• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Teoria grup

    Przeczytaj także...
    Girolamo Cardano, Geronimo Cardano, Gerolamo Cardano, Hieronymus Cardanus, (ur. 24 września 1501 w Pawii, zm. 21 września 1576 w Rzymie) – włoski matematyk, astrolog i lekarz epoki renesansu.Spektroskopia – nauka o powstawaniu i interpretacji widm powstających w wyniku oddziaływań wszelkich rodzajów promieniowania na materię rozumianą jako zbiorowisko atomów i cząsteczek. Spektroskopia jest też często rozumiana jako ogólna nazwa wszelkich technik analitycznych polegających na generowaniu widm.
    Niccolò Fontana Tartaglia (ur. 1499 lub 1500 w Brescia, zm. 13 grudnia 1557 w Wenecji) – matematyk włoski, autor prac z dziedziny matematyki, mechaniki, balistyki, geodezji, teorii fortyfikacji itp. Autor pierwszego przekładu Elementów Euklidesa (1543) na język nowożytny – włoski.

    Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, czyli przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami, czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny.

    Atom – podstawowy składnik materii. Składa się z małego dodatnio naładowanego jądra o dużej gęstości i otaczającej go chmury elektronowej o ujemnym ładunku elektrycznym.Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).

    Zastosowania obejmują tak odległe dziedziny jak kryptografia, czy genetyka, a nawet muzyka (przykładem może być konstrukcja gamy, czy koło kwintowe), czy malarstwo (np. twórczość Mauritsa Cornelisa Eschera); nie mniej najczęściej jako przykłady zastosowań podaje się fizykę i chemię. W obu przypadkach wynika to z praktycznej interpretacji programu Kleina (zob. Rys historyczny), czyli obrazowo rzecz ujmując wnioskowania o własnościach danego obiektu za pomocą przejawianych przez niego symetrii, przy czym traktowane są one jako przekształcenia geometryczne (a nie własności) obiektu, których zbiór z działaniami składania, odwracania i tożsamością tworzy grupę nazywaną grupą przekształceń (zob. działanie grupy na zbiorze). W ten sposób bada się m.in. symetrie atomów, cząsteczek, struktur krystalicznych itp., ale również bardziej abstrakcyjnych struktur jak czasoprzestrzeń czy pola fizyczne. Zasadniczo twierdzenie Noether mówi, że z każdym prawem zachowania związana jest pewna symetria układu fizycznego: niezmienniczość układu ze względu na określone operacje prowadzi do zachowania odpowiednich własności i odwrotnie, pojawianie się niezmiennych w czasie wielkości wskazuje na istnienie dodatkowych symetrii w danym układzie. Ponadto formalizm matematyczny mechaniki kwantowej opiera się na teorii reprezentacji grup; wśród innych dziedzin fizyki i chemii intensywnie wykorzystujących teorię grup można wymienić fizykę cząstek elementarnych, spektroskopię czy fizykę ciała stałego, w tym krystalografię.

    R {displaystyle R} jest pierścieniem z dzieleniem (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy R ∗ = R ∖ { 0 } {displaystyle R^{*}=Rsetminus {0}} ; w przeciwnym razie zbiór R ∗ {displaystyle R^{*}} jest mniejszy, np. Z ∗ = { 1 , − 1 } {displaystyle mathbb {Z} ^{*}={1,-1}} ;Grupa rozwiązalna – w matematyce, jest to grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).

    Rys historyczny[]

    Początków teorii grup można upatrywać w badaniach nad rozwiązalnością równań algebraicznych. W XVI wieku Scipione del Ferro, a później w 1535 roku Niccolo Tartaglia, wskazali metodę rozwiązywania równań trzeciego stopnia. W 1540 roku Lodovico Ferrari odkrył metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań trzeciego stopnia; ukazały się one po raz pierwszy w dziele Ars Magna („Wielkie dzieło”) Girolamo Cardano wydanym w 1545 roku. Naturalnym stało się pytanie o możliwość wskazania ogólnych wzorów opisujących rozwiązania równań algebraicznych wyższych stopni (równania pierwszego i drugiego stopnia rozwiązywano już w starożytności).

    Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

    Jako pierwsi grupy (nie posługując się jeszcze ustaloną nazwą) rozważali Joseph Louis Lagrange i Paolo Ruffini, którzy przy rozwiązywaniu równań algebraicznych za pomocą pierwiastników (gdzie w istocie badali oni grupy przekształceń zmieniających porządek elementów zbiorów skończonych, tzw. grup permutacji). Badania te były kontynuowane przez Nielsa Henrika Abela, który w 1824 roku udowodnił, że niektórych równań algebraicznych o rzędzie wyższym niż czwarty nie można rozwiązywać przez podanie wzorów podobnych do wzorów del Ferro/Tartaglii, czy Cardano. Ostatecznie problem ten rozwiązał w 1830 roku niespełna osiemnastoletni Évariste Galois badając własności pewnej grupy o skończonej liczbie elementów (tzw. grupy rozwiązalnej), choć początkowo ich doniosłość została niezauważona, a jego teorie (zob. teoria Galois) doceniono dopiero w 18 lat po jego śmierci. To właśnie on jako pierwszy użył nazwy „grupa” (fr. groupe) odnosząc ją jednak do wspominanych wyżej grup permutacji (zob. działanie grupy na zbiorze). Charakteryzacje, które przedstawił, posłużyły następnie Arthurowi Cayleyowi w 1854 roku do zdefiniowania znanego dzisiaj, abstrakcyjnego pojęcia grupy.

    Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.Symetria cząsteczkowa określana jest przez operacje symetrii przekształcające cząsteczkę w postać równoważną, czyli nierozróżnialną od postaci pierwotnej (postać równoważna może, lecz nie musi, być identyczna z postacią pierwotną). Podczas wykonywania operacji symetrii atomy tego samego rodzaju ulegają zamianie miejscami (permutacja) jeśli nie leżą na danym elemencie symetrii. Wyjątkiem jest operacja identyczności, która pozostawia wszystkie atomy na swoich miejscach (postać identyczna). Symetria cząsteczki wpływa na takie istotne właściwości jak: reaktywność, parametry spektroskopowe, moment dipolowy, aktywność optyczna itd.

    Teoria grup pojawiła się zupełnie niezależnie w geometrii jako metoda klasyfikacji różnorakich geometrii, które pojawiły się w XIX wieku. Problem ustalenia związków między nimi rozwiązał w 1872 roku Felix Klein w Programie erlangeńskim, przyjmując za podstawę pojęcie grupy przekształceń. Trzecim źródłem pojęcia grupy jest teoria liczb. Carl Friedrich Gauss w swojej pracy Disquisitiones Arithmeticae („Rozważania arytmetyczne”) zajmuje się arytmetyką modularną, czyli pierścieniami ilorazowymi pierścienia liczb całkowitych, tzn. grupami addytywnymi i multiplikatywnymi pewnych pierścieni i ciał. Idee te nie były również obce Galois, od nazwiska którego pochodzi inna nazwa ciała skończonego, czyli „ciało Galois”. W 1884 roku Sophus Lie zaczął używać grup, dziś nazywanych grupami Liego, do rozwiązywania problemów analitycznych.

    Felix Christian Klein (ur. 25 kwietnia 1849 w Düsseldorfie, zm. 22 czerwca 1925 w Getyndze) – niemiecki matematyk, profesor uniwersytetów Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Uniwersytu w Lipsku i Getyndze oraz politechniki w Monachium. Od 1913 członek Berlińskiej Akademii Nauk.Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.

    Uwagi

    1. Przykładowo, jeśli wybór chwili początkowej jest nieistotny (tzn. czas jest jednorodny), to w takiej sytuacji zachowywana jest energia; jeśli nieistotny jest wybór początku układu współrzędnych (tzn. przestrzeń jest jednorodna), to zachowane są składowe wektora pędu; jeżeli nieistotna jest orientacja osi układu współrzędnych (tzn. przestrzeń jest izotropowa), to w układzie zachowany jest moment pędu.

    Przypisy

    1. Równania kwadratowe, sześcienne i czwartego stopnia w serwisie MacTutor History of Mathematics archive.
    2. Kargapołow, Mierzlakow: Podstawy teorii grup. Warszawa: 1989, s. 12.
    Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.Przekształcenie, odwzorowanie geometryczne – funkcja przekształcająca jeden zbiór punktów, nazywany figurą geometryczną, w drugi zbiór punktów w przestrzeni geometrycznej (przestrzeni euklidesowej, przestrzeni rzutowej itp.). W węższym znaczeniu jest to funkcja wzajemnie jednoznaczna przeprowadzająca przestrzeń geometryczną na siebie; ta druga definicja jest stosowana dla przekształceń geometrycznych tworzących grupy przekształceń.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    W matematyce, grupa Liego to grupa, która jest zarazem gładką rozmaitością. Można na nią patrzeć jako na zbiór z dodatkowymi strukturami rozmaitości i grupy. Przykładem grupy Liego jest grupa obrotów przestrzeni trójwymiarowej. Grupy Liego są często spotykane w analizie matematycznej, fizyce i geometrii. Zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Sophusa Liego w 1870 roku do badania równań różniczkowych.
    Reprezentacja grupy – w teorii grup każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.
    Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca stan układu fizycznego (materii) jako jego zdolność do wykonania pracy.
    Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.
    Działanie grupy – w algebrze i geometrii sposób opisania symetrii obiektów za pomocą pojęcia grupy. Istotne elementy obiektu opisane są za pomocą zbioru, a jego symetrie za pomocą jego grupy symetrii, która składa się z wzajemnie jednoznacznych przekształceń geometrycznych wspomnianego zbioru. Wówczas grupę tę nazywa się także grupą permutacji (szczególnie, jeśli zbiór jest skończony lub nie jest przestrzenią liniową) lub grupą przekształceń (szczególnie, gdy zbiór jest przestrzenią liniową, a grupa działa jak przekształcenia liniowe zbioru).
    Kryptologia (z gr. κρυπτός – kryptos – "ukryty" i λόγος – logos – "słowo") – dziedzina wiedzy o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem. Współcześnie kryptologia jest uznawana za gałąź zarówno matematyki, jak i informatyki; ponadto jest blisko związana z teorią informacji, inżynierią oraz bezpieczeństwem komputerowym.
    Permutacja – wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego zbioru na siebie. Najczęściej termin ten oznacza funkcję na zbiorach skończonych.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.049 sek.