• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Tensor



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6] [7]
    Przeczytaj także...
    Konwencja sumacyjna Einsteina – to skrótowy sposób zapisu równań zawierających kilka znaków sumy. Stosuje się go w celu zwiększenia przejrzystości zapisu równań.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.

    Tensor, wielkość tensorowa – obiekt matematyczny będący uogólnieniem pojęcia wektora.

    Zbiór wszystkich tensorów wraz z odpowiednimi działaniami nazywamy przestrzenią tensorową. Przestrzeń tensorowa jest sumą prostą przeliczalnej liczby przestrzeni liniowych.

    Tensory, podobnie jak wektory mogą być swobodne, zaczepione oraz można rozważać pola tensorowe, często nazywane w skrócie tensorami. Tensory w mniej ścisłym znaczeniu, które zmieniają się przy zmianie skali, bardziej ściśle nazywa się gęstościami tensorowymi

    Operator rzutowy – liniowy i ciągły operator przestrzeni Hilberta, którego złożenie z samym sobą jest dalej nim samym oraz jego obraz jest dopełnieniem ortogonalnym jądra.Szczególna teoria względności (STW) – teoria fizyczna stworzona przez Alberta Einsteina w 1905 roku. Zmieniła ona sposób pojmowania czasu i przestrzeni opisane wcześniej w newtonowskiej mechanice klasycznej. Teoria pozwoliła usunąć trudności interpretacyjne i sprzeczności pojawiające się na styku mechaniki (zwanej obecnie klasyczną) i elektromagnetyzmu po ogłoszeniu przez Jamesa Clerka Maxwella teorii elektromagnetyzmu.

    Potocznie tensorami nazywa się tylko tensory drugiego rzędu. Obiektami podobnymi do wektorów i tensorów są spinory i tensory spinorowe. Uogólnieniem tensorów i tensorów spinorowych jest tzw. obiekt geometryczny.

    Spis treści

  • 1 Cel
  • 2 Definicja
  • 3 Przestrzeń tensorowa
  • 4 Iloczyn zewnętrzny
  • 5 Typy tensorów i reprezentacje
  • 6 Działania
  • 7 Rząd tensora
  • 8 Oznaczenia
  • 9 Działania na tensorach
  • 10 Zastosowania
  • 11 Tensory w fizyce
  • 12 Uwagi
  • 13 Przypisy
  • 14 Linki zewnętrzne
  • Cel[]

    Aby opisać jakąś przestrzeń geometryczną, np. czasoprzestrzeń fizyczną, wprowadza się w niej układ współrzędnych. Jednak definiowanie układu współrzędnych jest sztuczne - uważa się, że w rzeczywistości fizycznej twór taki nie występuje. Poza tym układy współrzędnych można zawsze wybierać na wiele sposobów. Ponadto, zapis praw przyrody w jednym tylko układzie współrzędnych nie pozwala rozstrzygnąć, czy jakaś własność matematyczna jest cechą praw przyrody, czy tylko narzuca to wybór układu współrzędnych.

    NASA (National Aeronautics and Space Administration) (pl. Narodowa Agencja Aeronautyki i Przestrzeni Kosmicznej) – agencja rządu Stanów Zjednoczonych odpowiedzialna za narodowy program lotów kosmicznych, ustanowiona 29 lipca 1958 r. na mocy National Aeronautics and Space Act, zastępując poprzednika – National Advisory Committee for Aeronautics. Jest wydziałem Departamentu Obrony USA i jest mu bezpośrednio podległa.Przekształcenie wieloliniowe – w algebrze liniowej funkcja określona na iloczynie kartezjańskim przestrzeni liniowych w daną przestrzeń liniową (nad ustalonym ciałem), która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna. Jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpi się ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny, to tego rodzaju funkcje te nazywa się formami wieloliniowymi.

    Dlatego wprowadza się matematyczne obiekty nazywane tensorami, które mają być niezależne od wyboru układu współrzędnych. Z wyrażeń tensorowych można tworzyć równania. Równanie takie nazywamy równaniem tensorowym lub tożsamością tensorową, jeżeli zachodzi ona zawsze, przy każdym wyborze układu współrzędnych.

    Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.Konwencja sumacyjna Einsteina – to skrótowy sposób zapisu równań zawierających kilka znaków sumy. Stosuje się go w celu zwiększenia przejrzystości zapisu równań.

    Prawa fizyki powinny dać się zapisać jako równania tensorowe, tzn. wielkości fizyczne występujące w równaniach opisujących podstawowe prawa przyrody powinny mieć charakter tensorowy. Równania tak zapisane są niezmiennicze względem zmiany układu współrzędnych, tzn. mają taką samą postać przy zamianie współrzędnych z jednego układu na drugi. Przy tym żąda się, by rozważanie transformacje miały bardzo ogólny charakter. Przykładem są równania szczególnej i ogólnej teorii względności (STW i OTW), które są niezmiennicze ze względu na transformacje Lorentza. Wybór konkretnego układu współrzędnych - konieczny do przeprowadzenia obliczeń - oznacza, że dokonuje się rzutowania tensorów na osie układu współrzędnych.

    Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

    Np. w równaniu II zasady dynamiki Newtona występują wektory siły i wektory pędu (wektory są tensorami 1-go rzędu):

    W konkretnie wybranym układzie współrzędnych równanie to przyjmie postać układu trzech równań

    W teorii względności pole elektryczne i pole magnetyczne nie są opisywane jako osobne wektory w trójwymiarowej przestrzeni, lecz są składowymi czterowymiarowego antysymetrycznego tensora drugiego rodzaju (czyli po prostu 4x4) zwanego tensorem pola elektromagnetycznego. Tensor ten definiuje się przez pochodne czteropotencjału przy sygnaturze tensora metrycznego w szczególnej teorii względności (+,-,-,-) jako:Pole skalarne – w matematyce i fizyce przypisanie każdemu punktowi pewnego obszaru pewnej wielkości skalarnej (w matematyce – liczby, w fizyce zazwyczaj wielkości mianowanej). Jest jednym z rodzajów pola fizycznego. Przykładem pola skalarnego jest potencjał elektrostatyczny.

    gdzie - współrzędne wektorów rzutowanych na osie wybranego układu współrzędnych. Równania Newtona są niezmiennicze ze względu na transformacje Galileusza, które są mniej ogólne, niż transformacje Lorentza. Dlatego wprowadzenie przez Einsteina wymogu, by prawa fizyki były niezmiennicze ze względu na transformacje Lorentz doprowadziło do bardziej uniwersalnego sformułowania praw przyrody, w postaci STW i OTW.

    Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny) jest antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:Reprezentacja grupy – w teorii grup każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.

    Rachunek wektorowy był przez długi czas dla matematyków wystarczający, ponieważ rozważano tylko jeden układ współrzędnych: ortonormalny układ kartezjański. Z czasem zaszła potrzeba rozważania innych układów, np. kartezjańskich ukośnokątnych lub krzywoliniowych. W dodatku w obrębie zainteresowań matematyków pojawiły się przestrzenie zakrzywione, w których nie da się zdefiniować prostoliniowego układu współrzędnych. Dlatego konieczne stało się używanie rachunku tensorowego.

    Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca stan układu fizycznego (materii) jako jego zdolność do wykonania pracy.Temperatura – jedna z podstawowych wielkości fizycznych (parametrów stanu) w termodynamice. Temperatura jest związana ze średnią energią kinetyczną ruchu i drgań wszystkich cząsteczek tworzących dany układ i jest miarą tej energii.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6] [7]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.
    Spin – moment własny pędu cząstki w układzie, w którym nie wykonuje ruchu postępowego. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych.
    Pole elektromagnetyczne – pole fizyczne, stan przestrzeni, w której na obiekt fizyczny mający ładunek elektryczny działają siły o naturze elektromagnetycznej. Pole elektromagnetyczne jest układem dwóch pól: pola elektrycznego i pola magnetycznego. Pola te są wzajemnie związane, a postrzeganie ich zależy też od obserwatora, wzajemną relację pól opisują równania Maxwella. Własności pola elektromagnetycznego, jego oddziaływanie z materią bada dział fizyki zwany elektrodynamiką. W mechanice kwantowej pole elektromagnetyczne jest postrzegane jako wirtualne fotony.
    Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907–1915, a opublikowanej w roku 1916.
    Dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego nazywane czasem twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.
    Wielkość fizyczna – właściwość fizyczna ciała lub zjawiska, którą można określić ilościowo, czyli zmierzyć.
    Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

    Reklama