Struktura matematyczna

Struktura matematyczna – pojęcie fundamentalne dla matematyki, definiowane jednak w rozmaity sposób, zależnie od teorii i kontekstu. Najczęściej mówi się o strukturze na danym zbiorze X, który zwany jest nośnikiem lub podkładem tej struktury. Rozpatruje się też struktury matematyczne w ramach teorii modeli.

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

Wyróżnia się trzy główne typy struktur matematycznych.

Struktury algebraiczne, zawierające tylko symbole funkcji i stałych (bez relacji innych niż funkcje), rozpatrywane też w ramach algebry uniwersalnej. Struktury takie zwykle rozumie się jako abstrakcyjne działania na danym zbiorze. Można to objaśnić na przykładzie struktury grupy na zbiorze G. Tutaj strukturą jest działanie grupowe G × G → G , {\displaystyle G\times G\to G,} $G\times G\to G,$ interpretowane jako podzbiór zbioru ( G × G ) × G , {\displaystyle (G\times G)\times G,} $(G\times G)\times G,$ spełniające aksjomaty grupy. Zbiór G jest nośnikiem tej struktury, ale sam ten zbiór nie jest grupą; grupą jest ten zbiór wraz z działaniem grupowym. Można też jako strukturę grupy na zbiorze G przyjąć uporządkowaną trójkę: dwuargumentowe działanie grupowe, jednoargumentowe działanie G → G {\displaystyle G\to G} $G\to G$ brania elementu odwrotnego x → x − 1 {\displaystyle x\to x^{-1}} $x\to x^{-1}$ oraz element neutralny e, traktowany jako działanie zeroargumentowe, czyli jako funkcja stała { ∅ } → G {\displaystyle \{\emptyset \}\to G} $\{\emptyset \}\to G$ ze zbioru jednoelementowego { ∅ } , {\displaystyle \{\emptyset \},} $\{\emptyset \},$ przyporządkowująca jedynemu elementowi ∅ {\displaystyle \emptyset } $\emptyset$ element e. Ważną klasę struktur algebraicznych stanowią te, które są zdefiniowane równościowo, tzn. za pomocą skończonej lub nieskończonej liczby aksjomatów mających postać równości, bez kwantyfikatora szczegółowego ∃ {\displaystyle \exists } $\exists$. Strukturami algebraicznymi równościowo definiowalnymi są m.in.: struktura grupy (bierze się wtedy nie jedno działanie, lecz wymienione wyżej trzy, a aksjomaty zapisuje się w postaci równości), struktura grupy abelowej, struktura ciała, struktura pierścienia, struktura kraty.

Struktury porządkowe, tworzone przez relacje uporządkowania, takie jak częściowy porządek. Jeśli ( X , ⩽ ) {\displaystyle (X,\leqslant )} $(X,\leqslant )$ jest zbiorem częściowo uporządkowanym, to relacja ⩽ {\displaystyle \leqslant } $\leqslant$ (jako podzbiór zbioru X × X {\displaystyle X\times X} $X\times X$) jest strukturą, a X jest nośnikiem tej struktury. Struktura kraty może być również uważana za strukturę porządkową ( X , ⩽ ) , {\displaystyle (X,\leqslant ),} $(X,\leqslant ),$ w której każda para x,y ma kres dolny inf(x,y) i kres górny sup(x,y).

Struktury topologiczne, których typowym przykładem jest przestrzeń topologiczna, tzn. zbiór X, na których strukturą jest topologia określona jako rodzina zbiorów otwartych w X. Do struktur topologicznych należy też struktura przestrzeni jednostajnej.

Struktury mieszane. Są one dwojakiego rodzaju. 1) Struktury będące połączeniem co najmniej dwóch z powyższych rodzajów struktur, np. grupa topologiczna, ciało uporządkowane. Istotne tu jest to, że wszystkie elementy danej struktury na zbiorze X są utworzone z elementów tego zbioru (a także z jego podzbiorów itd.) z użyciem skończonej lub nieskończonej liczby konstrukcji w języku teorii mnogości. 2) Struktury, w których występują elementy nie dające się utworzyć w taki sposób, tzn. elementy spoza uniwersum generowanego przez X. Przykładami są tu: struktura przestrzeni metrycznej na X, w której pojawia się zbiór liczb rzeczywistych R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} $\mathbb {R} ,$ struktura przestrzeni liniowej nad ciałem C , {\displaystyle \mathbb {C} ,} $\mathbb {C} ,$ struktura przestrzeni liniowo-topologicznej, struktura modułu nad pierścieniem R, struktura algebry nad ciałem K.

Rygorystyczną definicję struktury, rodzaju struktury i izomorfizmu struktur podał Bourbaki. Definicja ta jednak, zawiła i długa (łącznie kilka stron), okazała się nieprzydatna i sam Bourbaki nie korzysta z niej później w dalszej części swego dzieła. Stosując tę definicję, nie można np. w ogólny sposób rozstrzygnąć, czy dwie różne definicje dają tę samą w istocie strukturę, np. czy definicja topologii na zbiorze X jako rodziny zbiorów otwartych spełniających zwykłe aksjomaty daje w istocie tę samą strukturę co operacja domknięcia Kuratowskiego (równoważności tej dowodzi się w kursie topologii, ale nie widać, jak miałaby to wynikać z analizy samego typu definicji tych struktur).

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.Ciało uporządkowane – ciało K, w którym wyróżniony jest zbiór D elementów dodatnich o następujących własnościach:

Bibliografia

Z. Semadeni, Struktury w sensie Bourbakiego i kategorie, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, seria I. Prace Matematyczne” 10, s. 37–50, 1966.

P. van Hiele, Structure and Insight, Orlando et al, Academic Press, 1986. ISBN 0-12-714161-8.