• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Teoria Galois



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.Grupa permutacji – grupa wszystkich bijekcji pewnego zbioru w siebie (czyli permutacji) z działaniem składania pełniącego rolę działania grupowego i identycznością jako elementem neutralnym. Elementem odwrotnym do danego jest funkcja (permutacja) odwrotna do danej, która zawsze istnieje z definicji bijekcji.
    Évariste Galois (1811–1832)

    Teoria Galois – nosząca nazwisko Évariste'a Galois teoria matematyczna, a dokładniej teoria algebry abstrakcyjnej, wskazująca związki między teorią ciał a teorią grup. Umożliwia ona redukcję pewnych problemów teorii ciał do zagadnień w pewnym sensie prostszej i lepiej poznanej teorii grup.

    Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).Grupa monstrum – w teorii grup, grupa, która zgodnie z klasyfikacją skończonych grup prostych jest największą z tzw. sporadycznych grup prostych (nie należących do żadnej ze zdefiniowanych nieskończonych rodzin grup).

    Wkładem Galois w tę dziedzinę było opisanie związków między pierwiastkami danego równania wielomianowego za pomocą grup permutacji oraz opisaniem wszystkich ciał skończonych. Współczesne podejście opracowane przez Richarda Dedekinda, Leopolda Kroneckera, Emila Artina i innych obejmuje przede wszystkim badanie automorfizmów rozszerzeń ciała.

    Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).Teoria – z gr. theoría- oglądanie, rozważanie. System pojęć, definicji, aksjomatów i twierdzeń ustalających relacje między tymi pojęciami i aksjomatami, tworzący spójny system pojęciowy opisujący jakąś wybraną fizyczną lub abstrakcyjną dziedzinę.

    Daleko idącą abstrakcją teorii Galois jest teoria połączeń Galois.

    Spis treści

  • 1 Zastosowania w konstrukcjach klasycznych
  • 2 Historia
  • 3 Podejście klasyczne
  • 3.1 Przykład: równanie kwadratowe
  • 3.2 Przykład: równanie dwukwadratowe
  • 4 Podejście współczesne
  • 5 Grupy rozwiązalne i rozwiązania pierwiastnikowe
  • 5.1 Przykład: nierozwiązywalne równanie piątego stopnia
  • 6 Odwrotne zagadnienie Galois
  • 7 Przypisy
  • 8 Bibliografia
  • 9 Linki zewnętrzne
  • Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której funkcja sinus przyjmuje wartość 0.Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).

    Zastosowania w konstrukcjach klasycznych[]

     Osobny artykuł: konstrukcje klasyczne.

    Główną motywacją teorii Galois było poniższe pytanie, na które odpowiedź znana jest dziś jako twierdzenie Abela-Ruffiniego: „Dlaczego nie ma wzoru na pierwiastki równania wielomianowego piątego (lub wyższego) stopnia wyrażonego współczynnikami wielomianu, który zawierałby wyłącznie tylko zwyczajne operacje algebraiczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) i wyciąganie pierwiastków (kwadratowych, sześciennych itd.)?”

    Teoria Galois dostarcza nie tylko pięknej odpowiedzi na to pytanie, lecz wyjaśnia także szczegółowo, dlaczego możliwe jest rozwiązywanie w ten sposób równań stopnia czwartego i niższych oraz dlaczego rozwiązania te przyjmują taką, a nie inną postać. Więcej, daje ona koncepcyjnie przejrzyste i częstokroć praktyczne środki umożliwiające wskazanie, kiedy dane równanie wyższego stopnia może być rozwiązane tym sposobem.

    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Grupa rozwiązalna – w matematyce, jest to grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).

    Teoria Galois daje również przekonujące rozwiązania zadań konstrukcyjnych wykonywanych za pomocą cyrkla i linijki; w tym przedstawia ona elegancką charakteryzację stosunków długości, które mogą być skonstruowane tą metodą, dzięki czemu względnie łatwo odpowiedzieć na takie problemy klasyczne geometrii jak: „Dlaczego nie jest możliwa podzielenie każdego kąta na trzy części w ogólnym przypadku?”, „Czy można dla danego sześcianu skonstruować sześcian o dwa razy większej objętości?”, „Czy można skonstruować kwadrat o polu równym danemu kołu?” (wykorzystując fakt, iż liczba π jest przestępna); „Które wielokąty foremne są wielokątami konstruowalnymi?”.

    Innym zastosowaniem tej teorii jest prosty dowód zasadniczego twierdzenia algebry mówiącego, iż ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte.

    Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, czyli przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami, czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny.Jerzy Browkin (ur. 5 listopada 1934, zm. 23 listopada 2015 w Warszawie) – polski matematyk zajmujący się algebraiczną teorią liczb. W 1994, wspólnie z Juliuszem Brzezińskim, sformułował n-hipotezę, tj. uogólnienie hipotezy abc na liczby całkowite n ≥ 3.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Serge Lang (ur. 19 maja 1927 w Paryżu, zm. 12 września 2005 w Berkeley) – amerykański matematyk francuskiego pochodzenia. Znany ze swoich osiągnięć w teorii liczb. Jest autorem klasycznego podręcznika akademickiego Algebra, przetłumaczonego także na język polski. Był członkiem grupy Nicolas Bourbaki.
    Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebry – twierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry):
    Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską.
    Leopold Kronecker (ur. 7 grudnia 1823 w Legnicy, zm. 29 grudnia 1891 w Berlinie) – niemiecki matematyk i logik. Brat Hugona Kroneckera.
    Bartel Leendert van der Waerden (ur. 2 lutego 1903 r. w Amsterdamie, zm. 12 czerwca 1996 r. w Zurichu), matematyk holenderski, pracujący twórczo w wielu dziedzinach matematyki.
    Wzory Viète’a – wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète’a.
    Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.146 sek.