• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Teoria liczb

    Przeczytaj także...
    Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).Pitagoras (gr. Πυθαγόρας, Pythagoras) (ur. ok. 572 p.n.e. na Samos lub w Sydonie, zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie) – grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem. Z relacji anonimowego autora wiadomo, że Pitagoras żył 104 lata", ale większość opisów wzmiankuje jedynie około 80 lat. Według jednej z wersji zmarł w Metaponcie w domu zapaśnika Milona, ocalony z pogromu Krotony, zaś innej - rewolty tej nie przeżył. Według wielu źródeł jego żoną była Teano.
    W matematyce, elementarna teoria liczb jest działem teorii liczb, posługującym się elementarnymi metodami. Zakres elementarnej teorii liczb jest płynny i zmienia się w czasie. Przyjęto, że unika ona stosowania funkcji analitycznych (podczas, gdy stosowanie liczb zespolonych wciąż można uznać za elementarne). Elementarna teoria liczb, choć wydzielona, to zawarta jest w pozostałych działach teorii liczb: w algebraicznej, analitycznej, geometrycznej, kombinatorycznej.

    Teoria liczb – dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, które do dziś dla wielu specjalistów są szczególnie atrakcyjne.

    Początki teorii liczb sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych (także Archimedes, ale raczej marginesowo; nowe odkrycia historyczne mogą ten pogląd zmienić).

    Bujny rozwój teoria liczb zawdzięcza w wielkiej mierze Pierre’owi Fermatowi (1601–1665), autorowi hipotezy, zwanej Wielkim Twierdzeniem Fermata. Ogromny wkład w rozwój teorii liczb miał Carl Friedrich Gauss. Z polskich matematyków znaczące wyniki w teorii liczb uzyskali między innymi Wacław Sierpiński, Andrzej Schinzel i Henryk Iwaniec. Posiadaczem szeregu wyliczeniowych rekordów światowych jest Jarosław Wróblewski.

    Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

    Badania w zakresie teorii liczb przyczyniły się do znacznego rozwoju wielu gałęzi matematyki: algebry, teorii funkcji zmiennej zespolonej, rachunku prawdopodobieństwa, geometrii algebraicznej i innych.

    Najstarszym działem teorii liczb jest elementarna teoria liczb, w której nie stosuje się metod teorii funkcji analitycznych. Do najważniejszych osiągnięć elementarnej teorii liczb należą dowody Erdősa i Selberga twierdzenia o dystrybucji liczb pierwszych (ich dowody były niezależne, ale oba oparte na lemacie Selberga). Teoria liczb zajmuje się również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, algebraicznych (całkowitych i wymiernych) oraz (od niedawna) liczb -adycznych.

    Pierre de Fermat (ur. 17 sierpnia 1601 w Beaumont-de-Lomagne, zm. 12 stycznia 1665 w Castres) – matematyk (samouk) francuski, z wykształcenia prawnik i lingwista, od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa sądu) w Tuluzie. Większość jego prac matematycznych została opublikowana dopiero po śmierci przez syna, Samuela. Pierre de Fermat dokonał wielu odkryć w teorii liczb, m.in. sformułował słynne wielkie twierdzenie Fermata i jeszcze przed Kartezjuszem opracował i stosował metodę współrzędnych w geometrii. Wykazał, że wszystkie krzywe drugiego stopnia da się uzyskać przez odpowiednie przecinanie płaszczyzną powierzchni stożka; podał metodę znajdowania ekstremum funkcji. Jego prace wraz z pracami Blaise Pascala stworzyły też podstawy pod późniejszy rozwój rachunku prawdopodobieństwa.Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców.

    Równania diofantyczne[ | edytuj kod]

    Jednym z podstawowych problemów teorii równań diofantycznych jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.

    Równanie diofantyczne (od matematyka Diofantosa) to równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.Henryk Iwaniec (ur. 9 października 1947 w Elblągu) – polski i amerykański matematyk, profesor nauk matematycznych, w latach 1971–1983 pracownik naukowy Instytutu Matematycznego PAN, od 1987 profesor Rutgers University (USA), członek korespondent PAN oraz członek zagraniczny PAU, członek American Academy of Arts and Sciences. Specjalizuje się w analitycznej teorii liczb.

    Często nie potrafimy odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele?

    Stale używanym narzędziem teorii równań diofantycznych (i w ogóle w teorii liczb) jest stworzona przez Gaussa teoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb „modulo ”: liczby i przystają modulo jeżeli ich różnica dzieli się bez reszty przez co zapisuje się:

    Eratostenes (gr. Ἐρατοσθένης Eratosthenes; ur. 276 p.n.e. w Cyrenie, zm. 194 p.n.e.) – grecki matematyk, astronom, filozof, geograf i poeta.Geometria algebraiczna – dziedzina matematyki zajmująca się badaniem specyficznych obiektów geometrycznych, takich jak rozmaitości algebraiczne, metodami algebry. Zajmuje centralne miejsce we współczesnej matematyce; jest spoiwem łączącym tak odległe od siebie dziedziny, jak analizę zespoloną, topologię i teorię liczb. Przenikanie terminologii geometrii algebraicznej i jej definicji do innych gałęzi "królowej nauk" ma odbicie w jednym z najbardziej ambitnych programów unifikacji w matematyce, w programie Langlandsa.

    Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki; Diofantosa interesowały rozwiązania w liczbach wymiernych, a nie naturalnych), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),... Rozwiązania nie będące wielokrotnościami innych rozwiązań to tzw. „rozwiązania właściwe” lub trójkąty pitagorejskie, właściwe. Nieskończoną serię takich rozwiązań uzyskała już szkoła Pitagorasa.

    Euklides z Aleksandrii (gr. Εὐκλείδης, Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e.) – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.Trójka pitagorejska a. liczby pitagorejskie – w teorii liczb takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają tzw. równanie Pitagorasa:

    Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych można uzyskać ze wzorów podanych przez Diofantosa: gdzie to liczby naturalne, przy czym Jeśli i są względnie pierwsze, o różnej parzystości, to uzyskuje się rozwiązania właściwe. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe.

    Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki, powstały już w starożytności. Zajmuje się on algebrami ogólnymi i relacjami. Algebra elementarna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie i mnożenie; wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu razem z jego rozkładem na czynniki (faktoryzacją) i znajdowaniem ich pierwiastków, choć algebra jest działem bardziej ogólnym (patrz podział algebry).Andrzej Schinzel, (ur. 5 kwietnia 1937 w Sandomierzu) – polski matematyk, zajmujący się teorią liczb, członek rzeczywisty Polskiej Akademii Nauk.

    Liczby zespolone pozwalają określić trójkąt pitagorejski jako gdzie jest liczbą zespoloną, o całkowitej części rzeczywistej i urojonej, i o całkowitym module

    Wacław Franciszek Sierpiński (ur. 14 marca 1882 w Warszawie, zm. 21 października 1969 w Warszawie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej. Był jednym z twórców polskiej szkoły matematycznej.Biblioteka Narodowa Francji (fr. Bibliothèque nationale de France, BnF) – francuska biblioteka narodowa, znajdująca się w Paryżu. Przewidziana jest jako repozytorium dla wszystkich materiałów bibliotecznych, wydawanych we Francji. Obecnym dyrektorem Biblioteki jest Bruno Racine.

    Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.

    Podział teorii liczb[ | edytuj kod]

    Główne działy teorii liczb, to algebraiczna teoria liczb, analityczna teoria liczb oraz geometryczna teoria liczb. Wyodrębnionymi działami są też elementarna teoria liczb i kombinatoryczna teoria liczb. Poddziałem analitycznej teorii liczb jest probabilistyczna teoria liczb. Ponadto dwa główne działy analitycznej teorii liczb to multiplikatywna teoria liczb i addytywna teoria liczb. Teoria liczb pierwszych zalicza się do multiplikatywnej teorii liczb, a twierdzenie Lagrange’a: każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów liczb całkowitych, jest przykładem wyniku należącego do addytywnej teorii liczb (ale także do elementarnej teorii liczb). Także teoria liczb niewymiernych jest częścią analitycznej teorii liczb, ale ma zastosowania w teorii równań diofantycznych, które z kolei są częścią algebraicznej teorii liczb.

    Algebraiczna teoria liczb - gałąź matematyki zajmująca się badaniem uogólnień pojęcia liczb wymiernych - liczbami algebraicznymi i ciałami liczbowymi.SUDOC (fr. Système Universitaire de Documentation, pol. Uniwersytecki System Dokumentacji) – centralny katalog informacji bibliograficznej francuskiego szkolnictwa wyższego.

    Linki zewnętrzne[ | edytuj kod]

  • Teoria liczb – monografia autorstwa Wacława Sierpińskiego
  • Diofantos (gr. Διόφαντος=Diophantos, łac. Diophantus; ur. około 200/214 n.e., zm. około 284/298 n.e.) – matematyk grecki żyjący w III wieku n.e. w Aleksandrii.Archimedes z Syrakuz (gr. Ἀρχιμήδης ὁ Συρακόσιος Archimedes ho Syrakosios; ok. 287–212 p.n.e.) – grecki filozof przyrody i matematyk, urodzony i zmarły w Syrakuzach; wykształcenie zdobył w Aleksandrii. Był synem astronoma Fidiasza i prawdopodobnie krewnym lub powinowatym władcy Syrakuz Hierona II.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Hiszpańska Biblioteka Narodowa (Biblioteca Nacional de España) – największa biblioteka w Hiszpanii i jedną z największych na świecie. Znajduje się w Madrycie, a dokładnie przy Paseo de Recoletos.
    Atle Selberg (ur. 14 czerwca 1917 w Langesund, Norwegia zm. 6 sierpnia 2007 w Telemark) – norweski matematyk. Laureat medalu Fieldsa (1950) i nagrody Wolfa (1986).
    Paul Erdős, węg. Erdős Pál [ˈɛrdøːʃ ˈpaːl] (ur. 26 marca 1913 w Budapeszcie, zm. 20 września 1996 w Warszawie) – węgierski matematyk.
    Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.
    Gemeinsame Normdatei (GND) – kartoteka wzorcowa, stanowiąca element centralnego katalogu Niemieckiej Biblioteki Narodowej (DNB), utrzymywanego wspólnie przez niemieckie i austriackie sieci biblioteczne.
    Matematyka (z łac. mathematicus, od gr. μαθηματικός mathēmatikós, od μαθηματ-, μαθημα mathēmat-, mathēma, „nauka, lekcja, poznanie”, od μανθάνειν manthánein, „uczyć się, dowiedzieć”; prawd. spokr. z goc. mundon, „baczyć, uważać”) – nauka dostarczająca narzędzi do otrzymywania ścisłych wniosków z przyjętych założeń, zatem dotycząca prawidłowości rozumowania. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.029 sek.