• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Sinusoida



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Szereg czasowy to realizacja procesu stochastycznego, którego dziedziną jest czas; to ciąg informacji uporządkowanych w czasie, których pomiary wykonywane są z dokładnym krokiem czasowym. Jeżeli krok nie będzie regularny wtedy mamy do czynienia z szeregiem czasowym rozmytym.Niwelacja trygonometryczna – jeden z rodzajów niwelacji. Pomiar różnic wysokości punktów wykonywany na podstawie pomierzonych odległości poziomych oraz kątów pionowych.

    Funkcje trygonometrycznefunkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych, będące przedmiotem badań trygonometrii.

    Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

    Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.

    Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.Język rosyjski (ros. русский язык, russkij jazyk; dawniej też: język wielkoruski) – język należący do grupy języków wschodniosłowiańskich, posługuje się nim jako pierwszym językiem około 145 mln ludzi, ogółem (według różnych źródeł) 250-300 mln. Jest językiem urzędowym w Rosji, Kirgistanie i na Białorusi, natomiast w Kazachstanie jest językiem oficjalnym oraz jest jednym z pięciu języków oficjalnych a jednocześnie jednym z sześciu języków konferencyjnych Organizacji Narodów Zjednoczonych. Posługuje się pismem zwanym grażdanką, graficzną odmianą cyrylicy powstałą na skutek jej upraszczania.

    Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, lub ściślej: goniometria.

    Spis treści

  • 1 Definicje
  • 1.1 Definicja z elementów trójkąta prostokątnego
  • 1.2 Definicja za pomocą kąta skierowanego
  • 1.3 Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw
  • 1.4 Definicja za pomocą szeregu Taylora
  • 1.5 Definicja za pomocą równań funkcyjnych
  • 1.6 Definicja za pomocą równań różniczkowych
  • 1.7 Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych
  • 1.8 Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych
  • 1.9 Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji
  • 2 Własności
  • 2.1 Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej
  • 2.1.1 Przebieg zmienności funkcji
  • 2.1.2 Wykresy
  • 2.1.3 Wartości dla typowych kątów
  • 2.1.4 Wzory redukcyjne
  • 2.1.5 Podstawowe tożsamości trygonometryczne
  • 2.1.6 Pochodne funkcji trygonometrycznych
  • 2.1.7 Całki funkcji trygonometrycznych
  • 2.2 Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej
  • 2.2.1 Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej
  • 2.2.2 Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty
  • 2.2.3 Wzór Eulera
  • 2.2.4 Wykresy
  • 2.3 Związki z innymi funkcjami
  • 2.3.1 Funkcje odwrotne do trygonometrycznych
  • 2.3.2 Harmoniki
  • 2.3.3 Funkcje hiperboliczne
  • 3 Niektóre zastosowania
  • 3.1 Geometria
  • 3.1.1 Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów
  • 3.1.2 Wzory na pole trójkąta
  • 3.1.3 Iloczyny wektorów
  • 3.1.4 Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe
  • 3.1.5 Geometria sferyczna
  • 3.2 Analiza matematyczna
  • 3.2.1 Szereg Fouriera
  • 3.2.2 Funkcja Weierstrassa
  • 3.2.3 Funkcja Dirichleta
  • 3.3 Teoria liczb
  • 3.4 Zastosowania poza matematyką
  • 4 Historia
  • 5 Polskie nazwy
  • 6 Oznaczenia funkcji trygonometrycznych
  • 7 Zobacz też
  • 8 Przypisy
  • 9 Bibliografia
  • Język litewski (lit. lietuvių kalba) - język z zespołu wschodniobałtyckiego języków bałtyckich, wchodzących w skład języków bałtosłowiańskich, którym posługuje się ok. 5 mln osób. Oprócz Litwy językiem tym posługują się Litwini zamieszkujący na zachodzie Białorusi i północno-wschodniej Polsce (Suwalszczyzna), a także w Rosji, Łotwie oraz emigranci w USA, Kanadzie, Australii, Niemczech. Jest językiem urzędowym Litwy.Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).

    Definicje[]

    Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

    Definicja z elementów trójkąta prostokątnego[]

    Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego przy kącie wewnętrznym danej miary (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):

    Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji
  • sinus – oznaczany w Polsce – stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta (na rysunku ) i długości przeciwprostokątnej ;
  • cosinus (lub kosinus) – oznaczany – stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta i przeciwprostokątnej ;
  • tangens – oznaczany w Polsce – stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta i długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta;
  • cotangens (kotangens) – oznaczany w Polsce – stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta i długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta;
  • secans (sekans) – oznaczany w Polsce – stosunek długości przeciwprostokątnej i długości przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego ; odwrotność cosinusa;
  • cosecans (kosekans) – oznaczany w Polsce lub – stosunek długości przeciwprostokątnej i długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ostrego ; odwrotność sinusa.
  • Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki:

    Robotyka – interdyscyplinarna dziedzina wiedzy działająca na styku mechaniki, automatyki, elektroniki, sensoryki, cybernetyki oraz informatyki. Domeną robotyki są również rozważania nad sztuczną inteligencją – w niektórych środowiskach robotyka jest wręcz z nią utożsamiana.Okrąg jednostkowy – okrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1. Często, szczególnie w trygonometrii, „okrąg jednostkowy” oznacza okrąg o promieniu 1 i środku w początku, tzn. punkcie ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0),} , układu współrzędnych kartezjańskich płaszczyzny euklidesowej. Często oznacza się go symbolem S 1 {displaystyle mathrm {S} ^{1}} ; jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa.

    Dla miar kątów większych od 90° oraz dla ujemnych miar kątów skierowanych powyższą definicję można uogólnić, przyjmując ujemną długość odpowiednich odcinków.

    Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).Język indonezyjski (Bahasa Indonesia) – od 1949 język urzędowy w Indonezji. Języka indonezyjskiego używa około 163 mln. osób, z czego dla 23 mln. jest to język ojczysty.

    Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak:

  • sinus versus:
  • haversin (ang. half of the versine):
  • cosinus versus:
  • exsecans:
  • Obecnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi

    Iloczyn nieskończony - pojęcie analogiczne szeregowi; iloczyn nieskończenie wielu liczb (rzeczywistych lub zespolonych).Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.

    Definicja za pomocą kąta skierowanego[]

    Definicja na ramieniu kąta

    Jeżeli kąt skierowany ustawi się tak, aby jego wierzchołek znalazł się w początku prostokątnego układu współrzędnych , pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią półosią układu, a jego drugie ramię jest dowolną półprostą leżącą w płaszczyźnie układu, wychodzącą z punktu oraz zawierającą pewien punkt różny od , to funkcje trygonometryczne miary kąta skierowanego określa się wzorami:

    Półprosta - figura geometryczna składająca się z punktów prostej leżących po jednej stronie punktu prostej, który jest nazywany początkiem półprostej. Bardzo często do tak określonej półprostej dołącza się początek półprostej i mówimy o półprostej domkniętej (z początkiem). W przeciwnym wypadku mówimy o półprostej otwartej (bez początku) .Mnemotechnika, mnemonika (gr. mneme - pamięć) - ogólna nazwa sposobów ułatwiających zapamiętanie, przechowywanie i przypominanie sobie informacji.

    gdzie .

    Chaos deterministyczny - w matematyce i fizyce, własność równań lub układów równań, polegająca na dużej wrażliwości rozwiązań na dowolnie małe zaburzenie parametrów. Dotyczy to zwykle nieliniowych równań różniczkowych i różnicowych, opisujących układy dynamiczne.Wahadło sprężynowe – ciało zawieszone na sprężynie, które może w polu grawitacyjnym wykonywać pionowe drgania swobodne.

    Stosunki te nie zależą od położenia punktu na ramieniu kąta (wynika to wprost z własności podobieństwa trójkątów).

    Definicja na ]

    Definicja na okręgu jednostkowym

    Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków:

    Kątem przecięcia się dwóch krzywych gładkich ( f(x) i g(x) ) nazywamy kąt ostry przecięcia się stycznych do danych krzywych w punkcie x0. Tangens tego kąta dla wykresów dwóch funkcji gładkich możemy obliczyć ze wzoru:Kompresja danych (ang. data compression) – polega na zmianie sposobu zapisu informacji tak, aby zmniejszyć redundancję i tym samym objętość zbioru. Innymi słowy chodzi o wyrażenie tego samego zestawu informacji, lecz za pomocą mniejszej liczby bitów.

    Dla miar kątów spoza przedziału konieczne jest uogólnienie i przyjęcie ujemnej miary niektórych odcinków, podobnie jak w przypadku definicji na trójkącie prostokątnym.

    Pierścień nilpotentny – w algebrze pierścień o tej własności, że każdy jego element przemnożony przez siebie pewną skończoną liczbę razy daje zero pierścienia. Formalnie, pierścień P nazywany jest nilpotentnym, gdy dla każdego a∈P istnieje liczba naturalna n taka, że a=0.Krzywa Lissajous (wym. lisaʒu) bądź Bowditcha – w matematyce krzywa parametryczna opisująca drgania harmoniczne, dana wzorem

    Jeśli chodzi o definicję samego sinusa i cosinusa, to nie ma takiego problemu w przypadku, gdy zamiast na długości odcinków patrzeć będziemy na współrzędne punktu A, wówczas:

    Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku można przyjąć pole wycinka – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do .

    Astronawigacja – oznaczanie pozycji statku lub samolotu na podstawie pomiarów położenia niektórych ciał niebieskich.Statystyka (niem. Statistik, „badanie faktów i osób publicznych”, z łac. [now.] statisticus, „polityczny, dot. polityki”, od status, „państwo, stan”) – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.

    Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

  • Sinus, czyli połowa długości cięciwy , był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva („połowa cięciwy”), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym „zatokę” prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka.
  • Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny, gdyż odcinek jest styczny do okręgu.
  • Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka , odcinanego przez styczną (tangens).
  • Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego . Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek „ko-” był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje.
  • Definicja za pomocą szeregu Taylora[]

     Osobny artykuł: wzór Taylora.
    Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

    Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

    Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.Diagnostyka obrazowa (obrazowanie medyczne, obrazowanie radiologiczne) – dział diagnostyki medycznej zajmujący się obrazowaniem zmian fizjologicznych oraz patologicznych zachodzących w ciele ludzkim za pomocą różnego rodzaju oddziaływań fizycznych. Znajduje się ona na pograniczu radiologii oraz medycyny nuklearnej.

    Zachodzą równości: gdzie to liczby Bernoulliego gdzie to liczby Eulera

    Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.

    Nauka ścisła - nauka, w której ściśle i dokładnie opisuje oraz modeluje się zjawiska, a także weryfikuje się hipotezy za pomocą doświadczeń i dowodów matematycznych. Do opracowywania danych doświadczalnych stosowana jest statystyka. Nauki ścisłe to nauki matematyczne i nauki przyrodnicze.Nawigacja – dział wiedzy zajmujący się określaniem bieżącego położenia oraz optymalnej drogi do celu dla ludzi, statków, pojazdów lądowych i innych przemieszczających się obiektów.
     Zapoznaj się również z: twierdzenie Stone’a-Weierstrassa.

    Definicja za pomocą równań funkcyjnych[]

    Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych taka, że dla każdego :

    Szereg Fouriera – w matematyce szereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów (kompresja jpeg), a nawet w muzyce (kompresja mp3).Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.

    Tymi funkcjami są:

    Elektrotechnika (inżynieria elektryczna) - dziedzina techniki i nauki, która zajmuje się zagadnieniami związanymi z wytwarzaniem, przetwarzaniem (przekształcaniem), przesyłaniem, rozdziałem, magazynowaniem i użytkowaniem energii elektrycznej.Teoria muzyki – ogólne zasady i zagadnienia związane z muzyką (na ogół poważną) wyrażone w sposób czysto teoretyczny. W skład teorii muzyki wchodzi m.in. notacja muzyczna (zapis muzyczny), elementy dzieła muzycznego - skróty i oznaczenia, praktyka wykonawcza, harmonia, kontrapunkt.

    Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować również jako jedyne funkcje oraz spełniające poniższe trzy warunki:

    Paul Du Bois-Reymond (ur. 2 grudnia 1831 w Berlinie, zm. 7 kwietnia 1889 w Fryburgu) – niemiecki matematyk, profesor w Fryburgu, Tybindzie i Berlinie. Zajmował się głównie równaniami cząstkowymi, równaniami całkowymi, rachunkiem wariacyjnym i szeregami Fouriera.Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).

    Definicja za pomocą równań różniczkowych[]

    Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

    Ultrasonografia, USG – nieinwazyjna, atraumatyczna metoda diagnostyczna, pozwalająca na uzyskanie obrazu przekroju badanego obiektu. Metoda ta wykorzystuje zjawisko rozchodzenia się, rozpraszania oraz odbicia fali ultradźwiękowej na granicy ośrodków, przy założeniu stałej prędkości fali w różnych tkankach równej 1540 m/s. W ultrasonografii medycznej wykorzystywane są częstotliwości z zakresu ok. 2-50 MHz. Fala ultradźwiękowa najczęściej generowana jest oraz przetwarzana w impulsy elektryczne przy użyciu zjawiska piezoelektrycznego (opisanego przez braci Curie na przełomie lat 1880-1881). Pierwsze doświadczenia nad wykorzystaniem ultrasonografii w diagnostyce prowadzone były w trakcie i zaraz po II wojnie światowej, a ultrasonografy wprowadzone zostały do szpitali na przełomie lat 60. i 70. XX wieku (jednym z pierwszych klinicznych zastosowań była diagnostyka płodu)Ekonomia – nauka społeczna analizująca oraz opisująca produkcję, dystrybucję oraz konsumpcję dóbr. Słowo „ekonomia” wywodzi się z języka greckiego i tłumaczy się jako oikos, co znaczy dom i nomos, czyli prawo, reguła. Starożytni Grecy stosowali tę definicję do określania efektywnych zasad funkcjonowania gospodarstwa domowego.

    które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

    Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki:

    Kryptologia (z gr. κρυπτός – kryptos – "ukryty" i λόγος – logos – "słowo") – dziedzina wiedzy o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem. Współcześnie kryptologia jest uznawana za gałąź zarówno matematyki, jak i informatyki; ponadto jest blisko związana z teorią informacji, inżynierią oraz bezpieczeństwem komputerowym.Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że n {displaystyle n} -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, jeżeli n {displaystyle n} jest liczbą postaci 2 k ⋅ p 1 ⋅ p 2 ⋯ ⋅ p s , {displaystyle 2^{k}cdot p_{1}cdot p_{2}dots cdot p_{s},} gdzie p 1 ,   p 2 ,   … p s ,   {displaystyle p_{1}, p_{2}, dots p_{s}, } są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: F 0 = 3 {displaystyle F_{0}=3} , F 1 = 5 {displaystyle F_{1}=5} , F 2 = 17 {displaystyle F_{2}=17} , F 3 = 257 {displaystyle F_{3}=257} , F 4 = 65537 {displaystyle F_{4}=65537} i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

    Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego

    Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako B k {displaystyle ,{B_{k}}} , gdzie k {displaystyle ,{k}} jest numerem porządkowym liczby, k = 0 , 1 , 2... , {displaystyle k=0,1,2...,} wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: 1 10 + 2 10 + 3 10 + . . . + 1000 10 {displaystyle 1^{10}+2^{10}+3^{10}+...+1000^{10}} "w pół kwadransa". Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

    Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych[]

    Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą iloczynów nieskończonych:

    Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.Wykres funkcji – potocznie graficzne przedstawienie funkcji. Ogólniej, w matematyce wykresem funkcji f : X → Y {displaystyle f:X o Y} , gdzie X {displaystyle X} i Y {displaystyle Y} są dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiór S ⊂ X × Y {displaystyle Ssubset X imes Y} dany wzorem:

    Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych[]

    Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych:

    Rynek finansowy – miejsce, gdzie dokonuje się transakcji środkami pieniężnymi. Przedmiotem rynku finansowego są walory finansowe występujące w postaci zmaterializowanej lub zdematerializowanej.Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

    Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji[]

    Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki funkcji Bessela, funkcji Mathieu albo funkcji eliptycznych Jacobiego.

    Całkowy sinus hiperboliczny - funkcja specjalna zdefinowana jako całka stosunku sinusa hiperbolicznego do jego argumentu, tj. w sposób:Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Regiomontanus, właśc. Johannes Müller (ur. 6 czerwca 1436 w Unfinden koło Königsbergu w dzisiejszej Bawarii, zm. 6 lipca 1476 w Rzymie) – niemiecki matematyk, astronom i astrolog.
    Sinusoida zagęszczona albo warszawska – krzywa na płaszczyźnie stosowana czasem jako przykład w topologii. W zwykłym położeniu definiuje się ją jako zbiór będący sumą wykresu funkcji y = sin ⁡ 1 x , 0 < x ≤ 1 π {displaystyle y=sin { frac {1}{x}},0<xleq { frac {1}{pi }}} i odcinka { ( 0 , y ) : − 1 ≤ y ≤ 1 } {displaystyle {(0,y):-1leq yleq 1}} .
    Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:
    Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).
    Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca stan układu fizycznego (materii) jako jego zdolność do wykonania pracy.
    Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.
    Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

    Reklama