• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Topologia



    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.Przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T3½ i przestrzeń całkowicie regularna to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania. Dokładniej, mówi się, że przestrzeni topologicznej X {displaystyle X} punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe jeśli

    UWAGA: TA PODSTRONA MOŻE ZAWIERAĆ TREŚCI PRZEZNACZONE TYLKO DLA OSÓB PEŁNOLETNICH



    Podstawowe pojęcia[ | edytuj kod]

    Zbiory otwarte[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Zbiór otwarty.

    Korzenie topologii tkwią w geometrii i często mówi się o topologii jako o jednej z geometrycznych dziedzin matematyki. Z drugiej strony, topologia ogólna wyrosła z analizy matematycznej. Zarówno w geometrii, jak i w analizie ważnym pojęciem jest odległość. Odległość można zdefiniować na wiele sposobów w przestrzeni euklidesowej, jak i w innych przestrzeniach. Zbiór ze zdefiniowaną odległością (tzw. metryką) jest zwany przestrzenią metryczną.

    Teoria grafów to dział matematyki i informatyki zajmujący się badaniem własności grafów. Informatyka rozwija także algorytmy wyznaczające pewne właściwości grafów. Algorytmy te stosuje się do rozwiązywania wielu zadań praktycznych, często w dziedzinach na pozór nie związanych z grafami.MSC 2000 (ang. Mathematics Subject Classification 2000) – hierarchiczna klasyfikacja badań naukowych w matematyce sformułowana przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne.

    Zauważono jednak, że wiele własności obiektów studiowanych w analizie może być scharakteryzowanych przy użyciu jedynie zbiorów otwartych bez potrzeby odwoływania się do pojęcia metryki. Zbiory otwarte w przestrzeni metrycznej to takie zbiory, które są sumami (również nieskończonymi) kul otwartych, a więc zbiorów punktów odległych od zadanego punktu (środka) o mniej niż zadana odległość (promień). Często okazuje się, że poznanie struktury zbiorów otwartych jest bardziej użyteczne niż badanie przestrzeni za pomocą metryki.

    Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.
    Przykład Zbiorem otwartym na płaszczyźnie jest np. wnętrze dowolnego spójnego wielokąta. Można je skonstruować jako sumę nieprzeliczalnego zbioru kul otwartych, wypełniających wielokąt.

    Otoczenia[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Otoczenie (matematyka).
    Przykład punktu brzegowego zbioru do dowolnego otoczenia punktu należą punkty zbioru jak i punkty spoza niego, należące do – dlatego punkt jest punktem brzegowym.

    Otoczenia to zbiory spełniające następujące warunki:

    Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).Włodzimierz Kuperberg - (ur. 19 stycznia 1941 roku) amerykański matematyk polskiego pochodzenia, profesor Uniwersytetu Auburn w Alabamie, specjalista w dziedzinie geometrii (ponad 30 publikacji) i topologii (również ok. 30 publikacji).
  • Dla każdego punktu istnieje jakieś jego otoczenie, a każde otoczenie zawiera pewien punkt.
  • Jeśli punkt należy do otoczenia punktu to istnieje takie otoczenie punktu które zawiera się w – intuicyjnie: skoro w pewnym sensie leży blisko to istnieją punkty leżące w pobliżu zarówno jak i
  • Dla dowolnych dwóch otoczeń punktu istnieje otoczenie tego punktu, które się w nich zawiera.
  • Niektórzy autorzy do definicji dodają warunek, iż otoczenie musi być zbiorem otwartym.

    Kazimierz Alster - polski matematyk specjalizujący się w topologii ogólnej. Uzyskał doktorat w 1973 roku na podstawie pracy pt. Multyplikatywność subparazwartości w klasie uogólnionych przestrzeni uporządkowanych napisanej pod kierunkiem Ryszarda Engelkinga, nastomiast habilitację uzyskał on w 1980 na podstawie rozprawy pt. Własności pokryciowe rozproszonych przestrzeni zwartych i nieprzeliczalnych iloczynów przestrzeni rozproszonych modulo przestrzenie zwarte. Laureat nagrody im. Mazurkiewicza w 1985.Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem).

    Otoczenie punktu można sobie wyobrazić jako dowolną figurę, wewnątrz której znajduje się punkt Każdy punkt przestrzeni euklidesowej posiada nieskończenie wiele otoczeń, z których niektóre zawierają się w innych. To zawieranie się otoczeń jest jedynym odpowiednikiem informacji o odległości danych punktów. Z drugiej strony otoczenia zostają zachowane przy homeomorficznych przekształceniach przestrzeni, co sprawia, że są w topologii użytecznym narzędziem.

    Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.

    Mając dany zbiór punktów i bazę ich otoczeń, możemy wygenerować przestrzeń topologiczną – wystarczy za zbiór otwarty uznać zbiór dla którego nie istnieją punkty brzegowe, czyli takie, których wszystkie otoczenia zawierają zarówno punkty ze zbioru jak i spoza tego zbioru (patrz rysunek obok).

    Victor L. Klee (ur. 18 września 1925 w San Francisco, zm. 17 sierpnia 2007 w Lakewood) – amerykański matematyk specjalizujący się w dziedzinie zbiorów wypukłych, analizie funkcjonalnej, analizie algorytmów, optymalizacji oraz kombinatoryce. Absolwent Pomona College w Kalifornii (1945), doktorant University of Virginia (1949), następnie wykładowca na University of Washington (Seattle, 1953-2007). Prezydent Mathematical Association of America w latach 1971-1973. Laureat nagrody Lester R. Forda. Od nazwiska Victora Klee pochodzi pojęcie kleeścianu czyli wielościanu powstałego z innego wielościanu przez doklejenie do każdej ze ścian ostrosłupa o podstawie przystającej do tej ściany. Autor ponad 240 prac naukowych. Figura geometryczna – w geometrii inna nazwa podzbioru danej przestrzeni, zwykle przestrzeni euklidesowej, afinicznej lub rzutowej.

    Przestrzeń topologiczna[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Przestrzeń topologiczna.

    Topologią na zbiorze nazywa się dowolną rodzinę podzbiorów tego zbioru spełniającą następujące warunki: 1) rodzina ta zawiera zbiór pusty i całą przestrzeń 2) jeżeli należą do tej rodziny pewne zbiory, to należy do niej także ich dowolna, przeliczalna lub nieprzeliczalna suma oraz 3) należy do niej każdy skończony ich iloczyn. Elementy tej rodziny nazywane są zbiorami otwartymi w ich dopełnienia nazywane są zbiorami domkniętymi, a zbiór wraz z wyróżnioną topologią nazywa się przestrzenią topologiczną.

    Kaliningrad (ros. Калининград, do 4 czerwca 1946 Królewiec (do XVI w. także Królówgród), ros. Кёнигсберг, niem. Königsberg, łac. Regiomontium, prus. Kunnegsgarbs, lit. Karaliaučius) – stolica obwodu kaliningradzkiego – eksklawy Federacji Rosyjskiej, u ujścia Pregoły do Bałtyku, w historycznej krainie Sambii. Liczba ludności Kaliningradu w 2006 wynosiła 434,9 tys.Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

    W danej przestrzeni można na ogół utworzyć wiele różnych topologii. Jeżeli topologię w można utworzyć, posługując się jakąś metryką, to o przestrzeni mówi się, że jest metryzowalna. Np. metryzowalne są przestrzenie euklidesowe (prosta rzeczywista, płaszczyzna, przestrzeń trójwymiarowa itd.). Badane w topologii własności są uogólnieniami własności znanych z tychże przestrzeni.

    Graf to – w uproszczeniu – zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami, w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków (ilustracja po prawej stronie). Grafy to podstawowy obiekt rozważań teorii grafów. Za pierwszego teoretyka i badacza grafów uważa się Leonarda Eulera, który rozstrzygnął zagadnienie mostów królewieckich.Grigorij Jakowlewicz Perelman, ros. Григорий Яковлевич Перельман (ur. 13 czerwca 1966 w Leningradzie) – rosyjski matematyk, były profesor Instytutu Stiekłowa w Sankt Petersburgu. Udowodnił hipotezę Poincarégo, jeden z problemów milenijnych, a jednocześnie ogólniejszą hipotezę geometryzacyjną Thurstona.

    Istnieją również przestrzenie topologiczne niemetryzowalne (np. iloczyn kartezjański nieprzeliczalnej rodziny co najmniej dwupunktowych przestrzeni topologicznych z topologią Tichonowa), dlatego też pojęcie przestrzeni topologicznej jest uogólnieniem pojęcia przestrzeni metrycznej.

    Homeomorfizm[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Homeomorfizm.

    Pewne wyobrażenie o tym, czym zajmuje się topologia przestrzeni euklidesowych, można sobie wyrobić, jeżeli przywoła się przed oczy obraz zbiorów wykonanych z gumy. Z punktu widzenia topologii interesujące jest np. to, że węzeł (pokazany na rysunku obok) nie daje się bez rozcinania sprowadzić do euklidesowego okręgu, nie jest natomiast ważne, jakie ten węzeł ma rozmiary i krzywiznę „pętelek”, co byłoby istotne w geometrii.

    Język grecki, greka (starogr. dialekt attycki Ἑλληνικὴ γλῶττα, Hellenikè glõtta; nowogr. Ελληνική γλώσσα, Ellinikí glóssa lub Ελληνικά, Elliniká) – język indoeuropejski z grupy helleńskiej, w starożytności ważny język basenu Morza Śródziemnego. W cywilizacji Zachodu zaadaptowany obok łaciny jako język terminologii naukowej, wywarł wpływ na wszystkie współczesne języki europejskie, a także część pozaeuropejskich i starożytnych. Od X wieku p.n.e. zapisywany jest alfabetem greckim. Obecnie, jako język nowogrecki, pełni funkcję języka urzędowego w Grecji i Cyprze. Jest też jednym z języków oficjalnych Unii Europejskiej. Po grecku mówi współcześnie około 15 milionów ludzi. Język grecki jest jedynym językiem z helleńskich naturalnych, który nie wymarł.Topologia sieci komputerowej – model układu połączeń różnych elementów (linki, węzły itd.) sieci komputerowej. Określenie topologia sieci może odnosić się do konstrukcji fizycznej albo logicznej sieci.

    Formalnie dwie przestrzenie są homeomorficzne, jeśli istnieje ciągła wzajemnie jednoznaczna funkcja z jednej z nich na drugą, a więc każdą z nich można przekształcić w drugą w sposób ciągły.

    Gdy przestrzeń X daje się homeomorficznie odwzorować na przestrzeń Y, to przestrzenie X i Y mają takie same własności topologiczne i z punktu widzenia topologii są nieodróżnialne (homeomorficzne), mogą być traktowane jako różne egzemplarze tej samej przestrzeni. Przykładami własności topologicznych zachowywanych przez homeomorfizm są spójność („składanie się z jednego kawałka”) i wymiar (topologiczny) przestrzeni.

    Lwowska szkoła matematyczna – polska matematyczna szkoła naukowa działająca w dwudziestoleciu międzywojennym we Lwowie, skupiona wokół Stefana Banacha i Hugona Steinhausa; specjalizowała się w analizie funkcjonalnej, wydawała „Studia Mathematica”.Prószyński i S-ka to polskie wydawnictwo prasowe i książkowe, działające w latach 1990-2008, oraz nazwa handlowa, pod którą od początku 2009 ukazują się książki wydawane przez wydawnictwo Prószyński Media.
    Kubek może być przekształcony płynnie na obwarzanek i odwrotnie
    Przykład Topologa określa się żartobliwie jako matematyka, który nie potrafi odróżnić kubka do kawy od obwarzanka. Istotnie, animacja załączona obok pokazuje sposób deformacji kubka do postaci obwarzanka i odwrotnie. Co ważne, deformacja przebiega w sposób ciągły, czyli bez rozrywania i sklejania, co oznacza właśnie, iż kubek i obwarzanek są homeomorficzne, a więc z punktu widzenia topologii nieodróżnialne.

    Nietrudno teraz podać inne przykłady przestrzeni, które dla topologa niczym się nie różnią. Kulka plasteliny jest tym samym, co ulepiona z niej żyrafa (o ile podczas jej lepienia nie rozerwiemy i nie skleimy ze sobą wygiętych i rozciągniętych kawałków), trójkąt jest tym samym co kwadrat (a nawet koło).

    Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).Roman Sikorski (ur. 11 lipca 1920 w Mszczonowie, zm. 12 września 1983 w Warszawie) – polski matematyk, profesor Uniwersytetu Warszawskiego i Instytutu Matematycznego PAN, członek rzeczywisty PAN (od 1964), autor prac z logiki matematycznej, algebr Boole’a, topologii, funkcji rzeczywistych, analizy funkcjonalnej (teoria wyznacznikowa dla pewnego typu operatorów liniowych ograniczonych na przestrzeniach Banacha), oryginalne ujęcie teorii dystrybucji.

    Gałęzie topologii[ | edytuj kod]

    Zgodnie z klasyfikacją badań naukowych w matematyce prowadzoną przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, współczesne badania topologiczne są podzielone na trzy poddziały.

    Topologia ogólna (54xx)[ | edytuj kod]

    Obiektem badań tutaj są przestrzenie topologiczne w swojej najogólniejszej postaci, ale często również wyposażone w dodatkową strukturę (np. metrykę) lub posiadające dodatkowe własności (np. bada się przestrzenie zwarte). Typowe tematy rozważań w topologii ogólnej to np. aksjomaty oddzielania, zachowywanie różnych własności w iloczynach przestrzeni topologicznych czy też przez ciągłe obrazy, własności pierścienia funkcji ciągłych na danej przestrzeni, uzwarcenia przestrzeni topologicznych czy też funkcje kardynalne. Korzysta się tu często z metod teorii mnogości i nierzadko można spotkać twierdzenia zakładające aksjomat Martina, PFA czy wyniki forsingowe dotyczące niezależności pewnych stwierdzeń od aksjomatów ZFC.

    Szereg Fouriera – w matematyce szereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów (kompresja jpeg), a nawet w muzyce (kompresja mp3).Księga Szkocka – gruby zeszyt zakupiony przez Łucję, żonę Stefana Banacha, w 1935, w którym matematycy lwowscy (zarówno profesorowie, jak i studenci) zapisywali w latach 1935–1941 zagadnienia matematyczne wymagające rozwiązania. Wiele z nich nie zostało rozwikłanych do tej pory. Brulion ten jest w posiadaniu potomków Stefana Banacha zamieszkałych w Niemczech.

    Topologia algebraiczna (55xx)[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Topologia algebraiczna.
    Z przestrzeniami topologicznymi wiąże się różne obiekty algebraiczne (przykładem może być tzw. grupa podstawowa). Ponieważ obiektom izomorficznym w sensie topologicznym (czyli homeomorficznym) przyporządkowuje się obiekty izomorficzne w sensie algebraicznym, to badając uzyskane struktury algebraiczne, można poznać własności danych przestrzeni topologicznych.

    Topologia rozmaitości (57xx)[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Rozmaitość topologiczna.
    Rozmaitości to przestrzenie topologiczne, które „lokalnie” wyglądają tak jak przestrzenie euklidesowe. Często wyposażone są one w strukturę różniczkową lub kawałkami liniową. Są to zwykle najbardziej „naturalne” przykłady przestrzeni topologicznych, włączając w to dobrze znane powierzchnie. Nierzadko do badania tych obiektów używa się metod topologii algebraicznej.

    Poddziałami topologii rozmaitości są:

    Kazimierz Kuratowski (ur. 2 lutego 1896 w Warszawie, zm. 18 czerwca 1980 w Warszawie), polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

    Topologia różniczkowa (57Rxx)[ | edytuj kod]

    Topologia różniczkowa zakłada o rozmaitościach topologicznych, że mają również strukturę różniczkową. W dziale tym stosuje zatem metody różniczkowe analizy matematycznej, w szczególności teorię Morse’a. Za początek topologii różniczkowej przyjmuje się odkrycie przez Johna Milnora niedyfeomorficznych struktur różniczkowych na siedmiowymiarowej sferze.

    Powierzchnia to dwuwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Także potoczne określenie pola powierzchni (np. mówiąc o "powierzchni w km²" mamy na myśli właśnie pole powierzchni).Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
    Podstawowym narzędziem topologii różniczkowej jest między innymi twierdzenie Sarda, które mówi, że miara Lebesgue’a zbioru punktów krytycznych odwzorowania rzeczywistego, gładkiego podzbioru otwartego -wymiarowej przestrzeni euklidesowej wynosi zero.

    Teoria węzłów (57M25, 57M27, 57M30)[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Teoria węzłów.
    Najprostszy nietrywialny węzeł – koniczynka
    Szczególną gałęzią topologii rozmaitości jest teoria węzłów, która zajmuje się krzywymi zwykłymi zamkniętymi, zanurzonymi w przestrzeni trójwymiarowej. O ile w przestrzeniach dwuwymiarowych, a także cztero- i więcej wymiarowych każda taka krzywa daje się bez rozcinania przekształcić w okrąg, to w przestrzeni trójwymiarowej istnieje nieskończona liczba takich nierównoważnych krzywych, zwanych węzłami. Najprostszy z nich (oprócz trywialnego okręgu) to koniczynka, pokazana wyżej. Teoria węzłów zajmuje się też położeniem w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej skończonych układów krzywych zamkniętych, badając przy tym sposób ich zaczepienia. Oprócz wspomnianych węzłów jednowymiarowych, rozwijana jest także teoria węzłów wielowymiarowych,

    Poza wymienionymi wyżej trzema głównymi działami topologii wyróżnia się także:

    Stefan Mazurkiewicz (ur. 25 września 1888 w Warszawie, zm. 19 czerwca 1945 w Grodzisku pod Warszawą) polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (ur. 31 października 1815 w Ostenfelde w Westfalii, zm. 19 lutego 1897 w Berlinie) – niemiecki matematyk, zwolennik arytmetyzacji analizy matematycznej, twórca precyzyjnego pojęcia granicy funkcji.

    Topologiczna teoria wymiaru[ | edytuj kod]

    Teoria wymiaru topologicznego znajduje się na granicy topologii ogólnej i algebraicznej. Kiedy Peano odkrył odwzorowanie ciągłe odcinka domkniętego na kwadrat, powstało niepokojące pytanie, czy topologia w ogóle jest w stanie rozróżnić wyżej wymiarowe przestrzenie euklidesowe, czy przypadkiem przestrzenie cztero- i pięciowymiarowe nie są homeomorficzne. Problem ten rozstrzygnął Brouwer, dowodząc niehomeomorficzności przestrzeni euklidesowych o różnym wymiarze. Brouwer był jednym z głównych prekursorów topologicznej teorii wymiaru, stworzonej przez Urysohna i Mengera. Teoria wymiaru przypisuje przestrzeniom topologicznym liczbę całkowitą ≥ -1. Istnieje więcej niż jedno pojęcie wymiaru, są to m.in. klasyczne funkcje dim, ind i Ind oraz pewne algebraicznie subtelne definicje. Jednak wszystkie te funkcje przypisują wymiar równy -1 tylko i wyłącznie przestrzeni pustej, z kolei wymiar zerowy mają wszystkie przestrzenie dyskretne, ale nie tylko one. Wszystkie trzy powyższe funkcje klasyczne pokrywają się w zakresie przestrzeni polskich (czyli metrycznych, ośrodkowych). Nawet w tym ograniczonym zakresie wymiar topologiczny różni się cechami od algebraicznego lub geometrycznego. W przypadku przestrzeni liniowych lub zbiorów i rozmaitości algebraicznych, podobnie jak w przypadku wielościanów, wymiar ma własność logarytmiczną: wymiar iloczynu kartezjańskiego jest równy sumie wymiarów czynników. Topologia, nawet przestrzeni polskich, zajmuje się znacznie bogatszą rodziną obiektów i prawo logarytmiczne w topologii nie zachodzi, co pokazuje piękny przykład pochodzący od Erdősa: Przestrzeń wszystkich punktów klasycznej przestrzeni Hilberta o samych wymiernych współrzędnych, jest jednowymiarowa, a jej kwadrat jest homeomorficzny z nią samą. Zgodnie z prawem logarytmicznym druga przestrzeń powinna mieć wymiar 1+1, ale ma wymiar 1. Trudniej o takie przykłady w przypadku zwartych przestrzeni metrycznych. Ich wymiar dim musi wynosić co najmniej dwa. Przykład dwóch przestrzeni o wymiarze dwa, ale wymiarze ich iloczynu wynoszącym trzy podał Pontriagin, a Bołtiański skonstruował taką zwartą, dwuwymiarową przestrzeń metryczną, której kwadrat wynosi trzy. Prawo logarytmiczne jest jednym z szeregu problemów teorii wymiaru. Topologiczna teoria wymiaru jest (w dużej mierze) zawarta w teorii funkcji uniwersalnych (patrz Morfizm uniwersalny): Twierdzenie: wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja uniwersalna (dla dowolnej przestrzeni całkowicie regularnej).

    Pierwszą monografią poświęconą topologicznej teorii wymiaru jest klasyczna książka autorstwa Witolda Hurewicza i Henry Wallmana pt. Dimension Theory.

    Felix Hausdorff (ur. 8 listopada 1868 roku we Wrocławiu (wówczas Breslau), zm. 26 stycznia 1942 roku w Bonn) – niemiecki matematyk, jeden z twórców topologii.Ryszard Engelking, prof. (ur. 1935 w Sosnowcu) – polski matematyk specjalizujący się w topologii, szczególnie w teorii wymiaru. Autor wielu książek i publikacji z tego zakresu, w tym Topologii ogólnej (przetłumaczonej na angielski), która jest klasyczną pozycją literatury przedmiotu. Ponadto tłumacz literatury francuskiej.

    Topologia nieskończeniewymiarowa[ | edytuj kod]

    Wielu matematyków miało istotny wkład do topologii nieskończeniewymiarowej; wśród głównych pionierów należy wymienić Richarda Andersona. Głównych twórców, ze względu na rozmach i kompletność wyników, jest czterech (alfabetycznie): Thomas Chapman, Robert Edwards (matematyk), Henryk Toruńczyk oraz James West. Przy tym metody i prace Toruńczyka są szczególnie eleganckie.

    Juliusz Paweł Schauder (ur. 21 września 1899 we Lwowie, zm. we wrześniu 1943 we Lwowie) – polski matematyk żydowskiego pochodzenia.Amalie Emmy Noether (ur. 23 marca 1882 w Erlangen – zm. 14 kwietnia 1935 w Bryn Mawr, Pensylwania, Stany Zjednoczone) - niemiecka matematyczka i fizyczka, znana głównie dzięki osiągnięciom w teorii pierścieni i rozwinięciu nowej gałęzi matematyki – algebry abstrakcyjnej.

    U podstawy teorii legły dwa, dopiero po latach rozwiązane pytania:

  • Czy wszystkie nieskończeniewymiarowe ośrodkowe przestrzenie Banacha są homeomorficzne?
  • Czy iloczyn topologiczny przestrzeni z kostką Hilberta jest homeomorficzny z kostką Hilberta?
  • Drugie pytanie wymyślił i wpisał Karol Borsuk do Księgi szkockiej. O odpowiedzi-rozwiązaniu przez kolegów matematyków James West poinformował uczestników konferencji w Baton Rouge (Louisiana State University), tak określając dwa niezależne dowody: Anderson – terrible argument; Andrzej Szankowski – beautiful argument! (West mógł tak, nieco żartobliwie, powiedzieć jako uczeń Andersona, obecnego w czasie wykładu na sali).

    Twierdzenie Kuratowskiego – twierdzenie teorii grafów sformułowane i udowodnione przez Kazimierza Kuratowskiego w 1930 roku.PFA (z ang. proper forcing axiom) – jeden z aksjomatów forsingowych używanych w teorii mnogości, topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki. Jest to zdanie postulujące szczególną własność pewnych porządków częściowych.

    Podstawowym wczesnym pojęciem był Z-zbiór (patrz Chapman, Lectures on Hilbert Cube Manifoldes, ​ISBN 0-8218-1678-0​). Wprowadzili je niezależnie i opublikowali w tym samym czasie Anderson i Włodzimierz Holsztyński (w różnych czasopismach; tylko wcześniej wymieniona publikacja była zauważona).

    Wśród wczesnych specjalistów należy wymienić, między innymi, Czesława Bessagę i Victora Klee.

    Temperatura – jedna z podstawowych wielkości fizycznych (parametrów stanu) w termodynamice. Temperatura jest związana ze średnią energią kinetyczną ruchu i drgań wszystkich cząsteczek tworzących dany układ i jest miarą tej energii.Teoria mnogości lub inaczej: teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

    Teoria grafów (05Cxx)[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Teoria grafów.
    Fotografia dywanu, ilustrującego twierdzenie o czterech barwach

    Na pograniczu topologii oraz matematyki dyskretnej znajduje się ważna dziedzina, zwana teorią grafów. Najprostszy graf można sobie wyobrazić jako zbiór punktów (tzw. wierzchołków), z których niektóre połączone są liniami (tzw. krawędziami). Historycznie pierwsze zadanie topologii, dotyczące mostów królewieckich, zalicza się do tej dziedziny. Słynnym problemem teorii grafów, który bardzo długo opierał się udowodnieniu, było twierdzenie o czterech barwach, głoszące, że dowolną mapę polityczną, na której każdy kraj składa się z jednego tylko kawałka (na sferze lub płaszczyźnie – to przypadki równoważne), można zabarwić używając tylko czterech kolorów tak, aby żadne dwa kraje mające wspólną granicę (dłuższą niż punkt) nie miały tego samego koloru (zobacz rysunek).

    Przestrzeń Frécheta (zwana czasem przestrzenią Frécheta-Uryshona) – termin w topologii opisujący pewną własność przestrzeni topologicznych. Dawniej określano nim przestrzenie T1, natomiast w analizie funkcjonalnej termin przestrzeń Frécheta określa specjalnego rodzaju przestrzeni liniowo-topologicznych.Samuel Eilenberg (ur. 30 września 1913 w Warszawie, zm. 30 stycznia 1998 w Nowym Jorku) – polski i amerykański matematyk żydowskiego pochodzenia, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.

    Klasycznym wynikiem teorii grafów jest twierdzenia Kazimierza Kuratowskiego, charakteryzujące topologicznie grafy płaskie.

    Przykłady twierdzeń i wniosków z nich płynących[ | edytuj kod]

  • W Waszyngtonie, w miejscu upamiętniającym amerykańskich marynarzy z czasów II wojny światowej (United States Navy Memorial) znajduje się mapa świata ułożona z materiałów tworzących chodnik na dużym placu (zobacz zdjęcia poniżej). Z wyjątkiem zniekształceń na obwodzie tej mapy, jest ona ciągłą reprezentacją powierzchni Ziemi w pewnej skali. Jednak wyłącznie na podstawie twierdzenia Banacha o odwzorowaniu zwężającym nie możemy powiedzieć, że jest punkt na tej mapie, który odpowiada samemu sobie (tzn. ten punkt i jego reprezentacja na mapie pokrywają się). Bowiem cała (idealizowana) powierzchnia Ziemi nie jest odwzorowana na mapę w sposób ciągły. Możemy jednak ograniczyć się do powierzchni kontynentalnej części USA (bez Alaski). Ponieważ cała mapa (chodnik) znajduje się w USA, to twierdzenie Banacha możemy zastosować wyłącznie do powierzchni USA: istnieje punkt powierzchni USA, który na chodnikowej mapie jest reprezentowany przez samego siebie (tj. reprezentujący go punkt mapy pokrywa się z nim). Chodzi o to, że o ile cała powierzchnia Ziemi na mapie jest rozcięta, to powierzchnia kontynentalnego USA przedstawiona jest w sposób ciągły (i zwężający). Gdy pojawiają się cięcia, to sprawa się komplikuje. (Uwaga: Z Alaską na mapach różnie bywa – czasem jest pocięta, a czasem nie; skoro jednak cała mapa znajduje się na chodniku w części kontynentalnej USA, to o ewentualne pocięcie Alaski nie musimy się martwić).
  • US Navy Memorial w Waszyngtonie: mapa świata.

    Wnętrze zbioru (figury, bryły) F – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru F wraz z pewnym swoim otoczeniem.Delta – matematyczno-fizyczno-informatyczno-astronomiczny miesięcznik popularny wydawany przez Uniwersytet Warszawski przy współpracy towarzystw naukowych: Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Polskiego Towarzystwa Fizycznego, Polskiego Towarzystwa Astronomicznego i Polskiego Towarzystwa Informatycznego.
  • Fragment mapy świata przedstawiający Stany Zjednoczone.

  • W części mapy przedstawiającej Wschodnie Wybrzeże Stanów Zjednoczonych znajduje się dokładnie jeden punkt, który odpowiada samemu sobie w terenie.

  • Na podstawie twierdzenia Borsuka-Ulama możemy stwierdzić, że w każdym momencie są na Ziemi dwa punkty antypodyczne, w których zarówno temperatura, jak i ciśnienie powietrza są takie same, przy założeniu, że temperatura i ciśnienie zmieniają się w sposób ciągły. Przypomnijmy, że twierdzenie Borsuka-Ulama mówi, że dla każdej ciągłej funkcji (gdzie jest sferą -wymiarową) istnieją dwa punkty antypodyczne dla których
  • Twierdzenie Lusternika-Schirelmanna-Borsuka mówi, że jeśli sfera jest pokryta przez zbiorów, z których każdy jest albo otwarty, albo domknięty, to jeden z tych zbiorów zawiera punkty antypodalne. (Wersja otwarta wynika w sposób elementarny z wersji domkniętej, i odwrotnie).
  • Znana jest anegdota, według której twierdzenie to uratowało pewien wyimaginowany świat przed wielkim nieszczęściem: Rosja, Prusy i Austria postanowiły zakończyć wszystkie waśnie i podzielić się strefami wpływów. Każde z mocarstw chciało otrzymać część planety w wieczyste władanie. Z powodów związanych z bronią umieszczoną na satelitach żadne z mocarstw nie chciało, aby inne mocarstwo miało pod swoją kontrolą jakiekolwiek dwa punkty antypodalne. Lata prób nie doprowadziły do rozwiązania problemu, a ogłoszenie twierdzenia spowodowało, że trzy mocarstwa zadowoliły się podziałem Polski.
  • Jeżeli spłaszczymy piłkę, to jakkolwiek byśmy jej przy tym nie deformowali (bez rozrywania), zawsze zetkną się jej dwa punkty antypodyczne. Jest to poglądowe sformułowanie powyższego twierdzenia Borsuka-Ulama o antypodach.
  • Każdą kanapkę z żółtym serem i szynką można przeciąć nożem (czyli podzielić płaszczyzną) tak, by każda z dwóch części miała tyle samo chleba, tyle samo sera, i tyle samo szynki.
  • Przykład argumentacji topologicznej w analizie[ | edytuj kod]

    Metody topologiczne stosuje się w wielu rozważaniach matematycznych, począwszy od analizy, przez geometrię, równania różniczkowe, aż na algebrze skończywszy, gdyż dostarcza ona matematykom wspólnego języka umożliwiającego dość ogólne spojrzenie geometryczne na problemy.

    Wstęga Möbiusa – dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna istniejąca w przestrzeni trójwymiarowej, którą można uzyskać sklejając taśmę końcami "na odwrót". Jej najważniejszą cechą jest to, że ma tylko jedną stronę (jest tzw. powierzchnią jednostronną). Posiada również tylko jedną krawędź – "sklejenie" tej krawędzi (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) daje butelkę Kleina. Opisana przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku.Przestrzeń T 1 {displaystyle T_{1}} – termin topologiczny odnoszący się do jednego ze słabszych aksjomatów oddzielania. Dawniej przestrzenie spełniające ten warunek były nazywane też przestrzeniami Frécheta, ale wydaje się, że dzisiaj ta druga nazwa jest używana głównie w innym znaczeniu.

    Przykładem rozumowania topologicznego może być dowód twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłej rzeczywistej, określonej na prostej rzeczywistej która nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie. Pierwszy konkretny przykład takiej funkcji podał niemiecki matematyk Karl Weierstrass. Poszukiwanie kolejnych tego typu przykładów nastręczało wiele trudności, zastanawiano się nad ogólną formą i liczbą takich funkcji. Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 topologiczny dowód istnienia takich funkcji:

    Antypody (gr. αντίποδες (antipodes) – "naprzeciw stopy") – punkt na powierzchni Ziemi, który w stosunku do określonego punktu jest położony dokładnie po drugiej stronie planety, tj. na drugim końcu jej średnicy. Potocznie termin ten używany jest w szerszym znaczeniu i używany jest w stosunku do wszystkich obszarów na półkuli południowej.Twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach - twierdzenie topologii, sformułowane w 1933 przez polskich matematyków, Karola Borsuka i Stanisława Ulama. Istnieje anegdotyczna interpretacja tego twierdzenia dla przypadku dwuwymiarowego mówiąca, że na powierzchni kuli ziemskiej istnieje para punktów antypodycznych, w których temperatura i ciśnienie są takie same.
    Niech oznacza przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z odcinka w zbiór liczb rzeczywistych. Przestrzeń można wyposażyć w topologię zbieżności jednostajnej poprzez metrykę Wówczas jest przestrzenią polską (a nawet przestrzenią Banacha), w której zbiór ma pochodną w co najmniej jednym punkcie odcinka jest pierwszej kategorii. Ponieważ przestrzeń jest zupełna (a więc jest przestrzenią Baire’a), to można powiedzieć, że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

    Dowód ten wykazuje istnienie funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie, jednak nie wskazuje konkretnego przykładu takiej funkcji.

    Aksjomaty oddzielania mówią o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych. Nazwa aksjomat dla tych własności jest używana tylko z przyczyn historycznych, nie mają te własności żadnej specjalnej pozycji wśród innych własności (chociaż niektóre z aksjomatów oddzielania są bardzo często wymagane od rozważanych przestrzeni). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych własności: w pewnym sensie każdy z tych aksjomatów mówi o oddzielaniu różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przez zbiory otwarte lub przez funkcje ciągłe lub przy użyciu jeszcze innych metod.Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.


    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Topologia produktowa – w topologii i związanych z nią działach matematyki naturalna topologia, w którą wyposażona jest przestrzeń produktowa, czyli iloczyn kartezjański rodziny przestrzeni topologicznych. Choć na przestrzeni produktowej można wprowadzić być może bardziej oczywistą topologię przedziałową, która pokrywa się z topologią produktową w przypadku produktu skończenie wielu przestrzeni, to topologię produktową uważa się jednak za „poprawniejszą” dlatego, iż czyni ona z przestrzeni produktowej teoriokategoryjny produkt jej czynników, podczas gdy topologia przedziałowa jest w ogólności zbyt uboga; w tym właśnie sensie topologia produktowa jest „naturalną” topologią przestrzeni produktowej.
    Zagadnienie mostów królewieckich − problem, nad którym rzekomo głowili się mieszkańcy Królewca, a który rozwiązał w XVIII wieku Leonhard Euler.
    Edward Marczewski (ur. 15 listopada 1907 w Warszawie, zm. 17 października 1976 we Wrocławiu; do roku 1940 nosił nazwisko Szpilrajn) − polski matematyk żydowskiego pochodzenia, profesor i rektor Uniwersytetu Wrocławskiego.
    Karol Borsuk (ur. 8 maja 1905 w Warszawie, zm. 24 stycznia 1982 w Warszawie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.
    Definicja intuicyjna: Od zwykłych węzłów znanych z codziennego życia węzły „matematyczne“ różnią się tym, że „sznurek” jest nieskończenie cienki, rozciągliwy i pozbawiony tarcia, a jego końcówki są połączone ze sobą.
    Aksjomaty Zermela-Fraenkla, aksjomatyka Zermela-Fraenkla, w skrócie: aksjomaty(ka) ZF – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów teorii mnogości zaproponowany przez Ernsta Zermela w 1904 roku i później uzupełniony przez Abrahama Fraenkla.
    Przestrzeń polska – ośrodkowa przestrzeń topologiczna, która jest metryzowalna w sposób zupełny. Przestrzenie polskie badane są w topologii ogólnej i opisowej teorii mnogości. Nazwa pojęcia powstała dla uhonorowania wkładu polskiej szkoły matematycznej w rozwój tych dziedzin.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.064 sek.