Widok czasoprzestrzeni wzdłuż linii świata gwałtownie przyspieszającego obserwatora

Animacja transformacji Lorentza

Transformacja Lorentza (przekształcenie Lorentza) – przekształcenie liniowe przestrzeni Minkowskiego umożliwiające obliczenie wielkości fizycznych w poruszającym się układzie odniesienia, jeśli wielkości te znane są w danym układzie.

Przekształceniu Lorentza podlegają 4-wektory: 4-wektor położeń ciał w czasoprzestrzeni ( c t , x , y , z ) , {\displaystyle (ct,x,y,z),} 4-wektor prędkości ciał w czasoprzestrzeni, 4-wektor energii-pędu, tensory pola elektrycznego i magnetycznego itd.

Bardziej ogólną transformacją czasoprzestrzeni jest transformacja Poincarego.

Transformacja współrzędnych[ | edytuj kod]

W transformacji Galileusza niezmiennikami są oddzielnie odstęp czasowy zdarzeń oraz ich odległość w przestrzeni. Oznacza to, że odstęp czasu dwóch zdarzeń, zmierzony przez dwóch obserwatorów, poruszających się względem siebie, będzie taki sam. Podobnie odległość przestrzenna zdarzeń, zmierzona przez tych obserwatorów, będzie identyczna. Czas i przestrzeń są w klasycznej fizyce niezależne od siebie. Czas jest wielkością absolutną.

W transformacji Lorentza jest inaczej: zachowany jest interwał, tj. odległość zdarzeń w czasoprzestrzeni, podczas gdy upływ czasu i odległość między zdarzeniami zmierzone przez obserwatorów poruszających się względem siebie będą inne, zależne od prędkości. W ten sposób czas trwania tego samego zjawiska czy odległość przestrzenna są wielkościami względnymi, zależnymi od obserwatora.

Transformacje współrzędnych czasoprzestrzeni mają najprostszą postać wówczas, gdy odpowiadające sobie osie współrzędnych kartezjańskich inercjalnych układów odniesienia, nieruchomego K {\displaystyle K} i poruszającego się K ′ , {\displaystyle K',} są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym układ K ′ {\displaystyle K'} porusza się ze stałą prędkością v {\displaystyle v} wzdłuż osi O X . {\displaystyle OX.} Jeśli ponadto jako początek odliczania czasu w obu układach ( t = 0 ) {\displaystyle (t=0)} i ( t ′ = 0 ) {\displaystyle (t'=0)} wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych O {\displaystyle O} i O ′ {\displaystyle O'} w obu układach pokrywają się, to transformacja Lorentza ma postać:

t ′ = γ ( t − v ⋅ x c 2 ) , {\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {v\cdot x}{c^{2}}}\right),}

x ′ = γ ( x − v t ) , {\displaystyle x'=\gamma (x-vt),}

y ′ = y , {\displaystyle y'=y,}

z ′ = z , {\displaystyle z'=z,}

gdzie:

γ = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

lub

β = v / c , {\displaystyle \beta ={v/c},}

γ = 1 1 − β 2 . {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}

W powyższych wzorach c = 299 792 458   m / s {\displaystyle c=299\,792\,458\ \mathrm {m/s} } – prędkość światła w próżni.

Dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła w próżni γ → 1 {\displaystyle \gamma \to 1} i v c → 0 , {\displaystyle {\frac {v}{c}}\to 0,} transformacja Lorentza staje się równoważna z transformacją Galileusza. Oznacza to, że ta druga jest przybliżeniem transformacji Lorentza dla małych prędkości.

Zapis macierzowy[ | edytuj kod]

Czterowektory – to wektory określone w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni; wektory te mają współrzędne, powstałe z rzutowania 4-wektora na osie układu; tradycyjnie współrzędnej czasowej (powstałej z rzutowania na oś czasu) nadaje się indeks 0 , {\displaystyle 0,} a trzem współrzędnym przestrzennym (powstałym z rzutowania wektora na osie przestrzenne) nadaje się indeksy 1 , 2 , 3. {\displaystyle 1,2,3.} Przy takim wyborze wektor położenia zapisuje się w postaci

( x 0 ,   x 1 ,   x 2 ,   x 3 ) , {\displaystyle (x^{0},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{3}),}

gdzie:

x 0 = c t ,   x 1 = x ,   x 2 = y ,   x 3 = z {\displaystyle x^{0}=ct,\ x^{1}=x,\ x^{2}=y,\ x^{3}=z}

lub w skrócie

x α , {\displaystyle x^{\alpha },}

gdzie domyślnie indeks α {\displaystyle \alpha } przyjmuje wartości: α = 0 , 1 , 2 , 3. {\displaystyle \alpha =0,1,2,3.}

W wartościach współrzędnych czterowektorów kryje się wybór konkretnego układu współrzędnych.

Aby uzyskać współrzędne dowolnego 4-wektora A {\displaystyle A} w innym układzie, należy dokonać transformacji Lorentza, mnożąc „stary” wektor przez macierz Lorentza B = Λ A , {\displaystyle B=\Lambda \,A,}

co oznacza, że nowe współrzędne wyrażają się przez stare następująco (stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina) B α ′ = Λ α α ′ A α , {\displaystyle B^{\alpha '}=\Lambda _{\alpha }^{\alpha '}A^{\alpha },}

gdzie: α , α ′ = 0 , 1 , 2 , 3 , {\displaystyle \alpha ,\alpha '=0,1,2,3,} A α {\displaystyle A^{\alpha }} – współrzędne wektora w oryginalnym układzie współrzędnych, B α ′ {\displaystyle B^{\alpha '}} – współrzędne wektora w nowym układzie współrzędnych, Λ α α ′ {\displaystyle \Lambda _{\alpha }^{\alpha '}} – elementy macierzy transformacji Lorentza między starym a nowym układem współrzędnych.

Tensorem metrycznym przestrzeni Minkowskiego jest macierz 4 × 4 {\displaystyle 4\times 4} g α β = [ − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] , {\displaystyle g_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}

tj. składowe diagonalne są niezerowe, g 00 = − 1 , {\displaystyle g_{00}=-1,} g 11 = g 22 = g 33 = 1 , {\displaystyle g_{11}=g_{22}=g_{33}=1,} a wszystkie inne zerują się.

Przekształcenie układu współrzędnych opisane macierzą Λ {\displaystyle \Lambda } będzie transformacją Lorentza, gdy:

Λ α α ′ Λ β β ′ g α β = g α ′ β ′ , {\displaystyle \Lambda _{\alpha }^{\alpha '}\Lambda _{\beta }^{\beta '}g^{\alpha \beta }=g^{\alpha '\beta '},}

wyznacznik macierzy Λ {\displaystyle \Lambda } wynosi − 1 , {\displaystyle -1,} tj.

det ( Λ α α ′ ) = − 1. {\displaystyle \det(\Lambda _{\alpha }^{\alpha '})=-1.}