• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Ruch harmoniczny



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Wahadło sprężynowe – ciało zawieszone na sprężynie, które może w polu grawitacyjnym wykonywać pionowe drgania swobodne.Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.
    Oscylator harmoniczny

    Ruch harmoniczny – ruch drgający, w którym na ciało działa siła o wartości proporcjonalnej do wychylenia ciała z jego położenia równowagi, skierowana zawsze w stronę punktu równowagi. Wykres wychylenia ciała od położenia równowagi w zależności od czasu jest tzw. krzywą harmoniczną (np. sinusoidą).

    Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.Częstotliwość (częstość) – wielkość fizyczna określająca liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce czasu. W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). Częstotliwość 1 herca odpowiada występowaniu jednego zdarzenia (cyklu) w ciągu 1 sekundy. Najczęściej rozważa się częstotliwość w ruchu obrotowym, częstotliwość drgań, napięcia, fali.

    Ruch harmoniczny jest najprostszym rodzajem drgań. Przykładem może być modelowy ruch ciężarka na sprężynie.

    Drgania dowolnego rodzaju, nawet bardzo złożone, można przedstawić w postaci sumy drgań harmonicznych o różnych częstotliwościach i amplitudach. Znajdowanie takich przedstawień jest zadaniem analizy harmonicznej.

    Ruch harmoniczny prosty[ | edytuj kod]

    Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli działa na nie siła o wartości proporcjonalnej do wychylenia ciała z położenia równowagi i skierowana w stronę położenia równowagi

    Tłumienie (gaśnięcie) drgań – zmniejszanie się amplitudy drgań swobodnych wraz z upływem czasu, związane ze stratami energii układu drgającego. Tłumienie obserwowane jest zarówno w układach mechanicznych jak elektrycznych. W przypadku fal biegnących tłumienie prowadzi do zmniejszania się amplitudy fali wraz ze wzrostem odległości od źródła, co wynika z rozpraszania energii.Pulsacja (częstość kołowa, częstość kątowa) - wielkość określająca, jak szybko powtarza się zjawisko okresowe. Pulsacja jest powiązana z częstotliwością (f) i okresem (T) poprzez następującą zależność:

    gdzie:

    Amplituda w ruchu drgającym i w ruchu falowym jest to największe wychylenie z położenia równowagi. Jednostka amplitudy zależy od rodzaju ruchu drgającego: dla drgań mechanicznych jednostką może być metr, jednostka gęstości lub ciśnienia (np. dla fali podłużnej); dla fali elektromagnetycznej tą jednostką będzie V/m.Równowaga w mechanice – stan układu mechanicznego, w którym wszystkie punkty układu pozostają w spoczynku względem wybranego układu odniesienia.
    – wektor siły, – współczynnik proporcjonalności (zwany stałą sprężystości), – wektor wychylenia ciała od położenia równowagi.

    Zakładając, że ruch układu odbywa się w jednym wymiarze otrzymuje się

    Okres (w fizyce) – czas wykonania jednego pełnego drgania w ruchu drgającym, czyli czas pomiędzy wystąpieniami tej samej fazy ruchu drgającego. Okres fali równy jest okresowi rozchodzących się drgań. Okres dotyczyć może również innych zjawisk fizycznych (np. prądu przemiennego), które mają charakter oscylacji (powtarzających się zmian jakiejś wielkości). W takim najogólniejszym znaczeniu, okresem nazywamy najmniejszy czas potrzebny na powtórzenie się wzoru oscylacji. Dla fali oznacza to odcinek czasu pomiędzy dwoma punktami fali o tej samej fazie, czyli np. między dwoma kolejnymi szczytami lub dolinami. Z innymi parametrami ruchu okresowego wiążą go następujące zależności:Wahadło – ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

    gdzie oznacza współrzędną wektora siły a współrzędną wektora w przyjętym układzie współrzędnych.

    Rezonans – zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się wzrostem amplitudy drgań układu drgającego dla określonych częstotliwości drgań wymuszających. Częstotliwości dla których drgania mają największą amplitudę nazywa się częstotliwością rezonansową. Dla tych częstotliwości, nawet małe okresowe siły wymuszające mogą wytwarzać drgania o znacznej amplitudzie. Wiele systemów ma wiele odrębnych częstotliwości rezonansowych.Zasady dynamiki Newtona – trzy zasady leżące u podstaw mechaniki klasycznej sformułowane przez Isaaca Newtona i opublikowane w Philosophiae Naturalis Principia Mathematica w 1687 roku. Zasady dynamiki określają związki między ruchem ciała a siłami działającymi na nie, dlatego zwane są też prawami ruchu.

    II zasada dynamiki Newtona podaje zależność między przyspieszeniem ciała i działającą na nie siłą wypadkową

    Z powyższych dwóch wzorów wynika

    Zapisanie przyspieszenia w postaci różniczkowej prowadzi do równania w postaci

    gdzie: jest tzw. częstością kołową drgań.

    Powyższe równanie różniczkowe jest równaniem zwyczajnym drugiego rzędu.

    Rozwiązania tego równania można przedstawić w postaci:

    gdzie:

  • – amplituda drgań, czyli maksymalne wychylenie ciała od położenia równowagi,
  • – faza drgań,
  • okres drgań.
  • Częstotliwość (częstość) drgań zależy od i następująco: oraz

    Ustalony punkt fali (niebieska kropka) wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie i częstotliwości równym amplitudzie i częstotliwości ruchu falowego. Na osi poziomej odłożono współrzędną przestrzenną

    Faza drgań wiąże się z położeniem ciała w momencie rozpoczęcia pomiaru czasu.

    Własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne. Np. przyjmując pierwsze z rozwiązań na otrzymamy następujące wzory na prędkość i przyspieszenie:

    Zależność wychylenia ciała drgającego harmonicznie od czasu. – amplituda drgań, – okres drgań.

    Rozwiązania równania różniczkowego oscylatora harmonicznego można zapisać w innych, równoważnych postaciach, np.

    gdzie: – stałe zależne od warunków początkowych. Rozwiązania o takiej postaci nazywamy harmonikami.

    Energia w ruchu harmonicznym prostym[ | edytuj kod]

    Wykresy zależności energii od wychylania x a) energia potencjalna (kolor zielony), b) energia kinetyczna (kolor czerwony).

    Energia w ruchu harmonicznym jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej.

    Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia dana jest wzorem

    skąd po podstawieniu wyrażenia na

    zaś energię kinetyczną określa wzór

    Dodając powyższe wzory i korzystając z własności jedynki trygonometrycznej oraz z zależności obliczymy całkowitą energię ciała drgającego

    Całkowita energia w ruchu harmonicznym prostym jest stała, niezależna od czasu. Wynik ten jest zgodny z założeniem, że na ciało drgające działa jedynie siła sprężysta zaś siły oporu są zerowe lub pomijalne.

    Mimo stałości energii całkowitej, energia kinetyczna i potencjalna zmieniają się w czasie.

    Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Reklama

    Czas generowania strony: 1.18 sek.