• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Trygonometria



    Podstrony: 1 [2] [3]
    Przeczytaj także...
    Edmund Gunter (ur. 1581, Hertfordshire, Anglia, zm. 10 grudnia 1626, Londyn) – matematyk, wynalazca i konstruktor licznych przyrządów pomiarowych; skonstruował także poprzednik suwaka logarytmicznego.Ekliptyka – (z gr. έκλειψις zaćmienie) wielkie koło na sferze niebieskiej, po którym w ciągu roku pozornie porusza się Słońce obserwowane z Ziemi.
    Wszystkie funkcje trygonometryczne kąta θ mogą zostać geometrycznie skonstruowane w odniesieniu do okręgu ze środkiem w punkcie O

    Trygonometria (łac. trigonometria, od trigonum: z gr. τρίγωνον trigōnon, neutr. od τρίγωνος trigōnos, „trójrożny, trójkątny”, od -γωνον -gōnon, od γωνία gōnia, „róg, kąt”; spokr. z γόνυ gónu, „kolano” oraz: łac. -metria, od gr. μετρεῖν metrein, „mierzyć”, od μέτρον metron, „miara, kij/pręt mierniczy”) – dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki miarowe między bokami i kątami trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi morskiej (określenia położenia i kierunku przy pomocy ciał niebieskich). Na rozwój trygonometrii miały też wpływ badania astronomiczne.

    Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której funkcja sinus przyjmuje wartość 0.Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

    Historia[ | edytuj kod]

    Egipt i Babilon[ | edytuj kod]

    Tabliczka Plimpton 322

    W starożytnym Egipcie i Babilonie od wieków znano twierdzenia dotyczące stosunków boków trójkątów podobnych. Jednak społeczeństwa przed Grekami prawdopodobnie nie wynalazły idei miary kąta i w konsekwencji badały tylko boki trójkąta.

    Bartłomiej (Barthélemy, Bartholomeo, Bartholomäus) Pitiscus (ur. 24 sierpnia 1561 w Zielonej Górze, zm. 2 czerwca 1613 w Heidelbergu) – matematyk, astronom i teolog kalwiński. Jako pierwszy użył terminu Trygonometria. Jego imieniem nazwany jest krater na Księżycu.Język grecki, greka (starogr. dialekt attycki Ἑλληνικὴ γλῶττα, Hellenikè glõtta; nowogr. Ελληνική γλώσσα, Ellinikí glóssa lub Ελληνικά, Elliniká) – język indoeuropejski z grupy helleńskiej, w starożytności ważny język basenu Morza Śródziemnego. W cywilizacji Zachodu zaadaptowany obok łaciny jako język terminologii naukowej, wywarł wpływ na wszystkie współczesne języki europejskie, a także część pozaeuropejskich i starożytnych. Od X wieku p.n.e. zapisywany jest alfabetem greckim. Obecnie, jako język nowogrecki, pełni funkcję języka urzędowego w Grecji i Cyprze. Jest też jednym z języków oficjalnych Unii Europejskiej. Po grecku mówi współcześnie około 15 milionów ludzi. Język grecki jest jedynym językiem z helleńskich naturalnych, który nie wymarł.

    Niektórzy badacze uważają, że starożytni Babilończycy zapisali pismem klinowym na tabliczce Plimpton 322, powstałej ok. 1800–1900 lat p.n.e., tablicę sekansów. Jednakże według innych interpretacji mogły to być tablice trójek pitagorejskich albo rozwiązanie równania kwadratowego.

    Starożytna Grecja[ | edytuj kod]

    Cięciwa łuku utworzonego przez dany kąt

    Matematycy starożytnej Grecji znali pojęcie cięciwy. Dla danego okręgu i jego części (łuku) cięciwa jest prostą, która przecina okrąg na końcach łuku. Symetralna odcinka cięciwy mieszczącego się wewnątrz koła przechodzi przez jego środek i dzieli łuk (i tym samym kąt) na pół. Połowa długości cięciwy to dla okręgu jednostkowego sinus połowy kąta, czyli Wiele z twierdzeń trygonometrycznych było znanych starożytnym Grekom, jednak w postaci odpowiedników operujących długościami łuków i cięciw, a nie miarami kątów i stosunkami długości boków trójkąta.

    Dynastia Song (chiń.: 宋朝; pinyin: Sòng Cháo; Wade-Giles: Sung Ch’ao) – dynastia panująca w Chinach od 960 do 1279 roku, po okresie Pięciu Dynastii i Dziesięciu Królestw, a przed panowaniem dynastii Yuan. Był to pierwszy rząd na świecie, który emitował pieniądz papierowy i pierwszy rząd chiński, który ustanowił stałą marynarkę wojenną. Za czasów tej dynastii po raz pierwszy użyto prochu strzelniczego, jak również odróżniono północ prawdziwą od magnetycznej.Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

    Jakkolwiek w dziełach Euklidesa i Archimedesa nie było trygonometrii w ścisłym tego słowa znaczeniu, są jednak twierdzenia zaprezentowane w geometrycznej formie, które stanowią odpowiedniki pewnych trygonometrycznych praw i wzorów. Na przykład propozycje XII i XIII z Księgi II Elementów są tożsame ze wzorem cosinusów odpowiednio dla kątów rozwartych i ostrych. Twierdzenia dotyczące długości cięciw są natomiast zastosowaniem wzoru sinusów. Jedno z twierdzeń Archimedesa jest zaś odpowiednikiem wzoru na sinus sumy i różnicy kątów. Matematycy za czasów Arystarcha z Samos dla celów obliczeniowych używali m.in. twierdzenia mówiącego, iż (we współczesnej notacji) dla .

    Cięciwa – w geometrii oznacza odcinek łączący dwa dowolne punkty na okręgu, krzywej bądź powierzchni. Najdłuższa możliwa cięciwa dla danego okręgu (lub ogólniej dla dowolnego zbioru punktów) nazywana jest średnicą.Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

    Pierwsze tablice trygonometryczne zostały prawdopodobnie skompilowane przez Hipparcha (180–125 p.n.e.). Hipparch jako pierwszy ułożył tablice odpowiadających sobie długości cięciwy i łuku dla różnych kątów.

    Średniowieczne przedstawienie Klaudiusza Ptolemeusza

    Jakkolwiek nie wiadomo dokładnie, kiedy zaczęto używać podziału kąta pełnego na 360 stopni, przypuszczalnie nastąpiło to wkrótce po napisaniu przez Arystarcha z Samos dzieła O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca ok. 260 p.n.e., gdyż mierzył on kąty w ułamkach kąta prostego. Prawdopodobnie podział kąta pełnego na 360 stopni spopularyzował się głównie dzięki Hipparchowi i jego tablicy cięciw. Hipparch mógł podchwycić ideę takiego podziału u Hipsikla, który wcześniej dzielił dobę na 360 części, zapewne wzorując się na babilońskich astronomach. W starożytnej astronomii ekliptyka została podzielona na 12 „znaków zodiaku” lub 36 dekanów. Roczny cykl około 360 dni można było otrzymać, dzieląc każdy znak na 30 części i każdy dekan na 10 części. To dzięki używanemu w Babilonii sześćdziesiątkowemu systemowi liczbowemu każdy stopień został podzielony na 60 minut kątowych, a każda minuta na 60 sekund kątowych.

    De revolutionibus orbium coelestium (pol. O obrotach sfer niebieskich) – dzieło Mikołaja Kopernika, które zawiera wykład heliocentrycznej i heliostatycznej budowy wszechświata. Na owe czasy stanowiło przewrót w nauce i ówczesnym światopoglądzie.Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

    Menelaos z Aleksandrii (ok. 100 n.e.) napisał trzy księgi pod tytułem Sphaerica. W Księdze I sformułował dla trójkątów sferycznych odpowiedniki twierdzeń dotyczących trójkątów na płaszczyźnie. Sformułował również twierdzenie nieposiadające odpowiednika na płaszczyźnie euklidesowej, mówiące, że dwa trójkąty sferyczne są przystające, jeśli odpowiednie ich kąty mają równe miary (utożsamiał przy tym symetryczne wersje trójkątów sferycznych). Menelaos zauważył także, że suma kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego jest zawsze większa od 180°. Księga II Sphaerica dotyczyła zastosowań geometrii sferycznej do astronomii. Księga III zawierała „twierdzenie Menelausa”.

    Elementy (gr. Στοιχεῖα, Stoicheia) – pochodzący z IV wieku p.n.e. traktat arytmetyczny i geometryczny, obejmujący swym zakresem podstawowe zagadnienia obu tych nauk.Regiomontanus, właśc. Johannes Müller (ur. 6 czerwca 1436 w Unfinden koło Königsbergu w dzisiejszej Bawarii, zm. 6 lipca 1476 w Rzymie) – niemiecki matematyk, astronom i astrolog.

    Później Klaudiusz Ptolemeusz (ok. 90 – ok. 168 n.e.) rozbudował w swoim dziele Almagest koncepcję „cięciw na okręgu” Hipparcha. Trzynasta księga Almagestu była znaczącą starożytną pracą w dziedzinie trygonometrii. Jedno z jej twierdzeń jest dziś znane jako twierdzenie Ptolemeusza. Szczególny przypadek twierdzenia Ptolemeusza pojawia się także w Propozycji XCIII dzieła Euklidesa. Twierdzenie Ptolemeusza prowadzi do równoważnika wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy, choć oczywiście wyrażonych w języku cięciw, a nie funkcji. Ptolemeusz wyprowadził później ekwiwalent wzoru

    Klaudiusz Ptolemeusz, Ptolemeusz Klaudiusz lub po prostu Ptolemeusz (łac. Claudius Ptolemaeus, stgr. Κλαύδιος Πτολεμαῖος Klaudios Ptolemaios; ur. ok. 100, zm. ok. 168) – astronom, matematyk i geograf greckiego pochodzenia. Urodzony w Tebaidzie, kształcił się i działał w Aleksandrii należącej wówczas do Imperium rzymskiego około II wieku n.e.Menelaos z Aleksandrii (stgr. Μενέλαος ὁ Αλεξανδρεύς Menelaos Aleksandreus; ur. ok. 70, zm. ok. 140) – grecki astronom i matematyk. Autor antycznego traktatu z dziedziny geometrii sferycznej.

    Ptolemeusz używał tych wyników do stworzenia tablic trygonometrycznych, choć nie wiadomo, czy nie były one wyprowadzone z dzieła Hipparcha.

    James Gregory (ur. listopad 1638 w Drumoak koło Aberdeen, zm. październik 1675 w Edynburgu) – szkocki astronom i matematyk.Georg Joachim von Lauchen, pierwotnie Georg Joachim Iserin, używał też nazwiska matki de Porris i jego niemieckiego tłumaczenia von Lauchen. Najbardziej znany z przybranego nazwiska Retyk (łac. Rheticus; ur. 16 lutego 1514 w Feldkirch, dzisiejsza Austria, zm. 4 grudnia 1574 w Koszycach, Węgry) – profesor matematyki z Wittenbergi, kartograf, twórca przyrządów nawigacyjnych i innych, lekarz i nauczyciel.

    Ani tablice Hipparcha, ani Ptolemeusza nie przetrwały do czasów współczesnych, choć dzięki wzmiankom u innych autorów nie ma wątpliwości, że istniały.

    Średniowieczne Indie[ | edytuj kod]

    Posąg Aryabhaty

    Kolejny istotny postęp w trygonometrii został dokonany w Indiach. Indyjski matematyk i astronom Aryabhata (476–550 n.e.) w swoim dziele Aryabhata-Siddhanta po raz pierwszy zdefiniował sinus w znanej dzisiaj formie związku między połową kąta i połową cięciwy, a także cosinus, sinus versus i arcus sinus. Jego dzieła zawierają najwcześniejsze tablice trygonometryczne, które przetrwały do dzisiaj, z wartościami funkcji sinus i sinus versus co 3.75° stopnia od 0° do 90°, z dokładnością do czterech miejsc znaczących. Jego nazwy na sinus i cosinus stały się podstawą nazw używanych dzisiaj (zobacz Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw funkcji trygonometrycznych).

    Bhaskaraćarja (sanskryt भास्कराचार्य , trl. Bhāskarācārya czyli Bhāskara nauczyciel, Bhāskara II,) (1114 - 1185) - matematyk i astronom indyjski. Kierował obserwatorium astronomicznym w Ujjainie.Almagest (gr. μαθηματική σύνταξις, arab. المجسطي), zwany też Mathematike Syntaxis, Mathematikes Sýntaxeos (Matematyczny zbiór), Megále Sýntaxis (Wielki zbiór), Megae syntaxis tes astronomia (Wielka rozprawa astronomiczna); jeden z tłumaczy (Al-Hadżdżadż) nazwał go Kitab al-Midżisti, stąd wziął się tytuł Almagest – dzieło Klaudiusza Ptolemeusza napisane ok. roku 140, zawierające kompendium ówczesnej wiedzy astronomicznej, matematyczny wykład astronomii geocentrycznej.

    Inni hinduscy matematycy rozwinęli później pracę Aryabhaty. W VI wieku n.e. Varahamihira używał wzorów:

    W VII wieku Bhaskara I stworzył wzór pozwalający na przybliżone obliczanie sinusa dla kąta ostrego bez tablic (z błędem mniejszym od 1,9%):

    Shen Kuo (1031-1095) – chiński urzędnik z okresu dynastii Song i uczony. Zajmował się m.in. astronomią, matematyką, kartografią, filozofią, ekonomią, botaniką, poezją i muzyką.Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

    W końcu VII wieku, Brahmagupta wyprowadził wzór:

    Uług Beg, Uługh Bek (właśc. Muhammad Taragaj, ur. 22 marca 1394, zm. 27 października 1449) – sułtan z dynastii Timurydów, syn Szahrucha, wnuk Timura. W 1409 został namiestnikiem Samarkandy, a w 1447 najwyższym władcą Timurydów. Zginął zamordowany przez własnego syna Abd al-Latifa podczas walk dynastycznych.Przystawanie (kongruencja) – w geometrii relacja równoważności figur zdefiniowana poprzez izometrię rozumianą intuicyjnie jako identyczność kształtu i wielkości figury: dwie figury uważa się za przystające (kongruentne), jeśli istnieje izometria między nimi.

    oraz tzw. wzór interpolacyjny Brahmagupty:

    Sir Isaac Newton (ur. 25 grudnia 1642/4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 20 marca 1726/31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.Babilon (sum. ká.dingir.ra /"brama boga"/; akad. Bāb-ilim /"brama boga"/ lub Bāb-ilāni /"brama bogów"/; gr. Βαβυλών Babylōn; bibl. בָּבֶל Bābel; arab. بابل Bābil) – starożytne miasto położone w Mezopotamii, nad Eufratem, dawna stolica Babilonii; obecnie stanowisko archeologiczne Atlal Babil w Iraku.

    który pozwolił mu na stablicowanie wartości sinusa.

    Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.Pismo klinowe – najstarsza na świecie odmiana pisma, powstała na Bliskim Wschodzie, stworzona najprawdopodobniej przez Sumerów ok. 3500 lat przed naszą erą.

    Świat islamu[ | edytuj kod]

    Al-Chuwarizmi sportretowany na radzieckim znaczku pocztowym

    Prace matematyków hinduskich zostały później przetłumaczone i rozszerzone w świecie muzułmańskim przez arabskich i perskich matematyków. W IX wieku Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi obliczył dokładne tablice sinusa i cosinusa i pierwsze w historii tablice tangensa.

    Arystarch z Samos (gr. Ἀρίσταρχος ὁ Σάμιος Aristarchos ho Samios; ok. 310–230 p.n.e.) – grecki astronom pochodzący z wyspy Samos, który jako pierwszy zaproponował heliocentryczny model Układu Słonecznego.Euklides z Aleksandrii (gr. Εὐκλείδης, Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e.) – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.

    W X wieku islamscy matematycy używali wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych z secansem i cosecansem włącznie, co wiadomo dzięki pracy autorstwa Abu al-Wafa. Abu al-Wafa stworzył tablice sinusa z krokiem 0,25° i dokładnością 8 cyfr dziesiętnych, a także dokładne tablice tangensa. Zauważył również tożsamość:

    Trójka pitagorejska a. liczby pitagorejskie – w teorii liczb takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają tzw. równanie Pitagorasa:Penguin Books – brytyjskie wydawnictwo założone w 1935 roku przez sir Allena Lane’a. Penguin podbił rynek tanimi książkami dostępnymi dla szerokiego grona czytelników. Książki kosztowały sześć pensów, tyle co paczka papierosów, i były oznaczone różnymi kolorami: fikcja – pomarańczowym, biografie – niebieskim, kryminały – zielonym. Pierwsza partia zawierała książki m.in. Ernesta Hemingwaya i Agathy Christie W latach 30-tych i w czasie II wojny światowej Penguin stał się najbardziej znaczącym brytyjskim wydawnictwem, realizując w ten sposób zamysł Lane’a, aby dobre książki były tanie i powszechnie dostępne. Penguin wyraźnie wpłynął na brytyjską kulturę, ale też na politykę, edukację i świadomość społeczną. Od 1937 do lat 90-tych siedziba Penguin Books znajdowała się w Harmondsworth, potem, po połączeniu z Viking, została przeniesiona do Londynu.

    Wszystkie te wczesne wyniki trygonometryczne powstawały głównie w związku z pracami astronomicznymi, pierwsze traktaty wyłącznie o trygonometrii opublikowali zapewne Bhāskara Acārya i Nasir ad-Din Tusi w XIII wieku. Nasir ad-Din Tusi sformułował i udowodnił twierdzenie sinusów, sklasyfikował też sześć różnych przypadków prostokątnych trójkątów sferycznych.

    Mikołaj Kopernik (łac. Nicolaus Copernicus, niem. Nikolaus Kopernikus; ur. 19 lutego 1473 w Toruniu, zm. 24 maja 1543 we Fromborku) – polski astronom, autor dzieła De revolutionibus orbium coelestium (O obrotach sfer niebieskich) przedstawiającego szczegółowo i w naukowo użytecznej formie heliocentryczną wizję Wszechświata. Wprawdzie koncepcja heliocentryzmu pojawiła się już w starożytnej Grecji (jej twórcą był Arystarch z Samos), to jednak dopiero dzieło Kopernika dokonało przełomu i wywołało jedną z najważniejszych rewolucji naukowych od czasów starożytnych, nazywaną przewrotem kopernikańskim.Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

    W XIV wieku Ghijas ad-Din Kaszi stworzył tablice sinusa z dokładnością do czterech cyfr sześćdziesiątkowych (odpowiednik 8 miejsc dziesiętnych) dla każdego stopnia z dodatkowymi poprawkami do obliczania wartości dla każdej minuty kątowej. Uług Beg (XV wiek) także podał dokładne tablice sinusa i tangensa sięgające 8 miejsc dziesiętnych.

    Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki, powstały już w starożytności. Zajmuje się on algebrami ogólnymi i relacjami. Algebra elementarna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie i mnożenie; wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu razem z jego rozkładem na czynniki (faktoryzacją) i znajdowaniem ich pierwiastków, choć algebra jest działem bardziej ogólnym (patrz podział algebry).Język chiński (chiń. upr. 汉语, chiń. trad. 漢語, pinyin Hànyǔ; lub chiń. upr./chiń. trad. 中文, pinyin Zhōngwén) – język lub grupa spokrewnionych języków (tzw. makrojęzyk), należących do rodziny chińsko-tybetańskiej.

    Średniowieczne Chiny[ | edytuj kod]

    Guo Shoujing (1231–1316)

    Tablice sinusów Aryabhaty zostały przetłumaczone na chiński i umieszczone w klasycznym dziele Kaiyuan Zhan Jing, skompilowanym w 718 roku w okresie dynastii Tang. Jakkolwiek Chińczycy celowali w innych dziedzinach matematyki, takich jak stereometria, czy algebra, to wczesne formy trygonometrii nie rozpowszechniły się tak szybko jak w przypadku Greków, Hindusów i muzułmanów. Powoli ten stan zaczął się zmieniać w okresie dynastii Song (960–1279), kiedy chińscy matematycy zaczęli kłaść większy nacisk na potrzeby geometrii sferycznej. Na przykład Shen Kuo (1031–1095) używał funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania problemów matematycznych z cięciwami i łukami. Jak twierdzą historycy L. Gauchet i Joseph Needham, inny matematyk, Guo Shoujing (1231–1316) używał trygonometrii sferycznej w kalkulacjach kalendarzowych i astronomicznych.

    Johann Heinrich Lambert (ur. 26 sierpnia 1728 w Miluzie, zm. 25 września 1777 w Berlinie) – matematyk, filozof, fizyk i astronom szwajcarski pochodzenia francuskiego.James Stirling (ur. maj 1692, zm. 5 grudnia 1770) – szkocki matematyk. Zajmował się teorią szeregów nieskończonych i teorią krzywych algebraicznych trzeciego stopnia oraz opracował wzór Abrahama de Moivre na silnię n!.

    Renesansowa Europa[ | edytuj kod]

    Regiomontanus był prawdopodobnie pierwszym europejskim matematykiem, który traktował trygonometrię jako oddzielną dyscyplinę matematyczną. Napisał w 1464 De triangulis omnimodus, a później Tabulae directionum.

    Funkcję secans w Europie wprowadził Mikołaj Kopernik w dziele De revolutionibus orbium coelestium (1543), choć arabscy matematycy używali jej prawdopodobnie już w IX wieku.

    Francesco Maurolico w 1555 używał zapisu sinus, w 1583 J. Finck użył określeń tangens oraz sekans. Edmund Gunter w 1620 roku użył słowa cotangens, w 1624 roku wprowadził oznaczenie sin x oraz tan x, a w 1636 cosi x oraz słowo cosinus (zamiast complementi sinus). François Viète w 1590 znalazł wzór na .

    Astronomia sferyczna – jeden z najstarszych działów astronomii (a ściślej, astrometrii), zajmujący się matematycznym opisem widomych położeń ciał niebieskich i ich zmian, układami współrzędnych niebieskich itp. Jego nazwa wzięła się stąd, że kierunki ku obiektom na niebie dla ułatwienia często określa się poprzez podporządkowanie im odpowiednich punktów na powierzchni kuli, czyli sferze.Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

    W 1595 Bartłomiej Pitiscus użył po raz pierwszy terminu „trygonometria” w swoim dziele Trigonometria: sive de solutione triangulorum Tractatus brevis et perspicuus (1595, Heidelberg).

    Opus palatinum de triangulis autorstwa Retyka, było prawdopodobnie pierwszą definicją funkcji trygonometrycznych w terminach trójkątów prostokątnych zamiast okręgów jednostkowych; ta praca została dokończona przez Valentina Otho, studenta Rheticusa w roku 1596.

    Isaac Newton w 1665 znalazł rozwinięcie funkcji sinus i cosinus w szereg, a Leonhard Euler w 1734 rozwinięcie funkcji sinus w iloczyn nieskończony.

    Sekunda – jednostka miary kąta płaskiego równa 1/60 minuty czyli 1/3600 stopnia oznaczana 1″. Nie należy do układu SI.Podobieństwo – przekształcenie geometryczne zachowujące stosunek odległości punktów gdy kształt figur jest zachowany oraz ich wielkość może się różnić. Także relacja równoważności utożsamiająca figury geometryczne, które nazywane są wtedy podobnymi, o ile istnieje podobieństwo przeprowadzające jedną na drugą.

    W XVII wieku Isaac Newton i James Stirling stworzyli wzór interpolacyjny Newtona-Stirlinga dla funkcji trygonometrycznych.

    W 1770 Johann Heinrich Lambert znalazł reprezentację tangensa w postaci ułamka łańcuchowego.

    Historia analizy trygonometrycznej[ | edytuj kod]

    Madhava (około roku 1400) stworzył podwaliny analizy matematycznej funkcji trygonometrycznych, odkrywając rozwinięcie funkcji w szeregi nieskończone. Badał on koncepcje szeregów potęgowych oraz pewnego szeregu, nazwanego później w Europie szeregiem Taylora i obliczył rozwinięcia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Używając aproksymacji sinusa i cosinusa szeregiem Taylora, stworzył tablice sinusa z 12 miejscami znaczącymi i cosinusa z 9 miejscami znaczącymi. Podał także rozwinięcie π w szereg potęgowy. Jego prace były rozwijane przez jego następców ze szkoły astronomicznej w Kerala aż do XVI wieku.

    Nasir Tusi Abu Dżafar Muhammad Ibn Muhammad Ibn al-Hasan Nasir ad-Din al-Tusi (ur. 1201 w Tusie, zm. 1274, okolice Bagdadu) – perski naukowiec, wyznania szyickiego. Znany jest jako filozof, astronom, teolog, lekarz oraz pisarz.Starożytny Egipt (egip. Kemet, Czarna Ziemia) – wysoko rozwinięta cywilizacja starożytnego Bliskiego Wschodu położona w północno-wschodniej Afryce w dolinie i delcie Nilu (z oazami Pustyni Libijskiej włącznie). W okresie największego rozkwitu (Nowe Państwo) obejmująca swoim zasięgiem także Nubię (Kusz) oraz Punt na południu, Syropalestynę (Retenu) na północnych rubieżach azjatyckich, oraz tereny libijskie na północnym zachodzie.

    Introductio in analysin infinitorum Leonharda Eulera z 1748 roku stworzyło grunt dla analitycznego traktowania funkcji trygonometrycznych w Europie, definiując je jako nieskończone szeregi i wprowadzając „wzór Eulera”. Euler używał skrótów zbliżonych do dzisiejszych: sin., cos., tang., cot., sec., i cosec.

    James Gregory, a następnie Brook Taylor badali szeregi, znane dziś jako szeregi Taylora. Ten ostatni znalazł rozwinięcia i aproksymacje wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych. Duże znaczenie na tym polu miały również prace Colina Maclaurina.

    Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Pojęcie to odnosi się najczęściej do przestrzeni euklidesowej, ale może też dotyczyć przestrzeni hiperbolicznej i rzutowej.Brook Taylor (ur. 18 sierpnia 1685 na przedmieściach Londynu Edmonton, zm. 29 grudnia 1731 w Londynie), angielski matematyk, znany jako odkrywca pojęcia zwanego dziś szeregiem Taylora.


    Podstrony: 1 [2] [3]




    Warto wiedzieć że... beta

    Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.
    Trójkąt sferyczny jest to figura przestrzenna powstała z trzech łuków kół wielkich na sferze. Łuki te spełniają tę samą funkcję, co odcinki w trójkącie, więc muszą się one przecinać w wierzchołkach. W wyniku przecięcia powstaje na sferze 8 trójkątów sferycznych, w tym jeden trójkąt eulerowski.
    Twierdzenie cosinusów (inaczej wzór cosinusów, twierdzenie Carnota, uogólnione twierdzenie Pitagorasa) – twierdzenie mówiące, że w dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
    Hipparchos z Nikei (Hipparch; gr. Ἵππαρχος, ok. 190 p.n.e. - 120 p.n.e.) – grecki matematyk, geograf i astronom.
    Archimedes z Syrakuz (gr. Ἀρχιμήδης ὁ Συρακόσιος Archimedes ho Syrakosios; ok. 287–212 p.n.e.) – grecki filozof przyrody i matematyk, urodzony i zmarły w Syrakuzach; wykształcenie zdobył w Aleksandrii. Był synem astronoma Fidiasza i prawdopodobnie krewnym lub powinowatym władcy Syrakuz Hierona II.
    Brahmagupta (598 - 670) - indyjski astronom i matematyk, który rozważał pewną liczbę idei obecnie akceptowanych w matematyce. Jego głównym osiągnięciem na polu matematyki było wprowadzenie pojęcia zera i liczb ujemnych. W dziele Brahmasphutasiddhanta (628), którego tytuł można przetłumaczyć jako Odsłona wszechświata, definiuje zero jako rezultat otrzymany wtedy gdy liczba jest odjęta od samej siebie – była to najlepsza definicja zera znana w tamtych czasach; dzieło to zawiera również pierwsze znane użycie znaku zera. Brahmagupta dostarczył ponadto zasad operowania "majętnościami" i "długami", czyli dodatnimi i ujemnymi liczbami (co uznaje się za pierwsze znane użycie liczb ujemnych). Odsłona Wszechświata zawiera również algorytm obliczania pierwiastka kwadratowego, metodę rozwiązywania równań kwadratowych, i elementarną postać notacji symbolicznej (algebraicznej).
    Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي) – perski matematyk, astronom, geograf i kartograf pochodzenia chorezmijskiego żyjący w IX wieku (prawdopodobnie ok. 780 - ok. 850).

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.059 sek.