• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Struktura matematyczna

    Przeczytaj także...
    Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.
    Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

    Struktura matematyczna – pojęcie fundamentalne dla matematyki, definiowane jednak w rozmaity sposób, zależnie od teorii i kontekstu. Najczęściej mówi się o strukturze na danym zbiorze X, który zwany jest nośnikiem lub podkładem tej struktury. Rozpatruje się też struktury matematyczne w ramach teorii modeli.

    Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

    Wyróżnia się trzy główne typy struktur matematycznych.

  • Struktury algebraiczne, zawierające tylko symbole funkcji i stałych (bez relacji innych niż funkcje), rozpatrywane też w ramach algebry uniwersalnej. Struktury takie zwykle rozumie się jako abstrakcyjne działania na danym zbiorze. Można to objaśnić na przykładzie struktury grupy na zbiorze G. Tutaj strukturą jest działanie grupowe interpretowane jako podzbiór zbioru spełniające aksjomaty grupy. Zbiór G jest nośnikiem tej struktury, ale sam ten zbiór nie jest grupą; grupą jest ten zbiór wraz z działaniem grupowym. Można też jako strukturę grupy na zbiorze G przyjąć uporządkowaną trójkę: dwuargumentowe działanie grupowe, jednoargumentowe działanie brania elementu odwrotnego oraz element neutralny e, traktowany jako działanie zeroargumentowe, czyli jako funkcja stała ze zbioru jednoelementowego przyporządkowująca jedynemu elementowi element e. Ważną klasę struktur algebraicznych stanowią te, które są zdefiniowane równościowo, tzn. za pomocą skończonej lub nieskończonej liczby aksjomatów mających postać równości, bez kwantyfikatora szczegółowego . Strukturami algebraicznymi równościowo definiowalnymi są m.in.: struktura grupy (bierze się wtedy nie jedno działanie, lecz wymienione wyżej trzy, a aksjomaty zapisuje się w postaci równości), struktura grupy abelowej, struktura ciała, struktura pierścienia, struktura kraty.
  • Struktury porządkowe, tworzone przez relacje uporządkowania, takie jak częściowy porządek. Jeśli jest zbiorem częściowo uporządkowanym, to relacja (jako podzbiór zbioru ) jest strukturą, a X jest nośnikiem tej struktury. Struktura kraty może być również uważana za strukturę porządkową w której każda para x,y ma kres dolny inf(x,y) i kres górny sup(x,y).
  • Struktury topologiczne, których typowym przykładem jest przestrzeń topologiczna, tzn. zbiór X, na których strukturą jest topologia określona jako rodzina zbiorów otwartych w X. Do struktur topologicznych należy też struktura przestrzeni jednostajnej.
  • Struktury mieszane. Są one dwojakiego rodzaju. 1) Struktury będące połączeniem co najmniej dwóch z powyższych rodzajów struktur, np. grupa topologiczna, ciało uporządkowane. Istotne tu jest to, że wszystkie elementy danej struktury na zbiorze X są utworzone z elementów tego zbioru (a także z jego podzbiorów itd.) z użyciem skończonej lub nieskończonej liczby konstrukcji w języku teorii mnogości. 2) Struktury, w których występują elementy nie dające się utworzyć w taki sposób, tzn. elementy spoza uniwersum generowanego przez X. Przykładami są tu: struktura przestrzeni metrycznej na X, w której pojawia się zbiór liczb rzeczywistych struktura przestrzeni liniowej nad ciałem struktura przestrzeni liniowo-topologicznej, struktura modułu nad pierścieniem R, struktura algebry nad ciałem K.
  • Rygorystyczną definicję struktury, rodzaju struktury i izomorfizmu struktur podał Bourbaki. Definicja ta jednak, zawiła i długa (łącznie kilka stron), okazała się nieprzydatna i sam Bourbaki nie korzysta z niej później w dalszej części swego dzieła. Stosując tę definicję, nie można np. w ogólny sposób rozstrzygnąć, czy dwie różne definicje dają tę samą w istocie strukturę, np. czy definicja topologii na zbiorze X jako rodziny zbiorów otwartych spełniających zwykłe aksjomaty daje w istocie tę samą strukturę co operacja domknięcia Kuratowskiego (równoważności tej dowodzi się w kursie topologii, ale nie widać, jak miałaby to wynikać z analizy samego typu definicji tych struktur).

    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.Ciało uporządkowane – ciało K, w którym wyróżniony jest zbiór D elementów dodatnich o następujących własnościach:

    Uwagi[ | edytuj kod]

    1. Świadczy o tym m.in. fakt, że każda z Wikipedii: angielska, francuska i niemiecka inaczej ujmuje kwestię, czym jest struktura w matematyce.
    2. Rozpatruje się też działania n-arne i nieskończone zbiory takich działań na G, np. zbiór wszystkich możliwych złożeń powyższych trzech działań na grupie.
    3. Poglądowe omówienie definicji Bourbakiego daje Z. Semadeni, Struktury w sensie Bourbakiego i kategorie, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, seria I. Prace Matematyczne” 10, s. 37–50, 1966.

    Przypisy[ | edytuj kod]

    1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 63. ISBN 83-01-06260-6., rozdz. I, § 5.
    2. Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968; oraz § 5.5 w książce: Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
    3. Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975., rozdział VIII.
    4. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Livre I (Théorie des ensembles), Chapitre 4 (Structures), Act. Sci. Ind. 1258, Paris 1957 (są też przekłady: angielski i rosyjski).

    Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Z. Semadeni, Struktury w sensie Bourbakiego i kategorie, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, seria I. Prace Matematyczne” 10, s. 37–50, 1966.
  • P. van Hiele, Structure and Insight, Orlando et al, Academic Press, 1986. ​ISBN 0-12-714161-8​.
  • Ryszard Engelking, prof. (ur. 1935 w Sosnowcu) – polski matematyk specjalizujący się w topologii, szczególnie w teorii wymiaru. Autor wielu książek i publikacji z tego zakresu, w tym Topologii ogólnej (przetłumaczonej na angielski), która jest klasyczną pozycją literatury przedmiotu. Ponadto tłumacz literatury francuskiej.Teoria mnogości lub inaczej: teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Kraty (ang. lattice) są strukturami matematycznymi, które można opisywać albo algebraicznie, albo w sensie częściowych porządków:
    Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.
    Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.
    Algebra uniwersalna – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych, nazywany również w niektórych publikacjach algebrą ogólną. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych. Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną), zbioru A wyposażonego w pewien zbiór Ω {displaystyle Omega } operacji n-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą.
    Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
    Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.
    Działanie zeroargumentowe (element wyróżniony) – w algebrze pojęcie służące do zapisu stałej jako działania algebraicznego. Ma ono swoje zastosowanie prawie wyłącznie jako element opisu pewnej algebry ogólnej: krotki zawierającej jako pierwszy element swój nośnik (zbiór elementów), a następnie działania.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.042 sek.