Teoria modeli

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Teoria modeli (nazywana też semantyką logiczną) – dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z algebrą i teorią mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną wiedzy.

Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.Kurt Gödel (ur. 28 kwietnia 1906 w Brnie, zm. 14 stycznia 1978 w Princeton) – austriacki logik i matematyk, autor twierdzeń z zakresu logiki matematycznej, współautor jednej z aksjomatyk teorii mnogości. Do najbardziej znanych osiągnięć matematycznych Gödla należą twierdzenia o niezupełności i niesprzeczności teorii dedukcyjnych, które obejmują arytmetykę liczb naturalnych.

Początki teorii modeli[ | edytuj kod]

Początki teorii modeli sięgają lat trzydziestych XX wieku (chociaż pewne rozważania o teoriomodelowym charakterze były przeprowadzane znacznie wcześniej), kiedy osiągnięto wiele ważnych wyników, które stworzyły fundament dla dalszego bujnego rozwoju tej dziedziny. Największe osiągnięcia tego okresu wiąże się zazwyczaj z nazwiskami Gödla i Tarskiego, którzy przez współczesnych są zaliczani do grona najwybitniejszych logików wszech czasów.

Saharon Szelach (hebr. שהרן שלח, en. Saharon Shelah) (ur. 3 lipca 1945 w Jerozolimie) – izraelski matematyk, laureat wielu nagród (w tym Nagrody Wolfa z matematyki w 2001 roku), profesor na Uniwersytecie Hebrajskim w Jerozolimie oraz Uniwersytecie Rutgersa w Stanach Zjednoczonych. Stanford Encyclopedia of Philosophy (SEP) jest ogólnie dostępną encyklopedią internetową filozofii opracowaną przez Stanford University. Każde hasło jest opracowane przez eksperta z danej dziedziny. Są wśród nich profesorzy z 65 ośrodków akademickich z całego świata. Autorzy zgodzili się na publikację on-line, ale zachowali prawa autorskie do poszczególnych artykułów. SEP ma 1260 haseł (stan na 20 stycznia 2011). Mimo, że jest to encyklopedia internetowa, zachowano standardy typowe dla tradycyjnych akademickich opracowań, aby zapewnić jakość publikacji (autorzy-specjaliści, recenzje wewnętrzne).

Alfred Tarski, polski logik i matematyk, jest powszechnie uważany za twórcę teorii modeli. W swojej słynnej pracy Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych z 1933 roku rozważał między innymi pojęcie zdania prawdziwego i jego różne możliwe definicje. Wykazał on w szczególności, że można podać definicję prawdy dla dowolnego języka skończonego rzędu, zaś dla języków nieskończonego rzędu już nie. Tarski zdefiniował pojęcie spełniania (funkcji zdaniowej przez ciąg elementów oraz zdania przez model), które jest kluczowe dla całej teorii modeli i w nieznacznie zmienionej formie używane do dzisiaj. Opracował też między innymi pewną metodę badania czy dany model stanowi elementarną podstrukturę innego (test Tarskiego-Vaughta). Badania Tarskiego nad związkami między syntaktyką i semantyką logiczną wpłynęły na ugruntowanie podstaw teorii modeli.

Jerzy Maria Michał Łoś (ur. 22 marca 1920 we Lwowie, zm. 1 czerwca 1998 w Warszawie) – polski logik, matematyk i ekonomista.Język w logice matematycznej to pewien zbiór symboli, przy użyciu których można tworzyć bardziej złożone wyrażenia (na przykład formuły, zdania) według ściśle określonych reguł syntaktycznych. Przyjmuje się, że w danym języku L mogą występować (w dowolnej ilości) symbole funkcyjne, relacyjne oraz symbole stałych. Zdania napisane przy użyciu języków tego typu wystarczają do opisu większości własności dowolnych struktur matematycznych oraz do wyrażenia twierdzeń mówiących o tych strukturach.

Austriak Kurt Gödel (sławny dzięki osiągnięciom w dziedzinie logiki, również niezwiązanych z teorią modeli) udowodnił w 1931 roku twierdzenie o istnieniu modelu, które głosi, że każda niesprzeczna teoria pierwszego rzędu ma model. Natychmiastowym wnioskiem z tego twierdzenia jest inne, znane jako twierdzenie o pełności klasycznego rachunku logicznego. Orzeka ono, że teoria T dowodzi zdania X (tzn. istnieje dowód zdania X oparty na zdaniach należących do teorii T oraz aksjomatach i regułach dowodzenia klasycznego rachunku logicznego) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy model teorii T spełnia zdanie X.

Semantyka (semantyka logiczna) – obok syntaktyki i pragmatyki jeden z trzech działów semiotyki logicznej (taki podział semiotyki wprowadził Charles W. Morris), zajmujący się funkcjami semantycznymi, tj. relacjami między znakami (w tym zwłaszcza wyrażeniami) a rzeczywistością, do której znaki te się odnoszą. Tak rozumianą semantykę należy odróżnić od semantyki językoznawczej jako nauki o znaczeniu wyrazów (sam termin "semantyka" upowszechnił zresztą językoznawca, Michel Bréal) i semantyki ogólnej, nurtu filozofii języka; terminem "semantyka" określa się też niekiedy semiotykę logiczną jako całość.Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.

Prowadzi to do ważnego wniosku, że pojęcia konsekwencji syntaktycznej i semantycznej są równoważne i można ich używać wymiennie, w zależności od tego, które się łatwiej daje zastosować w danym przypadku. Warto przy tym zwrócić uwagę, że zgodnie z wynikami Tarskiego w teorii muszą istnieć jednocześnie zdania prawdziwe których teoria nie dowodzi i że pojęcie prawdziwości i konsekwencji syntaktycznej (dowodliwości) są różne. Sam Tarski w swojej pracy naukowej konsekwentnie unikał czysto formalnego operowania symbolami i prezentował pogląd, w ramach którego ważne jest znaczenie badanych zdań teorii, a nie jedynie ich syntaktyczne związki z innymi zdaniami. Zatem równoważność konsekwencji syntaktycznej i semantycznej należy rozumieć jako równoważność wewnętrzną teorii, a nie jako orzeczenie o prawdziwości zdania jako cechy wynikającej z jego syntaktycznych związków. Znane są bowiem zdania, o których wiadomo, że są prawdziwymi zdaniami pewnych teorii (i jest na to dowód), nie są one jednak w danej teorii dowiedlne (dowód wymaga środków wykraczających poza daną teorię). Przykładów takich zdań dostarcza np. dowód twierdzenia Gödla. W konsekwencji zdania dowiedlne w danej teorii (czyli we wszystkich jej modelach) stanowią podzbiór właściwy zdań prawdziwych danej teorii. Tym samym twierdzenie o równoważności syntaktyki i semantyki może dotyczyć wyłącznie części wspólnej tych zbiorów, nie zaś pełnego zbioru zdań prawdziwych danej teorii czy zbioru zdań prawdziwych w ogóle.

Teoria mnogości lub inaczej: teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.Aksjomat wyboru (ozn. AC od ang. Axiom of Choice) – jeden z aksjomatów teorii mnogości mówiący o możliwości skonstruowania zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.


Podstrony: 1 [2] [3] [4]




Warto wiedzieć że... beta

Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.
Alfred Tarski wł. Alfred Tajtelbaum (ur. 14 stycznia 1901 w Warszawie, zm. 26 października 1983 w Berkeley, Kalifornia, USA) – polski logik pracujący od 1939 r. w Stanach Zjednoczonych. Twórca m.in. teorii modeli i semantycznej definicji prawdy, uważany jest współcześnie za jednego z najwybitniejszych logików wszech czasów.
Hipoteza continuum (skr. CH, od ang. continuum hypothesis) – postawiona przez Georga Cantora hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych.
Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.
Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców.
Syntaktyka – jeden z trzech głównych działów semiotyki, obok semantyki i pragmatyki. Syntaktyka bada funkcje syntaktyczne – relacje, które zachodzą między wyrażeniami (znakami językowymi) wewnątrz języka i które mają charakter formalny. Podstawowe relacje syntaktyczne to np. implikacja (wynikanie) czy reprezentowanie stałych przez zmienne.

Reklama