• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Transformacja naturalna

    Przeczytaj także...
    Funktor – w teorii kategorii semantycznych wyrażenie, które nie jest nazwą ani zdaniem, służące do konstrukcji wyrażeń bardziej złożonych – nazw, zdań lub bardziej złożonych funktorów. Wyrażenie, wraz z którym dany funktor tworzy wyrażenie bardziej złożone, to argument funktora.Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (WMIM UW, MIMUW) – wydział Uniwersytetu Warszawskiego kształcący w trybie dziennym na kierunkach:
    Obiekt – w teorii kategorii nazwa elementu klasy na której określona jest kategoria. Każda kategoria składa się z elementów dwóch klas nazywanych klasą obiektów i klasą morfizmów. Klasę obiektów kategorii A {displaystyle {mathfrak {A}}} oznacza się przez O b A {displaystyle mathrm {Ob} {mathfrak {A}}} . Każdemu obiektowi A {displaystyle mathrm {A} ;} odpowiada jednoznaczny morfizm jednostkowy 1 A {displaystyle 1_{mathrm {A} };} , taki że dla każdego morfizmu f o początku A {displaystyle mathrm {A} ;}

    Transformacja naturalna – w teorii kategorii przekształcenie jednego funktora w inny zachowujące strukturę kategorii na których te funktory operują. Transformacje naturalne można rozumieć jako morfizmy między funktorami, jest to formalizowane przy pomocy kategorii funktorów.

    Definicja[]

    Dla równoległych funktorów ) transofmacją naturalną z w nazywamy przekształcenie przypisujące każdemu obiektowi strzałkę w takie, że dla dowolnego morfizmu w następujący diagram komutuje:

    Diagram przemienny – w matematyce, a szczególnie jej dziale nazywanym teorią kategorii, diagram składający się z obiektów (nazywanych również wierzchołkami) i morfizmów (znanych także jako strzałki lub krawędzie), w którym wybranie dowolnej drogi skierowanej między dwoma jego obiektami prowadzi do tego samego wyniku ze względu na składanie morfizmów. Diagramy przemienne odgrywają analogiczną rolę w teorii kategorii do równań w algebrze.Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.

    Natural transformation.svg

    Rodzinę strzałek nazywamy komponentami transformacji naturalnej ( oznacza kolekcję wszystkich obiektów kategorii). Gdy odwzorowanie jest izomorfizmem w kategorii funktory i nazywamy naturalnie izomorficznymi.

    Monoid - półgrupa, której działanie ma element neutralny. Formalnie, monoid to algebra ( S , e , ∗ ) {displaystyle (S,e,*)} , sygnatury ( 0 , 2 ) {displaystyle (0,2)} , gdzie S jest niepustym zbiorem, natomiastKategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane.

    Przykłady[]

    Transformacją naturalną jest na przykład dla funktora ( – kategoria zbiorów, – kategoria monoidów) operacja , która mając daną listę, odwraca jej elementy:

    Dla zbioru komponent jest funkcją odwracającą dowolną listę o elementach z .

    Bibliografia[]

    1. Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 5: Funktory i transformacje naturalne. Ważniak MIMUW. [dostęp 2010-08-17].
    2. Wykład z Topologii Algebraicznej na Wydziale MiMUW UW w prowadzony w roku 2010.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.041 sek.