• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Szereg Fouriera



    Podstrony: [1] 2 [3]
    Przeczytaj także...
    Jean Baptiste Joseph Fourier (ur. 21 marca 1768 w Auxerre, zm. 16 maja 1830 r. w Paryżu) – francuski matematyk i fizyk. Równanie przewodnictwa cieplnego – równanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:
    Własności[ | edytuj kod]

    Poniższe twierdzenia dot. rozwijalności funkcji w szereg Fouriera. W dalszym ciągu zakładamy, że okres funkcji wynosi 2T.

    | edytuj kod]

  • jest liczbą całkowitą
  • są liczbami naturalnymi
  • Lemat II[ | edytuj kod]

    Dowód[ | edytuj kod]

    więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):

    3blue1brown – kanał na YouTube poświęcony matematyce, prowadzony przez Granta Sandersona, którego celem jest przedstawienie pojęć matematycznych w sposób wizualny. Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

    q. e. d.

    MP3 ((ang.) MPEG-1/MPEG-2 Audio Layer 3) – algorytm kompresji stratnej dźwięku, przetworzonego uprzednio na sygnał cyfrowy. Popularnie zwany formatem MP3 lub standardem MP3. Jest zdefiniowany przez IETF w dokumencie RFC 5219.MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).

    Lemat III[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Lemat Riemanna.

    Jeżeli jest funkcją ciągłą w przedziale z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to

    Lemat – w matematyce twierdzenie pomocnicze, którego głównym zastosowaniem jest uproszczenie dowodów innych, bardziej istotnych twierdzeń. Formalnie jednak każdy lemat jest pełnoprawnym twierdzeniem, a zaklasyfikowanie pewnego twierdzenia jako lematu wynika jedynie ze sposobu jego użycia w innym, obszerniejszym kontekście. Często zdarzało się, że lemat zyskiwał sobie o wiele większe znaczenie od pierwotnego, znajdując szersze zastosowanie i stając się w zasadzie samodzielnym twierdzeniem, którego nazwa wynika z uwarunkowań historycznych.Szereg funkcyjny – szereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

    Twierdzenie (Eulera–Fouriera)[ | edytuj kod]

    Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji to współczynniki wyrażają się wzorami (1.2), (1.3).

    Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.

    Dowód[ | edytuj kod]

    Mnożąc powyższą równość przez całkując szereg w granicach od do (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy:

    YouTube – serwis internetowy, stworzony w lutym roku 2005, który umożliwia bezpłatne umieszczanie, oglądanie filmów oraz live streaming. Używa technologii FLV do wyświetlania szerokiego wyboru filmów zamieszczonych przez użytkowników (tzw. user-generated content), takich jak zwiastuny filmowe lub telewizyjne, teledyski, jak i dzieła amatorskie: wideoblogi i krótkie własne filmy. Większość materiałów została załadowana na YouTube przez prywatne osoby, ale wiele firm (na przykład Columbia Broadcasting System, BBC, Universal Music Group, w Polsce Polska Agencja Prasowa, Grupa TVN, CD Projekt), różne instytucje i organizacje oferują część swoich materiałów przez YouTube jako część programu partnerskiego.Warunki Dirichleta – warunki wystarczające aby funkcja okresowa posiadała reprezentację w postaci szeregu Fouriera oraz posiadała transformatę Fouriera. Warunki te były sformułowane przez niemieckiego matematyka Piotra Gustawa Dirichleta.

    Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że (gdy zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy:

    JPEG (wym. dżej-peg lub jot-peg) – metoda kompresji statycznych obrazów rastrowych, przeznaczony głównie do stratnego zapisu obrazów naturalnych (pejzaży, portretów itp.), charakteryzujących się płynnymi przejściami barw oraz brakiem lub małą ilością ostrych krawędzi i drobnych detali.Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.

    Stąd otrzymujemy wzór (1.2).

    Kontrola autorytatywna – w terminologii bibliotekoznawczej określenie procedur zapewniających utrzymanie w sposób konsekwentny haseł (nazw, ujednoliconych tytułów, tytułów serii i haseł przedmiotowych) w katalogach bibliotecznych przez zastosowanie wykazu autorytatywnego zwanego kartoteką wzorcową.Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, CPS (ang.) Digital Signal Processing, DSP – dziedzina nauki i techniki zajmująca się sygnałami cyfrowymi i metodami ich przetwarzania.

    Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy przez )

    Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)[ | edytuj kod]

    Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie. Innymi słowy: w punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.

    Technika (z gr. technē (τέχνη) – sztuka, rzemiosło, kunszt, umiejętność) – dziedzina działalności, polegająca na wytwarzaniu zjawisk i przedmiotów niewystępujących naturalnie w przyrodzie. Słowo technika oznacza też same urządzenia techniczne. Pojęcie techniki jest często mylone z technologią, czyli wiedzą o wytwarzaniu, z użyciem środków technicznych lub przy ich wykorzystaniu.Fizyka (z stgr. φύσις physis – "natura") – nauka przyrodnicza zajmująca się badaniem właściwości i przemian materii i energii oraz oddziaływań między nimi. Do opisu zjawisk fizycznych używają wielkości fizycznych, wyrażonych za pomocą pojęć matematycznych, takich jak liczba, wektor, tensor. Tworząc hipotezy i teorie fizyki, budują relacje pomiędzy wielkościami fizycznymi.

    Dowód[ | edytuj kod]

    Niech będzie punktem, w którym funkcja f(x) jest różniczkowalna; mamy:

    Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób:

    Stosując do tego wyrażenia lemat II, otrzymujemy następujący wzór:

    Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie 2T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:

    Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc mamy:

    Mnożąc powyższą równość przez i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu, otrzymujemy:

    Rozważmy następującą granicę:

    przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie

    Możemy określić następującą funkcję:

    Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki, wzór (2) możemy zapisać w postaci:

    Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc:

    czyli:

    q. e. d.

    Przypisy[ | edytuj kod]

    1. Transformata Fouriera – prezentacja. [dostęp 2009-12-22].


    Podstrony: [1] 2 [3]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.121 sek.