• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Transformacja Lorentza



    Podstrony: [1] 2 [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).Linia świata – w fizyce, zbiór punktów, z których każdy reprezentuje tzw. zdarzenie czasoprzestrzenne, określający kolejne położenia obiektu na diagramie czasoprzestrzennym Minkowskiego w wybranych składowych czasoprzestrzeni.
    Grupa Lorentza i Poincarégo[ | edytuj kod]

    W teorii względności rozważa się grupy transformacji Lorentza i Poincarégo. Przekształcenie będące automorfizmem w wektorowej czasoprzestrzeni Minkowskiego nazywane jest przekształceniem Lorentza. Odwzorowania takie tworzą grupę Lorentza. Przekształcenie będące automorfizmem w afinicznej czasoprzestrzeni Minkowskiego nazywane jest natomiast przekształceniem Poincarégo. Te tworzą grupę Poincarégo.

    Andrzej Mariusz Trautman (ur. 4 stycznia 1933 w Warszawie) – profesor zwyczajny, doktor habilitowany, inżynier fizyki teoretycznej, członek rzeczywisty PAN, polski fizyk mający znaczący wkład do teorii grawitacji, a w szczególności do ogólnej teorii względności, profesor Uniwersytetu Warszawskiego, członek PZPR.Czterowektor – w algebrze tensorowej wektor kontrawariantny. Możliwa jest także konstrukcja wektorów kowariantnych za pomocą izomorfizmu muzycznego oraz tensorów o dowolnej walencji przy pomocy iloczynu tensorowego. Pierwszym elementem czterowektora jest składowa czasowa, a kolejne trzy są to współrzędne przestrzenne.

    Podgrupy grupy Lorentza[ | edytuj kod]

    W grupie Lorentza można wyróżnić podgrupy:

  • jednorodne przekształcenia Lorentza: początek układu współrzędnych nie zmienia się; należą tu:
  • obroty w czasoprzestrzeni (wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza jest wtedy równy 1), przy czym wyróżnia się:
  • zwykłe obroty w przestrzeni 3D,
  • pchnięcia Lorentza, czyli właściwe transformacje Lorentza – to transformacje z danego układu do układu poruszającego się względem niego,
  • odbicia przestrzenne i inwersja czasu (wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza jest wtedy równy −1),
  • niejednorodne przekształcenia Lorentza – przekształcenia Lorentza zawierające translacje początku układu współrzędnych.
  • Pchnięcie Lorentza[ | edytuj kod]

    Pchnięcie Lorentza jest analogiem obrotu w czasoprzestrzeni Minkowskiego. W opisie przekształcenia stosuje się funkcje hiperboliczne. Interwał czasoprzestrzenny wyrażony poprzez takie funkcje okazuje się jednak tożsamy z klasyczną transformacją współrzędnych Lorentza, która wprowadza stałą względną prędkość jednego układu odniesienia względem tego, do którego współrzędne są transformowane. Ilustracja takiego przekształcenia na diagramie Minkowskiego nie może mieć sensu właściwego obrotu, gdyż osie nowego układu zbliżają się do siebie.

    Funkcje hiperboliczne – funkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej będących sumą, różnicą lub ilorazem funkcji eksponencjalnych określone następująco: Konwencja sumacyjna Einsteina – to skrótowy sposób zapisu równań zawierających kilka znaków sumy. Stosuje się go w celu zwiększenia przejrzystości zapisu równań.

    Interwał czasoprzestrzenny w czterowymiarowej czasoprzestrzeni jest sumą części czasowej – ta nie zmienia się przy transformacjach przestrzeni, oraz przestrzennej – niezmienność interwału dopuszcza transformacje przestrzenne polegające na obrotach, translacjach i odbiciach w przestrzeni. Można zatem na rozmaitości czasoprzestrzennej wyróżnić podgrupy: obrotów i translacji.

    Prawo Ampère’a – prawo wiążące indukcję magnetyczną wokół przewodnika z prądem z natężeniem prądu elektrycznego przepływającego w tym przewodniku. Prawo to wynika z matematycznego twierdzenia Stokesa.Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z przestrzenią trówymiarową umożliwia formalny zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który opisał ją w 1907.

    Wyprowadzenie zjawisk relatywistycznych[ | edytuj kod]

    Z transformacji Lorentza można wyprowadzić m.in. poniżej zestawione prawa.

    Dodawanie prędkości[ | edytuj kod]

    Transformacja Lorentza prowadzi do prawa składania prędkości innego niż klasyczne prawo składania prędkości (które wynika z transformacji Galileusza), tj.

    gdzie:

    W fizyce i matematyce grupa Poincarégo jest to grupa izometrii czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest to 10-wymiarowa grupa Liego nazwana na cześć jednego z twórców matematycznych podstaw teorii względności. Abelowa grupa translacji w czasoprzestrzeni jest podgrupą normalną, podczas gdy grupa Lorentza jest podgrupą, czyli pełna grupa Poincaré jest iloczynem półprostym translacji i transformacji Lorentza. Innym sposobem wyprowadzenia grupy Poincaré jest rozszerzenie grupy Lorentza za pomocą jej reprezentacji wektorowej. Zgodnie z programem z Erlangen, geometria czasoprzestrzeni Minkowskiego jest zdefiniowana przez grupę Poincarégo. Wedle tego programu przestrzeń Minkowskiego jest przestrzenią jednorodną dla grupy Poincarégo.Pole elektryczne – stan przestrzeni otaczającej ładunki elektryczne lub zmienne pole magnetyczne. W polu elektrycznym na ładunek elektryczny działa siła elektrostatyczna.
    – prędkość ciała względem układu – prędkość tego samego ciała względem układu – prędkość układu względem układu

    Dyskusja wzoru:

    Próżnia – w rozumieniu tradycyjnym pojęcie równoważne pustej przestrzeni. We współczesnej fizyce, technice oraz rozumieniu potocznym pojęcie próżni ma zupełnie odmienne konotacje.Czasoprzestrzeń – zbiór zdarzeń zlokalizowanych w przestrzeni i czasie, wyposażony w strukturę afiniczną i metryczną o określonej postaci, w zależności od analizowanego modelu fizycznej czasoprzestrzeni.

    (1) Dla małych prędkości układów odniesienia oraz powyższy wzór sprowadza się do klasycznego prawa składania prędkości:

    Grupa Lorentza – grupa transformacji układu współrzędnych 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego, takich że interwały czasoprzestrzenne nie ulegają zmianie, przy czym początek układu współrzędnych pozostaje bez zmian. Transformacja Galileusza – jest to transformacja współrzędnych przestrzennych i czasu z jednego układu odniesienia do innego, poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem pierwszego. W transformacji tej czas i odległości pomiędzy dwoma dowolnymi punktami pozostają stałe, czyli są niezależne od układu odniesienia. Transformacja Galileusza jest zgodna z klasycznymi wyobrażeniami o czasie i przestrzeni. Transformacja zakłada, że prędkość oraz położenie są względne. Wartości te widoczne dla dowolnego obserwatora w każdym inercjalnym układzie odniesienia mogą być różne, ale każda z nich jest prawdziwa. Względność oznacza, że pewne zjawiska fizyczne wyglądają różnie, obserwowane z różnych układów odniesienia. We wszystkich układach zegary obserwatorów mierzą czas absolutny, a więc on nie jest względny. Co więcej, wymiary liniowe obiektów też są identyczne w każdym układzie nieinercjalnym.

    (2) Jeżeli rozważanym obiektem jest światło, które ma w jednym układzie prędkość to w układzie poruszającym prędkość światła będzie wynosić czyli tyle samo, co w układzie jest to zgodne z postulatem Einsteina, iż prędkość światła jest stała względem dowolnego inercjalnego układu odniesienia.

    Przestrzeń afiniczna (rozmaitość liniowa) – w matematyce, abstrakcyjna struktura formalizująca i uogólniająca geometryczno-afiniczne własności przestrzeni euklidesowych; intuicyjnie: przestrzeń liniowa, w której „zapomniano” jej początek. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty, by wyznaczyć wektory oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności, nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną.Paradoks bliźniąt (paradoks zegarów) – eksperyment myślowy w szczególnej teorii względności, którego domniemana sprzeczność ma wykazywać nieprawdziwość tej teorii. Paradoks wynika z wyciągania wniosków z fałszywych założeń.

    Skrócenie Lorentza-Fitzgeralda[ | edytuj kod]

    Ciało poruszające się względem obserwatora ma długość mniejszą niż to samo ciało, gdy mierzy się jego długość w układzie, w którym ciało to spoczywa.

    Załóżmy, że ciało porusza się względem układu z prędkością Przez długość ciała poruszającego się z prędkością rozumiemy różnicę współrzędnych dwóch skrajnych punktów tego ciała zmierzonych w tej samej chwili czasu tj.

    Tensor metryczny jest to symetryczny tensor drugiego rzędu (dwuwymiarowy) opisujący związek danego układu współrzędnych z układem kartezjańskim. Jest on podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej (oraz elektrodynamiki, teorii względności i innych teorii których językiem jest geometria różniczkowa), jego podstawowym zastosowaniem jest występowanie w iloczynie skalarnym dwóch wektorów (obowiązuje konwencja sumacyjna):Wydawnictwo Naukowe PWN SA – wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Wydawnictwo Naukowe PWN SA stanowi jednostkę dominującą Grupy kapitałowej PWN, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.

    Z transformacji Lorentza wynikają związki między współrzędnymi a współrzędnymi tego ciała w układzie względem którego ciało spoczywa, tj.

    Macierze obrotu w przestrzeni n-wymiarowej tworzą grupę O(n), jeżeli spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotachDylatacja czasu – zjawisko różnic w pomiarze czasu dokonywanym równolegle w dwóch różnych układach odniesienia, z których jeden przemieszcza się względem drugiego. Pomiar dotyczy czasu trwania tego samego zjawiska. Zjawisko było przewidziane w szczególnej teorii względności Alberta Einsteina i następnie potwierdzone doświadczalnie.

    gdzie podstawiono Odejmując stronami powyższe dwa równania otrzyma się:

    Prawo Biota-Savarta – prawo stosowane w elektromagnetyzmie i dynamice płynów. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika przez który płynie prąd elektryczny. Oryginalna wersja została sformułowana dla pola magnetycznego.Automorfizm – izomorfizm struktury matematycznej na siebie, czyli jej wzajemnie jednoznaczny endomorfizm. W pewnym sensie jest to symetria obiektu – sposób odwzorowania obiektu na siebie przy zachowaniu całej jego struktury.

    Podstawiając

    Translacja, przesunięcie – przekształcenie prostej, płaszczyzny lub dowolnej przestrzeni afinicznej, które można intuicyjnie rozumieć jako równoległe przesunięcie wszystkich punktów dziedziny bez deformacji i obracania.Wielka Encyklopedia Powszechna PWN – polska encyklopedia powszechna wydana w latach 1962–1970 w Warszawie przez Państwowe Wydawnictwo Naukowe.
    – długość ciała spoczywającego, – długość ciała poruszającego się,

    otrzyma się ostatecznie:

    Podgrupa – w teorii grup zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

    Wniosek: Ponieważ więc

    tj. ciało ma długość mniejszą względem obserwatora, względem którego jest w ruchu. Przy czym istotne jest nie tyle samo skrócenie, co fakt, iż Długość jest wielkością względną: to samo ciało ma różne długości względem różnych obserwatorów; największą długość ma ciało dla obserwatora, względem którego ciało spoczywa.

    Przykłady:

    (1) Jeżeli to Ciało o długości spoczynkowej m będzie miało długość m, czyli około cm.

    (2) Bardzo szybkie protony przybywające na Ziemię mają tak duże prędkości, że dysk naszej Galaktyki, mający wg naszych pomiarów rozmiar około 100 000 lat świetlnych, ma w układzie tych protonów rozmiar kilku metrów!

    Dylatacja czasu[ | edytuj kod]

    Odejmując wyrażenia na transformację Lorentza dla dwóch zdarzeń czasoprzestrzennych i definiując przyrosty czasu w każdym z układów odniesienia jako jednostki czasu mierzonego w danym układzie można uzyskać równanie:

    We wzorze pojawia się dodatkowo różnica odległości w jednym z układów. Zinterpretowanie tej różnicy jako równej zeru powoduje, że porównuje się współrzędne czasowe wyłącznie jednego zdarzenia, ale w dwu układach odniesienia. Uzyskany wzór określa zatem dylatację czasu

    Pole magnetyczne[ | edytuj kod]

    W teoriach relatywistycznych skalar natężenia pola elektrycznego i wektor natężenia pola magnetycznego można połączyć w jeden czterowektor

    Rozważmy cząstkę skalarną naładowaną elektrycznie i pozostającą w bezruchu. W pewnej odległości od tej cząstki zarejestrujemy pole elektryczne i brak pola magnetycznego:

    Załóżmy następnie, że naładowana cząstka się porusza, czyli zmieniamy układ współrzędnych na poruszający się względem pierwszego wzdłuż pierwszej osi z prędkością

    Czyli poruszający się ładunek generuje pole magnetyczne.

    Czynnik jest dla małych prędkości bliski jedności, więc w granicy małych prędkości transformacje Lorentza czterowektora pola elektrycznego sprowadzają się do praw Ampère’a i Biota-Savarta.

    Linki zewnętrzne[ | edytuj kod]

  • Wyprowadzenie transformacji Lorentza [zarchiwizowane z tego adresu (2019-12-19)].


  • Podstrony: [1] 2 [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.099 sek.