• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Trywialność - matematyka

    Przeczytaj także...
    Zero (zapisywane jako 0) – element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. To, czy zero jest uznawane za liczbę naturalną, jest kwestią umowy – czasem włącza się, a czasem wyklucza się je z tego zbioru. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).
    Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

    Trywialność – cecha obiektów (np. grup, czy przestrzeni topologicznych) mających bardzo prostą strukturę; inne znaczenie odnosi się także do prostego aspektu technicznego dowodu lub definicji; oba znaczenia częstokroć opisuje się za pomocą przymiotnika trywialny, za jego synonim (choć niestosowany w matematyce) można uważać wyraz „banalny”.

    Trivium (łac., „rozstaje, (potrójne) rozdroże”, od tri – trzy, via – droga; łac. trivialis, „będący na rozstajach”, stąd: „pospolity”), również trywium oraz triwium (l.mn. trivia, trywia, triwia):Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

    Trywialne obiekty i struktury[]

    Niekiedy zdarza się, iż dla nie-matematyków tego rodzaju obiekty są trudniejsze do przedstawienia czy zrozumienia niż inne, bardziej złożone obiekty. Wśród przykładów można wymienić:

  • zbiór pusty: zbiór nie zawierający elementów,
  • grupa trywialna: grupa składająca się wyłącznie z elementu tożsamościowego,
  • pierścień trywialny: pierścień określony na zbiorze jednoelementowym.
  • Wyraz „trywialny” odnosi się również do rozwiązań równań o bardzo prostej strukturze, ale ze względu na pełność wyniku nie mogą być pominięte; wspomniane rozwiązania nazywa się rozwiązaniami trywialnymi. Przykładowo równanie różniczkowe

    Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

    gdzie jest funkcją o pochodnej ma rozwiązanie trywialne

    Obiekt – w teorii kategorii nazwa elementu klasy na której określona jest kategoria. Każda kategoria składa się z elementów dwóch klas nazywanych klasą obiektów i klasą morfizmów. Klasę obiektów kategorii A {displaystyle {mathfrak {A}}} oznacza się przez O b A {displaystyle mathrm {Ob} {mathfrak {A}}} . Każdemu obiektowi A {displaystyle mathrm {A} ;} odpowiada jednoznaczny morfizm jednostkowy 1 A {displaystyle 1_{mathrm {A} };} , taki że dla każdego morfizmu f o początku A {displaystyle mathrm {A} ;} Teoria liczb - dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.

    funkcję tożsamościowo równą zeru, zaś jej nietrywialnym rozwiązaniem jest funkcja wykładnicza

    Podobnie Wielkie twierdzenie Fermata formułuje się często tak, iż zapewnia ono, że nie istnieją nietrywialne rozwiązania równania dla całkowitego Niewątpliwie istnieją pewne rozwiązania tego równania, np. stanowi jego rozwiązanie dla dowolnego podobnie oraz ale takie rozwiązania są oczywiste i mało interesujące, a przez to „trywialne”.

    W matematyce, termin indukcja matematyczna używany jest na określenie szczególnej metody dowodzenia twierdzeń (w najbardziej typowych przypadkach o liczbach naturalnych), ale także jest on używany na oznaczenie konstrukcji pewnych obiektów.Grupa trywialna – w teorii grup grupa składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. rzędu) możliwymi grupami.

    Trywialność w rozumowaniu matematycznym[]

    Wyraz „trywialny” może odnosić się również do łatwego przypadku dowodu, który nie może być zignorowany ze względu na jego zupełność. Przykładowo dowody wykorzystujące indukcję matematyczną dzielą się na dwie części: „przypadek początkowy”, który stanowi o prawdziwości twierdzenia dla pewnej określonej wartości początkowej, takiej jak np. czy oraz na krok indukcyjny, który zapewnia, że o ile twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej wartości to zachodzi ono również dla wartości Przypadek początkowy często jest trywialnym i tak też jest określany, choć są także przypadki, w których przypadek początkowy jest trudny, zaś krok indukcyjny – trywialny. Podobnie przy dowodzie posiadania danej własności przez wszystkie elementy określonego zbioru: główna część dowodu dotyczyć będzie przypadku niepustego zbioru i będzie badać elementy szczegółowo; w przypadku zbioru pustego własność posiadana jest przez wszystkie elementy zbioru (zob. dowód "w próżni").

    Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.

    Popularnym żartem w społeczności matematycznej jest stwierdzenie, iż „trywialny” jest synonimem wyrazu „dowiedziony”, tzn. każde twierdzenie może być uważane za „trywialne”, o ile tylko wiadomo, że jest prawdziwe. Inny żart dotyczy matematyków rozprawiających o twierdzeniu: pierwszy mówi, że jest ono „trywialne”, w odpowiedzi na prośbę o wytłumaczenie drugiego przedstawia on dwudziestominutowy wywód, pod koniec którego drugi zgadza się, że twierdzenie rzeczywiście jest trywialne. Wspomniane dowcipy pokazują subiektywność sądów dotyczących trywialności. Osoby obeznane z analizą mogą, przykładowo, uważać twierdzenie, iż

    Zbiór pusty - zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. W teorii mnogości ZF, będącej najpopularniejszą aksjomatyką współczesnej matematyki, istnienie zbioru pustego postuluje aksjomat zbioru pustego, natomiast aksjomat ekstensjonalności gwarantuje jego jedyność. Zbiór pusty oznaczany jest zwykle symbolami ∅ {displaystyle varnothing } , ∅ {displaystyle emptyset } , ∅ bądź {}.Analiza funkcjonalna – dział analizy matematycznej zajmujący się głównie badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformacjami lub operatorami (przede wszystkim nad transformacją Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi.

    za trywialne, jednak dla początkującego studenta analizy wcale nie musi ono być tak oczywiste.

    Zbiór jednoelementowy – w teorii mnogości zbiór, do którego należy jeden i tylko jeden element; czasami nazywany jest zbiorem jednostkowym lub singletonem. Zbiór zawierający wyłącznie element y oznacza się zwykle {y}; można go scharateryzować w następujący sposób:Synonim (gr. synōnymos = równoimienny) – wyraz lub dłuższe określenie równoważne znaczeniowo innemu, lub na tyle zbliżone, że można nim zastąpić to drugie w odpowiednim kontekście (auto – samochód). Synonimia może dotyczyć konstrukcji składniowych (mówić wiersz – mówić wierszem), form morfologicznych (profesorowie – profesorzy) i leksemów.

    Należy zauważyć, że trywialność zależy również od kontekstu: w dowodzie twierdzenia analizy funkcjonalnej może wystąpić założenie istnienia większej liczby od danej, jednakże dowody prostych wyników elementarnej teorii liczb mogą istotnie opierać się na fakcie, iż każda liczba naturalna ma następnik (co samo w sobie powinno być dowiedzione lub przyjęte jako aksjomat, zob. aksjomatyka Peana).

    Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

    Zobacz też[]

  • trivium



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama