

    Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy że ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.

    Podciąg – ciąg powstały poprzez wybranie pewnej liczby (być może nieskończonej) wyrazów ciągu wyjściowego. Odpowiednikiem podciągów dla ciągów uogólnionych są subtelniejsze ciągi uogólnione.Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

    Dowód 2.[ | edytuj kod]

    Załóżmy, że jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech i niech

    Przestrzeń zupełna – przestrzeń metryczna, dla której każdy określony na niej ciąg Cauchy’ego ma granicę należącą do tej przestrzeni.Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (ur. 5 października 1781, zm. 18 grudnia 1848) – to czeski matematyk, filozof, historyk, logik i teolog.

    Niech teraz będzie rodziną podprzedziałów przedziału indeksowaną skończonymi ciągami zerojedynkowymi określoną wzorami:

    Funkcja monotoniczna – funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny. Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.
    oraz i

    gdzie

    Zbiór ograniczony – termin w matematyce używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.

    Konstrukcja rodziny przedziałów '"`UNIQ--postMath-0000002C-QINU`"'

    Łatwo zauważyć, że długość przedziału równa jest gdzie jest długością ciągu oraz dla dowolnych dwóch

    wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg jest początkiem ciągu

    Łatwo też widać, że istnieje nieskończony rosnący ciąg indeksów dla którego każdy z przedziałów zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu

    Niech teraz oraz Wówczas jest ściśle rosnący oraz

    Pokażemy, że ciąg jest zbieżny do gdzie

    Niech zatem i niech będzie takie, że oraz niech będzie takie, że

    Biorąc teraz mamy:

    Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu do

    Dowód 3.[ | edytuj kod]

    Niech będzie takim ciągiem jak do tej pory, niech i niech

    Niech dalej oraz niech jeśli zbiór jest nieskończony oraz w przeciwnym wypadku. Wykażemy indukcyjnie, że przedziały zawierają nieskończenie wiele elementów ciągu

    Ponieważ dla mamy baza indukcji jest prawdziwa.

    Załóżmy zatem, że dla pewnego przedział zawiera nieskończenie wiele elementów ciągu Jeśli zbiór jest nieskończony, to i wówczas czyli zawiera nieskończenie wiele elementów rozważanego ciągu.

    Jeśli zbiór nieskończony nie jest, to musi być nieskończony na mocy założenia indukcyjnego i wówczas oraz co dopełnia dowód kroku indukcyjnego.

    Niech teraz i niech jest podciągiem ciągu Ciąg jest rosnący i ograniczony, więc posiada supremum Pokażemy, że

    Niech w tym celu i niech będzie takie, że oraz niech będzie takie, że

    Biorąc teraz mamy:

    Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu do

    Zauważmy, że jest także granicą ciągów oraz

    Podstrony: 1 [2] [3]




    Reklama

    Czas generowania strony: 0.169 sek.