• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Teoria mnogości



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Colloquium Mathematicum – czasopismo matematyczne założone we Wrocławiu w 1947 przez Bronisława Knastera, Edwarda Marczewskiego, Hugona Steinhausa oraz Władysława Ślebodzińskiego.Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.

    Teoria mnogości lub inaczej: teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

    MSC 2000 (ang. Mathematics Subject Classification 2000) – hierarchiczna klasyfikacja badań naukowych w matematyce sformułowana przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne.Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).

    Na przestrzeni lat język i metody teorii mnogości przeniknęły do wielu innych działów matematyki (na przykład w algebrze rozważa się obiekty teoriomnogościowe zwane ultrafiltrami). Teoria mnogości rozwijana jest także jako samodzielna dyscyplina.

    Spis treści

  • 1 Rys historyczny
  • 2 Naiwna teoria mnogości
  • 3 Aksjomatyczna teoria mnogości
  • 4 Inne teorie
  • 5 Współczesne badania w teorii mnogości
  • 5.1 Relacje podziałowe (03E02)
  • 5.2 Zbiory uporządkowane i ich współkońcowość; teoria PCF (03E04)
  • 5.3 Opisowa teoria mnogości (03E15)
  • 5.4 Współczynniki kardynalne prostej rzeczywistej (03E17)
  • 5.5 Dowody niesprzeczności i niezależności (03E35)
  • 5.6 Inne aspekty forsingu i modeli boole’owskich (03E40)
  • 5.7 Hipoteza continuum i aksjomat Martina (03E50)
  • 5.8 Duże liczby kardynalne (03E55)
  • 5.9 Aksjomaty determinacji (03E60)
  • 6 Polscy matematycy w teorii mnogości
  • 7 Zobacz też
  • 8 Uwagi
  • 9 Przypisy
  • 10 Linki zewnętrzne
  • Teoria miary (zwana też teorią miary i całki) - dział analizy matematycznej zajmujący się własnościami ogólnie rozumianych miar zbiorów. Teoria miary bada σ-algebry, funkcje mierzalne oraz całki.Stanisław Mieczysław Mazur (ur. 1 stycznia 1905 we Lwowie, zm. 5 listopada 1981 w Warszawie) – polski matematyk, poseł na Sejm PRL I kadencji z ramienia PZPR (z okręgu Lublin).

    Rys historyczny[]

    Już matematycy starożytnej Grecji byli zaintrygowani nieskończonością i pozornymi paradoksami spowodowanymi przez używanie pojęcia nieskończoności w rozumowaniach logicznych – pozornymi, ponieważ z biegiem czasu paradoksy te zostały wyjaśnione i, po należytym uściśleniu używanych pojęć, wyeliminowane.

    Adolf Abraham Halevi Fraenkel (ur. 17 lutego 1891 r., zm. 15 października 1965 r.), znany jako Abraham Fraenkel, był niemiecko-izraelskim matematykiem.Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

    W 1638 Galileusz zauważył, że liczby naturalne i kwadraty liczb naturalnych można powiązać przez wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość . Ponieważ zbiór kwadratów liczb naturalnych jest właściwym podzbiorem zbioru liczb naturalnych (co więcej, o dopełnieniu nieskończonym), Galileusz uznał, że jest to paradoks wskazujący, iż pojęć typu większy/mniejszy nie można stosować w odniesieniu do zbiorów nieskończonych.

    Rekurencja, zwana także rekursją (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec z powrotem) to w logice, programowaniu i w matematyce odwoływanie się np. funkcji lub definicji do samej siebie.Kurt Gödel (ur. 28 kwietnia 1906 w Brnie, zm. 14 stycznia 1978 w Princeton) – austriacki logik i matematyk, autor twierdzeń z zakresu logiki matematycznej, współautor jednej z aksjomatyk teorii mnogości. Do najbardziej znanych osiągnięć matematycznych Gödla należą twierdzenia o niezupełności i niesprzeczności teorii dedukcyjnych, które obejmują arytmetykę liczb naturalnych.

    W pierwszej połowie XIX w. Bernard Bolzano rozważał zbiory nieskończone, sugerując przez pewne przykłady, że zbiory nieskończone to takie, dla których istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy zbiorem a jego właściwym podzbiorem.

    Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych

    W 1874 Georg Cantor opublikował pracę, która jest uznawana za narodziny współczesnej teorii mnogości. Idee te, pomimo dużej opozycji ze strony innych matematyków (np. Leopolda Kroneckera), zostały dalej rozwinięte w kolejnej pracy Cantora w 1878. Podstawowe odkrycie Cantora dotyczyło pojęcia mocy (czyli „liczby elementów”) zbiorów nieskończonych. Przyjął on, że dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy A wszystkim elementom B w sposób wzajemnie jednoznaczny. Mogłoby się wydawać, że po prostu wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne. Cantor dowiódł jednak, że zbiór liczb naturalnych jest wprawdzie tej samej mocy co zbiór liczb algebraicznych, ale już nie tej samej co zbiór liczb rzeczywistych . W związku z tą obserwacją Cantor sformułował następujący problem:

    Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.Lwowska szkoła matematyczna – polska matematyczna szkoła naukowa działająca w dwudziestoleciu międzywojennym we Lwowie, skupiona wokół Stefana Banacha i Hugona Steinhausa; specjalizowała się w analizie funkcjonalnej, wydawała „Studia Mathematica”.
    Zagadnienie continuum (CH): Przypuśćmy, że A jest nieskończonym podzbiorem . Czy można wówczas znaleźć albo bijekcję pomiędzy a A, albo bijekcję pomiędzy a A? Innymi słowy, czy A jest równoliczny albo z albo z ?

    David Hilbert, w swojej liście 23 problemów przedstawionych na kongresie w Paryżu w 1900, jako pierwszy problem postawił zagadnienie continuum Cantora.

    Donald A. (Tony) Martin (ur. 24 grudnia 1940) – amerykański matematyk specjalizujący się w logice matematycznej i filozofii matematyki. Profesor matematyki i filozofii na Uniwersytecie Kalifornijskim w Los Angeles (UCLA), dyrektor Centrum Logicznego na tymżesz uniwersytecie. Członek Amerykańskiej Akademii Sztuki i Nauki (j.ang. American Academy of Arts and Sciences).Kazimierz Kuratowski (ur. 2 lutego 1896 w Warszawie, zm. 18 czerwca 1980 w Warszawie), polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.

    Ernst Zermelo w 1908 przedstawił pierwszą próbę aksjomatyzacji teorii mnogości. Lista aksjomatów zaproponowana przez Zermelo była poprawiona niezależnie przez Thoralfa Skolema i Abrahama Fraenkela około roku 1922. Dzisiaj aksjomaty te znane są jako aksjomaty Zermelo-Fraenkela (ZF). Wkład do aksjomatyzacji miał także John von Neumann, i jego nazwisko też czasem jest zaznaczane w tym kontekście.

    Leopold Kronecker (ur. 7 grudnia 1823 w Legnicy, zm. 29 grudnia 1891 w Berlinie) – niemiecki matematyk i logik. Brat Hugona Kroneckera.John von Neumann (ur. 28 grudnia 1903 w Budapeszcie, zm. 8 lutego 1957 w Waszyngtonie) – węgierski matematyk, inżynier chemik, fizyk i informatyk, pracujący głównie w Stanach Zjednoczonych. Wniósł znaczący wkład do wielu dziedzin matematyki – w szczególności był głównym twórcą teorii gier, teorii automatów komórkowych (w które pewien początkowy wkład miał także Stanisław Ulam) i stworzył formalizm matematyczny mechaniki kwantowej. Uczestniczył w projekcie Manhattan. Przyczynił się do rozwoju numerycznych prognoz pogody.

    W 1939/40 Kurt Gödel dowiódł, że jeśli ZF jest niesprzeczne, to także niesprzeczne jest ZF z dołączonym aksjomatem wyboru i uogólnioną hipotezą continuum (GCH). Wynik ten oznaczał, że nie można dać odpowiedzi negatywnej na pierwszy problem Hilberta, ale problemu tego jeszcze nie rozstrzygał.

    Problem continuum został rozstrzygnięty przez Paula Cohena w 1963/64. Okazało się, że nie można udowodnić CH. Zgodnie z wcześniejszym wynikiem Gödla, hipotezy tej nie można też zaprzeczyć (na gruncie ZFC), a więc jest ona niezależna od standardowych aksjomatów teorii mnogości. Ważną także stała się, użyta w dowodzie, odkryta przez Cohena, metoda forsingu.

    Jerzy Maria Michał Łoś (ur. 22 marca 1920 we Lwowie, zm. 1 czerwca 1998 w Warszawie) – polski logik, matematyk i ekonomista.Felix Hausdorff (ur. 8 listopada 1868 roku we Wrocławiu (wówczas Breslau), zm. 26 stycznia 1942 roku w Bonn) – niemiecki matematyk, jeden z twórców topologii.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.
    Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.
    Język w logice matematycznej to pewien zbiór symboli, przy użyciu których można tworzyć bardziej złożone wyrażenia (na przykład formuły, zdania) według ściśle określonych reguł syntaktycznych. Przyjmuje się, że w danym języku L mogą występować (w dowolnej ilości) symbole funkcyjne, relacyjne oraz symbole stałych. Zdania napisane przy użyciu języków tego typu wystarczają do opisu większości własności dowolnych struktur matematycznych oraz do wyrażenia twierdzeń mówiących o tych strukturach.
    Dopełnienie zbioru – intuicyjnie, zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru.
    <|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| - |||||||||| |||||||||| ||||||||||>,
    Saharon Shelah (hebr. שהרן שלח) (ur. 3 lipca 1945 w Jerozolimie), izraelski matematyk, laureat wielu nagród, w tym Nagrody Wolfa z matematyki w 2001 roku. Profesor matematyki na Uniwersytecie Hebrajskim w Jerozolimie i w Rutgers University (stan New Jersey).
    Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.

    Reklama