Funkcje trygonometryczne – funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych, będące przedmiotem badań trygonometrii.

Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, lub ściślej: goniometria.

Definicje[ | edytuj kod]

Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

Definicja z elementów trójkąta prostokątnego[ | edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):

Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji

sinus – oznaczany w Polsce jako sin {\displaystyle \sin } – stosunek długości przyprostokątnej a {\displaystyle a} leżącej naprzeciw kąta α {\displaystyle \alpha } i długości przeciwprostokątnej c ; {\displaystyle c;}

cosinus (lub kosinus) – oznaczany w Polsce jako cos {\displaystyle \cos } – stosunek długości przyprostokątnej b {\displaystyle b} przyległej do kąta α {\displaystyle \alpha } i przeciwprostokątnej c ; {\displaystyle c;}

tangens – oznaczany w Polsce jako tg {\displaystyle \operatorname {tg} } – stosunek długości przyprostokątnej a {\displaystyle a} leżącej naprzeciw kąta α {\displaystyle \alpha } i długości przyprostokątnej b {\displaystyle b} przyległej do tego kąta;

cotangens (kotangens) ( 1 tg ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{\operatorname {tg} }})} – oznaczany w Polsce jako ctg {\displaystyle \operatorname {ctg} } – stosunek długości przyprostokątnej b {\displaystyle b} przyległej do kąta α {\displaystyle \alpha } i długości przyprostokątnej a {\displaystyle a} leżącej naprzeciw tego kąta;

secans (sekans) ( 1 c o s ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{cos}})} – oznaczany w Polsce jako sec {\displaystyle \sec } – stosunek długości przeciwprostokątnej c {\displaystyle c} i długości przyprostokątnej b {\displaystyle b} przyległej do kąta α ; {\displaystyle \alpha ;} odwrotność cosinusa (nie mylić z funkcją odwrotną arccos {\displaystyle \arccos } );

cosecans (kosekans) ( 1 s i n ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{sin}})} – oznaczany w Polsce jako cosec {\displaystyle \operatorname {cosec} } – stosunek długości przeciwprostokątnej c {\displaystyle c} i długości przyprostokątnej a {\displaystyle a} leżącej naprzeciw kąta α ; {\displaystyle \alpha ;} odwrotność sinusa (nie mylić z funkcją odwrotną arcsin {\displaystyle \arcsin } ).

W innych krajach stosowane są inne nazwy funkcji trygonometrycznych.

Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki:

Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak:

versin ⁡ α = 1 − cos ⁡ α {\displaystyle \operatorname {versin} \alpha =1-\cos \alpha }

haversin ⁡ α = 1 2 versin ⁡ α {\displaystyle \operatorname {haversin} \alpha ={\tfrac {1}{2}}\operatorname {versin} \alpha }

covers ⁡ α = 1 − sin ⁡ α {\displaystyle \operatorname {covers} \alpha =1-\sin \alpha }

exsec ⁡ α = sec ⁡ α − 1 {\displaystyle \operatorname {exsec} \alpha =\sec \alpha -1}

Obecnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi.

Definicja na | edytuj kod]

Definicja na okręgu jednostkowym

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego θ {\displaystyle \theta } wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków:

sin ⁡ θ = | A C | {\displaystyle \sin \theta =|AC|}

cos ⁡ θ = | O C | {\displaystyle \cos \theta =|OC|}

tg ⁡ θ = | A E | {\displaystyle \operatorname {tg} \theta =|AE|}

ctg ⁡ θ = | A F | {\displaystyle \operatorname {ctg} \theta =|AF|}

sec ⁡ θ = | O E | {\displaystyle \sec \theta =|OE|}

cosec ⁡ θ = | O F | {\displaystyle \operatorname {cosec} \theta =|OF|}

Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku D A {\displaystyle DA} można przyjąć pole wycinka O B D A {\displaystyle OBDA} – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do O B D A {\displaystyle OBDA} .

Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

Sinus, czyli połowa długości cięciwy A B , {\displaystyle AB,} był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva („połowa cięciwy”), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym „zatokę” prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka.

Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny, gdyż odcinek A E {\displaystyle AE} jest styczny do okręgu.

Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka O E , {\displaystyle OE,} odcinanego przez styczną (tangens).

Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego ∠ A O F . {\displaystyle \angle AOF.} Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek „ko-” był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje.

Definicja za pomocą szeregu Taylora[ | edytuj kod]

 Osobny artykuł: wzór Taylora.

Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości: sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! , tg ⁡ x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ = = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 , | x | < π 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\tfrac {x^{3}}{3!}}+{\tfrac {x^{5}}{5!}}-{\tfrac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\tfrac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\\\cos x&=1-{\tfrac {x^{2}}{2!}}+{\tfrac {x^{4}}{4!}}-{\tfrac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\tfrac {x^{2n}}{(2n)!}},\\\operatorname {tg} x&=x+{\tfrac {x^{3}}{3}}+{\tfrac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad |x|<{\tfrac {\pi }{2}},\end{aligned}}}

gdzie B n {\displaystyle B_{n}} to liczby Bernoulliego,

ctg ⁡ x = 1 x − x 3 − x 3 45 − 2 x 5 945 − ⋯ = = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π , sec ⁡ x = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + 61 x 6 720 + ⋯ = = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n , | x | < π 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ctg} x&={\tfrac {1}{x}}-{\tfrac {x}{3}}-{\tfrac {x^{3}}{45}}-{\tfrac {2x^{5}}{945}}-\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi ,\\\sec x&=1+{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {5x^{4}}{24}}+{\tfrac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n},\quad |x|<{\tfrac {\pi }{2}},\end{aligned}}}

gdzie E n {\displaystyle E_{n}} to liczby Eulera,

cosec ⁡ x = 1 x + x 6 + 7 x 3 360 + 31 x 5 15120 + ⋯ = = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cosec} x&={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {x}{6}}+{\tfrac {7x^{3}}{360}}+{\tfrac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}}

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.

 Zapoznaj się również z: twierdzenie Stone’a-Weierstrassa.

Definicja za pomocą równań funkcyjnych[ | edytuj kod]

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych ( s , c ) {\displaystyle (s,c)} taka, że dla każdego x , y ∈ R : {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} {:}}

{ s ( x ) 2 + c ( x ) 2 = 1 s ( x + y ) = s ( x ) c ( y ) + c ( x ) s ( y ) c ( x + y ) = c ( x ) c ( y ) − s ( x ) s ( y ) 0 < x c ( x ) < s ( x ) < x   d l a   0 < x < 1 {\displaystyle {\begin{cases}s(x)^{2}+c(x)^{2}=1\\[2pt]s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)\\[2pt]c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y)\\[2pt]0<xc(x)<s(x)<x\ \mathrm {dla} \ 0<x<1\end{cases}}}

Tymi funkcjami są:

s ( x ) = sin ⁡ x , c ( x ) = cos ⁡ x . {\displaystyle s(x)=\sin x,\quad c(x)=\cos x.}

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować również jako jedyne funkcje s ( x ) {\displaystyle s(x)} oraz c ( x ) {\displaystyle c(x)} spełniające poniższe trzy warunki:

{ s ( x 1 − x 2 ) = s ( x 1 ) c ( x 2 ) − c ( x 1 ) s ( x 2 ) c ( x 1 − x 2 ) = c ( x 1 ) c ( x 2 ) + s ( x 1 ) s ( x 2 ) lim x → 0 s ( x ) x = 1 {\displaystyle {\begin{cases}s(x_{1}-x_{2})=s(x_{1})c(x_{2})-c(x_{1})s(x_{2})\\[2pt]c(x_{1}-x_{2})=c(x_{1})c(x_{2})+s(x_{1})s(x_{2})\\[2pt]\lim _{x\to 0}{\tfrac {s(x)}{x}}=1\end{cases}}}

Definicja za pomocą równań różniczkowych[ | edytuj kod]

Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

y ″ = − y , {\displaystyle y''=-y,}

które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki: { y ( 0 ) = 0 y ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle {\begin{cases}y(0)=0\\[2pt]y\,'(0)=1\end{cases}}}

Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego

{ y ( 0 ) = 1 y ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\begin{cases}y(0)=1\\[2pt]y\,'(0)=0\end{cases}}}

Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych[ | edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą iloczynów nieskończonych:

sin ⁡ x = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 n 2 ) , {\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\tfrac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),}

cos ⁡ x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 ( n − 1 2 ) 2 ) . {\displaystyle \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\tfrac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right).}

Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych[ | edytuj kod]

Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych:

sin ⁡ x = x 1 + x 2 ( 2 ⋅ 3 − x 2 ) + 2 ⋅ 3 x 2 ( 4 ⋅ 5 − x 2 ) + 4 ⋅ 5 x 2 ( 6 ⋅ 7 − x 2 ) + … , {\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{(2\cdot 3-x^{2})+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{(4\cdot 5-x^{2})+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{(6\cdot 7-x^{2})+\dots }}}}}}}},}

tg ⁡ x = x 1 − x 2 3 − x 2 5 − x 2 7 − … = 1 1 x − 1 3 x − 1 5 x − 1 7 x − … , {\displaystyle \operatorname {tg} x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\dots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\dots }}}}}}}},}

ctg ⁡ x = 1 x − x 3 − x 2 5 − x 2 7 − x 2 9 − … {\displaystyle \operatorname {ctg} x={\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {x}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-{\cfrac {x^{2}}{9-\dots }}}}}}}}}

Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji[ | edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki funkcji Bessela, funkcji Mathieu albo funkcji eliptycznych Jacobiego.