• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Szereg funkcyjny

    Przeczytaj także...
    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Zbieżność punktowa – własność ciągu funkcji, tzw. ciągu funkcyjnego, mówiąca, iż ciąg wartości dla każdego argumentu funkcji jest zbieżny.
    Analiza numeryczna to zbiorcza nazwa wszystkich działów matematyki, które zajmują się badaniem struktur ciągłych, to znaczy zawierających zbiory nieprzeliczalne, której głównym zadaniem jest badanie możliwości realizacji obliczeń przybliżonych, oraz analiza powstałych na skutek zaokrąglenia błędów.

    Szereg funkcyjnyszereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

    Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z EleiSzereg Fouriera – w matematyce szereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów (kompresja jpeg), a nawet w muzyce (kompresja mp3).

    Szeregi funkcyjne pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej i fizyce. Na przykład:

  • szeregi Fouriera są narzędziem w badaniu możliwości przedstawienia skomplikowanej funkcji (zwykle funkcji okresowej – w fizyce i technice – ruchu drgającego) przy pomocy szeregu prostszych funkcji okresowych typu sinus i cosinus – tzw. harmonik (zob. analiza harmoniczna);
  • szeregi Taylora służą do przedstawiania funkcji stosunkowo skomplikowanych przy pomocy szeregów o wyrazach będących wielomianami (czyli o dużo prostszej naturze) zależnych od kolejnych pochodnych (zob. wzór Taylora, analiza numeryczna);
  • szeregi Laurenta są narzędziem podobnym do szeregów Taylora, służącym do rozwijania funkcji zmiennej zespolonej w szeregi potęgowe o wykładnikach całkowitych. Rozkład funkcji w szereg Laurenta niesie dodatkowe informacje o regularności samej funkcji (zob. analiza zespolona).
  • Podstawowym przykładem szeregu funkcyjnego jest tzw. szereg geometryczny, czyli szereg postaci

    Szereg Laurenta funkcji zespolonej f(z) to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

    Jest on zbieżny dla każdego do (sumy):

    Analiza zespolona – dziedzina matematyki, w szczególności analizy matematycznej, obejmująca swą tematyką teorię funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej i zespolonej, jednej i wielu zmiennych – w tym bardzo rozbudowane teorie funkcji analitycznych, funkcji eliptycznych czy odwzorowań konforemnych. Ma zastosowania w teorii liczb, teorii fraktali, matematyce stosowanej, teorii przestrzeni Hilberta a także w pewnych dziedzinach fizyki.Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

    Jeżeli przyjąć dla jak wyżej, to powyższy szereg można zapisać w postaci

    Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:Kryterium Weierstrassa – twierdzenie będące warunkiem wystarczającym zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka, Karla Weierstrassa. Kryterium to mówi, że jeżeli ( f n ) {displaystyle (f_{n})} jest ciągiem funkcji określonych na zbiorze A ⊂ R {displaystyle Asubset mathbb {R} } o tej własności, że dla każdej liczby naturalnej n {displaystyle n} istnieje taka liczba M n {displaystyle M_{n}} , że

    który jest już przykładem szeregu funkcyjnego.

    Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.Grigorij Michajłowicz Fichtenholz (ros. Григорий Михайлович Фихтенгольц, ur. 5 czerwca 1888 w Odessie, zm. 25 czerwca 1959 w Leningradzie), rosyjski matematyk pochodzenia niemieckiego.

    Zbieżność[ | edytuj kod]

    Niech będzie przestrzeń unormowaną oraz będzie ciągiem funkcji określonych na pewnym zbiorze i o wartościach w przestrzeni

    Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana X (z normą ||·||), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka d dana wzoremFunkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.

    Zbieżność punktowa[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: zbieżność punktowa.

    Mówi się, że szereg jest zbieżny punktowo w zbiorze gdy dla każdego zbieżny jest szereg Innymi słowy wymaga się, by zbieżny był ciąg sum częściowych Określoną w ten sposób funkcję nazywa się sumą szeregu funkcyjnego

    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.

    Zbieżność jednostajna[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: zbieżność jednostajna.

    Szereg jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych jest zbieżny jednostajnie jako ciąg funkcyjny.

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Wydawnictwo Naukowe PWN SA – wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Wydawnictwo Naukowe PWN SA stanowi jednostkę dominującą Grupy kapitałowej PWN, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.

    Dokładniej, szereg jest zbieżny jednostajnie w zbiorze do funkcji gdy od pewnego wyrazu norma sumy częściowej szeregu jest dowolnie mała dla wszystkich tzn. gdy dla dowolnej liczby istnieje taka liczba naturalna że dla wszystkich i dla wszystkich zachodzi nierówność

    Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

    Do kryteriów zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych zaliczają się

  • kryterium Abela,
  • kryterium Dirichleta,
  • kryterium Weierstrassa.
  • Własności sumy szeregu zbieżnego jednostajnie – twierdzenie Weierstrassa[ | edytuj kod]

    Niech dany będzie szereg funkcyjny zbieżny jednostajnie w przedziale do funkcji Wówczas:

  • jeżeli wszystkie wyrazy ciągu ciągłe, to jego suma też jest funkcją ciągłą;
  • jeżeli jest ciągiem funkcji różniczkowalnych mającym w tym przedziale ciągłe pochodne oraz szereg jest zbieżny jednostajnie, to funkcja jest różniczkowalna oraz
  • dla
  • jeżeli ponadto wyrazy ciągu są funkcjami ciągłymi, określonymi w przedziale oraz szereg jest zbieżny jednostajnie w tym przedziale, to
  • Przykład[ | edytuj kod]

    Szereg

    jest zbieżny punktowo do funkcji w przedziale jednak nie jest zbieżny jednostajnie; mimo to suma szeregu jest funkcją różniczkowalną (a zatem i ciągłą) w zadanym przedziale.

    Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. czwarte. T. II. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1966, s. 375–377.




  • Reklama

    Czas generowania strony: 0.919 sek.