• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Teoria grup



    Podstrony: 1 [2] [3]
    Przeczytaj także...
    Girolamo Cardano, Geronimo Cardano, Gerolamo Cardano, Hieronymus Cardanus, (ur. 24 września 1501 w Pawii, zm. 21 września 1576 w Rzymie) – włoski matematyk, astrolog i lekarz epoki renesansu.Spektroskopia – nauka o powstawaniu i interpretacji widm powstających w wyniku oddziaływań wszelkich rodzajów promieniowania na materię rozumianą jako zbiorowisko atomów i cząsteczek. Spektroskopia jest też często rozumiana jako ogólna nazwa wszelkich technik analitycznych polegających na generowaniu widm.

    Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, tj. przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami, czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny.

    Niccolò Fontana Tartaglia (ur. 1499 lub 1500 w Brescia, zm. 13 grudnia 1557 w Wenecji) – matematyk włoski, autor prac z dziedziny matematyki, mechaniki, balistyki, geodezji, teorii fortyfikacji itp. Autor pierwszego przekładu Elementów Euklidesa (1543) na język nowożytny – włoski.Atom – podstawowy składnik materii. Składa się z małego dodatnio naładowanego jądra o dużej gęstości i otaczającej go chmury elektronowej o ujemnym ładunku elektrycznym.

    Zastosowania obejmują tak odległe dziedziny jak kryptografia czy genetyka, a nawet muzyka (przykładem może być konstrukcja gamy czy koło kwintowe) czy malarstwo (np. twórczość Mauritsa Cornelisa Eschera); jednak najczęściej jako przykłady zastosowań podaje się fizykę i chemię. W obu przypadkach wynika to z praktycznej interpretacji programu Kleina (zob. Rys historyczny), czyli, obrazowo rzecz ujmując, zachęty do wnioskowania o własnościach danego obiektu za pomocą przejawianych przez niego symetrii, przy czym traktowane są one jako przekształcenia geometryczne (a nie własności) obiektu, których zbiór z działaniami składania, odwracania i tożsamością tworzy grupę nazywaną grupą przekształceń (zob. działanie grupy na zbiorze).

    Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801). R {displaystyle R} jest pierścieniem z dzieleniem (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy R ∗ = R ∖ { 0 } {displaystyle R^{*}=Rsetminus {0}} ; w przeciwnym razie zbiór R ∗ {displaystyle R^{*}} jest mniejszy, np. Z ∗ = { 1 , − 1 } {displaystyle mathbb {Z} ^{*}={1,-1}} ;

    W ten sposób bada się m.in. symetrie atomów, cząsteczek, struktur krystalicznych itp., ale również bardziej abstrakcyjnych struktur jak czasoprzestrzeń czy pola fizyczne. Zasadniczo twierdzenie Noether mówi, że z każdym prawem zachowania związana jest pewna symetria układu fizycznego: niezmienniczość układu ze względu na określone operacje prowadzi do zachowania odpowiednich własności i odwrotnie, pojawianie się niezmiennych w czasie wielkości wskazuje na istnienie dodatkowych symetrii w danym układzie. Ponadto formalizm matematyczny mechaniki kwantowej opiera się na teorii reprezentacji grup; wśród innych dziedzin fizyki i chemii intensywnie wykorzystujących teorię grup można wymienić fizykę cząstek elementarnych, spektroskopię czy fizykę ciała stałego, w tym krystalografię.

    Grupa rozwiązalna – w matematyce, jest to grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.

    Rys historyczny[ | edytuj kod]

    Początków teorii grup można upatrywać w badaniach nad rozwiązalnością równań algebraicznych. W XVI wieku Scipione del Ferro, a później w 1535 roku Niccolo Tartaglia, wskazali metodę rozwiązywania równań trzeciego stopnia. W 1540 roku Lodovico Ferrari odkrył metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań trzeciego stopnia; ukazały się one po raz pierwszy w dziele Ars Magna („Wielkie dzieło”) Girolama Cardana wydanym w 1545 roku. Naturalnym stało się pytanie o możliwość wskazania ogólnych wzorów opisujących rozwiązania równań algebraicznych wyższych stopni (równania pierwszego i drugiego stopnia rozwiązywano już w starożytności).

    Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.

    Jako pierwsi grupy (nie posługując się jeszcze ustaloną nazwą) rozważali Joseph Louis Lagrange i Paolo Ruffini, którzy przy rozwiązywaniu równań algebraicznych za pomocą pierwiastników (gdzie w istocie badali oni grupy przekształceń zmieniających porządek elementów zbiorów skończonych, tzw. grup permutacji). Ruffini przedstawił w 1799 roku twierdzenie o tym, że niektórych równań algebraicznych o rzędzie wyższym niż czwarty nie można rozwiązywać przez podanie wzorów podobnych do wzorów del Ferro/Tartaglii, czy Cardana. Złożoność, a później odkryte nieścisłości mogły przyczynić się do tego, iż początkowo wynik został zignorowany. Badania te były kontynuowane przez Nielsa Henrika Abela, który mając w 1824 roku jedynie 22 lata przedstawił rozumowanie dla ogólnych wielomianów – dlatego wynik ten znany jest dzisiaj jako twierdzenie Abela-Ruffiniego. Ostatecznie problem ten rozwiązał w 1830 roku niespełna osiemnastoletni Évariste Galois badając własności pewnej grupy o skończonej liczbie elementów (tzw. grupy rozwiązalnej), choć początkowo ich doniosłość została niezauważona, a jego teorie (zob. teoria Galois) doceniono dopiero w 18 lat po jego śmierci. To właśnie on jako pierwszy użył nazwy „grupa” (fr. groupe) odnosząc ją jednak do wspominanych wyżej grup permutacji (zob. działanie grupy na zbiorze). Charakteryzacje, które przedstawił, posłużyły następnie Arthurowi Cayleyowi w 1854 roku do zdefiniowania znanego dzisiaj, abstrakcyjnego pojęcia grupy.

    Symetria cząsteczkowa określana jest przez operacje symetrii przekształcające cząsteczkę w postać równoważną, czyli nierozróżnialną od postaci pierwotnej (postać równoważna może, lecz nie musi, być identyczna z postacią pierwotną). Podczas wykonywania operacji symetrii atomy tego samego rodzaju ulegają zamianie miejscami (permutacja) jeśli nie leżą na danym elemencie symetrii. Wyjątkiem jest operacja identyczności, która pozostawia wszystkie atomy na swoich miejscach (postać identyczna). Symetria cząsteczki wpływa na takie istotne właściwości jak: reaktywność, parametry spektroskopowe, moment dipolowy, aktywność optyczna itd.Felix Christian Klein (ur. 25 kwietnia 1849 w Düsseldorfie, zm. 22 czerwca 1925 w Getyndze) – niemiecki matematyk, profesor uniwersytetów Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Uniwersytu w Lipsku i Getyndze oraz politechniki w Monachium. Od 1913 członek Berlińskiej Akademii Nauk.

    Teoria grup pojawiła się zupełnie niezależnie w geometrii jako metoda klasyfikacji różnorakich geometrii, które zaczęły zdobywać szersze uznanie z początkiem XIX wieku. Problem ustalenia związków między nimi rozwiązał w 1872 roku Felix Klein w Programie erlangeńskim, przyjmując za podstawę pojęcie grupy przekształceń. Trzecim źródłem pojęcia grupy jest teoria liczb. Carl Friedrich Gauss w swojej pracy Disquisitiones Arithmeticae („Rozważania arytmetyczne”) zajmuje się arytmetyką modularną, czyli pierścieniami ilorazowymi pierścienia liczb całkowitych, tzn. grupami addytywnymi i multiplikatywnymi pewnych pierścieni i ciał. Idee te nie były również obce Galois, od nazwiska którego pochodzi inna nazwa ciała skończonego, czyli „ciało Galois”. W 1884 roku Sophus Lie zaczął używać grup, dziś nazywanych grupami Liego, do rozwiązywania problemów analitycznych.

    Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.


    Podstrony: 1 [2] [3]




    Warto wiedzieć że... beta

    Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.
    Przekształcenie, odwzorowanie geometryczne – funkcja przekształcająca jeden zbiór punktów, nazywany figurą geometryczną, w drugi zbiór punktów w przestrzeni geometrycznej (przestrzeni euklidesowej, przestrzeni rzutowej itp.). W węższym znaczeniu jest to funkcja wzajemnie jednoznaczna przeprowadzająca przestrzeń geometryczną na siebie; ta druga definicja jest stosowana dla przekształceń geometrycznych tworzących grupy przekształceń.
    W matematyce, grupa Liego to grupa, która jest zarazem gładką rozmaitością. Można na nią patrzeć jako na zbiór z dodatkowymi strukturami rozmaitości i grupy. Przykładem grupy Liego jest grupa obrotów przestrzeni trójwymiarowej. Grupy Liego są często spotykane w analizie matematycznej, fizyce i geometrii. Zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Sophusa Liego w 1870 roku do badania równań różniczkowych.
    Reprezentacja grupy – w teorii grup każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.
    Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca stan układu fizycznego (materii) jako jego zdolność do wykonania pracy.
    Teoria pierścieni – dział algebry zajmujący się badaniem pierścieni. Znajduje on szerokie zastosowanie w innych obszarach matematyki, między innymi w teorii liczb i geometrii algebraicznej.
    Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.054 sek.