• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Rozmaitość riemannowska



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Niech będzie dana funkcja f : U → R {displaystyle fcolon {mathcal {U}} o {}mathbb {R} } , gdzie U ⊆ R n {displaystyle {mathcal {U}}subseteq {}mathbb {R} ^{n}} oraz k ∈ N ∪ { ∞ } {displaystyle kin mathbb {N} cup {infty }} . Funkcję f {displaystyle f} nazywamy funkcją regularną rzędu k {displaystyle k} na U {displaystyle {mathcal {U}}} , jeżeli:Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.

    Rozmaitość riemannowska (przestrzeń Riemanna) – to rzeczywista rozmaitość różniczkowa z dodatnio określonym tensorem metrycznym w każdym punkcie rozmaitości.

    Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowy – w algebrze liniowej przekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym).

    Tensor metryczny pozwala obliczać inne wielkości geometryczne na rozmaitościː długości krzywych, pola powierzchni, objętości, krzywizny (krzywych, powierzchni, przestrzeni), kąty, gradienty czy dywergencje funkcji, rotacje pól wektorowych, a także zapisywać równania obiektów geometrycznych, np. krzywych, powierzchni, itp. zawartych w rozmaitości.

    Wiązka styczna – geometrii różniczkowej rozmaitość różniczkowa wraz z przestrzeniami stycznymi w każdym jej punkcie, czyli przestrzeniami liniowymi zaczepionymi w każdym z punktów rozmaitości.Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907–1915, a opublikowanej w roku 1916.

    Rozmaitość riemannowska jest przestrzenią metryczną. Metrykę (odległość) punktów rozmaitości definiuje się jako długość najkrótszej krzywej zawartej w i przechodzącej przez punkty .

    Równanie parametryczne - pojęcie matematyczne definiujące relację przy użyciu parametrów. Najprostsze zastosowanie widać na przykładzie wziętym z zagadnień kinematyki kiedy to jednym parametrem czasu można opisać położenie ciała, jego prędkość i inne wielkości fizyczne dotyczące ciała w ruchu. Ogólnie przy pomocy równań parametrycznych definiuje się relację jako zbiór równań.Georg Friedrich Bernhard Riemann (ur. 17 września 1826 w Breselenz w ówczesnym państwie Hanower, zm. 20 lipca 1866 w miejscowości Selasca, w pobliżu Verbanii na jeziorem Maggiore we Włoszech) - matematyk niemiecki, od 1857 profesor uniwersytetu w Getyndze.

    Nazwana rozmaitości pochodzi od Bernharda Riemanna.

    Spis treści

  • 1 Wprowadzenie
  • 2 Podstawowe pojęcia
  • 2.1 Przestrzeń styczna
  • 2.2 Wiązka styczna. Wiązka styczna unitarna.
  • 3 Krzywa w rozmaitości
  • 4 Teoria osadzenia Nasha
  • 5 Zobacz też
  • 6 Przypisy
  • 7 Bibliografia
  • 8 Przypisy
  • Tensor metryczny jest to symetryczny tensor drugiego rzędu (dwuwymiarowy) opisujący związek danego układu współrzędnych z układem kartezjańskim. Jest on podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej (oraz elektrodynamiki, teorii względności i innych teorii których językiem jest geometria różniczkowa), jego podstawowym zastosowaniem jest występowanie w iloczynie skalarnym dwóch wektorów (obowiązuje konwencja sumacyjna):Rozmaitość w matematyce, a szczególnie w geometrii różniczkowej i topologii, to podzbiór przestrzeni euklidesowej, który w dowolnym lokalnym obszarze można opisać (w ogólności wielowymiarową) funkcją gładką. Bardziej ogólnie rozmaitość topologiczną można przedstawić jako przestrzeń topologiczną, która w odpowiednio małej skali przypomina przestrzeń euklidesową określonego wymiaru, zwaną wymiarem rozmaitości. Stąd, linia i okrąg to rozmaitości jednowymiarowe, powierzchnia i sfera to rozmaitości dwuwymiarowe, i tak dalej w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów. Bardziej formalnie, każdy punkt rozmaitości n-wymiarowej ma homeomorficzne sąsiedztwo w otwartym podzbiorze n-wymiarowej przestrzeni R.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) – w matematyce, przestrzeń liniowa wyposażona dodatkowo w iloczyn skalarny będący uogólnieniem standardowego iloczynu skalarnego. Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiedniki przestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie (bądź uogólnienie) takich pojęć jak kąt, długość wektora (dokładniej norma elementu przestrzeni unitarnej) czy wreszcie ortogonalności elementów. Przestrzenie unitarne, zupełne ze względu na metrykę generowaną przez normę (zależną od iloczynu skalarnego), nazywane są przestrzeniami Hilberta i studiowane są w analizie funkcjonalnej. W związku z tym przestrzenie unitarne nazywane są czasem prehilbertowskimi.
    Rozmaitość bądź przestrzeń pseudoriemannowska – uogólnienie rozmaitości riemannowskiej, od której różni się ona tym, iż w rozmaitości pseudoriemannowskiej tensor metryczny nie musi być dodatnio określony, a tylko niezdegenerowany. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Bernharda Riemanna.
    Przestrzeń styczna jest pojęciem matematycznym, dotyczącym geometrii różniczkowej. Przestrzeń styczna do rozmaitości różniczkowej jest uogólnieniem przestrzeni afinicznej, czyli przestrzeni swobodnych wektorów, na ogólne rozmaitości różniczkowe.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.103 sek.