• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Szereg Fouriera



    Podstrony: 1 [2] [3]
    Przeczytaj także...
    Jean Baptiste Joseph Fourier (ur. 21 marca 1768 w Auxerre, zm. 16 maja 1830 r. w Paryżu) – francuski matematyk i fizyk. Równanie przewodnictwa cieplnego – równanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:

    Szereg Fourieraszereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań oraz przetwarzaniu sygnałów obrazu (kompresja jpeg) i dźwięku (kompresja mp3).

    Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z EleiMP3 ((ang.) MPEG-1/MPEG-2 Audio Layer 3) – algorytm kompresji stratnej dźwięku, przetworzonego uprzednio na sygnał cyfrowy. Popularnie zwany formatem MP3 lub standardem MP3. Jest zdefiniowany przez IETF w dokumencie RFC 5219.

    Definicja[ | edytuj kod]

    Niech dana będzie funkcja okresowa o okresie bezwzględnie całkowalna w przedziale

    Lemat – w matematyce twierdzenie pomocnicze, którego głównym zastosowaniem jest uproszczenie dowodów innych, bardziej istotnych twierdzeń. Formalnie jednak każdy lemat jest pełnoprawnym twierdzeniem, a zaklasyfikowanie pewnego twierdzenia jako lematu wynika jedynie ze sposobu jego użycia w innym, obszerniejszym kontekście. Często zdarzało się, że lemat zyskiwał sobie o wiele większe znaczenie od pierwotnego, znajdując szersze zastosowanie i stając się w zasadzie samodzielnym twierdzeniem, którego nazwa wynika z uwarunkowań historycznych.Szereg funkcyjny – szereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

    Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:

    o współczynnikach określonych następującymi wzorami:

    Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera. Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera.

    W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie ( oznacza okres funkcji) nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej. Przy zastosowaniu takiego oznaczenia powyższe wzory przyjmują postać:

    Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.
    Aproksymacja fali prostokątnej szeregiem Fouriera
    Aproksymacja fali piłokształtnej szeregiem Fouriera
    Aproksymacja fali trójkątnej szeregiem Fouriera


    Podstrony: 1 [2] [3]




    Warto wiedzieć że... beta

    Warunki Dirichleta – warunki wystarczające aby funkcja okresowa posiadała reprezentację w postaci szeregu Fouriera oraz posiadała transformatę Fouriera. Warunki te były sformułowane przez niemieckiego matematyka Piotra Gustawa Dirichleta.
    JPEG (wym. dżej-peg lub jot-peg) – metoda kompresji statycznych obrazów rastrowych, przeznaczony głównie do stratnego zapisu obrazów naturalnych (pejzaży, portretów itp.), charakteryzujących się płynnymi przejściami barw oraz brakiem lub małą ilością ostrych krawędzi i drobnych detali.
    Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.
    Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, CPS (ang.) Digital Signal Processing, DSP – dziedzina nauki i techniki zajmująca się sygnałami cyfrowymi i metodami ich przetwarzania.
    Technika (z gr. technē (τέχνη) – sztuka, rzemiosło, kunszt, umiejętność) – dziedzina działalności, polegająca na wytwarzaniu zjawisk i przedmiotów niewystępujących naturalnie w przyrodzie. Słowo technika oznacza też same urządzenia techniczne. Pojęcie techniki jest często mylone z technologią, czyli wiedzą o wytwarzaniu, z użyciem środków technicznych lub przy ich wykorzystaniu.
    Fizyka (z stgr. φύσις physis – "natura") – nauka przyrodnicza zajmująca się badaniem właściwości i przemian materii i energii oraz oddziaływań między nimi. Do opisu zjawisk fizycznych używają wielkości fizycznych, wyrażonych za pomocą pojęć matematycznych, takich jak liczba, wektor, tensor. Tworząc hipotezy i teorie fizyki, budują relacje pomiędzy wielkościami fizycznymi.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.025 sek.