• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Rozkład prawdopodobieństwa



    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową.
    Zastosowanie zmiennych losowych[]

    Przestrzenią probabilistyczną nazywa się trójkę uporządkowaną, złożoną z: a) przestrzeni zdarzeń elementarnych , b) określonego na niej σ-ciała , którego elementy są nazywane zdarzeniami losowymi, c) miary probabilistycznej , przyporządkowującej zdarzeniom liczby zwane prawdopodobieństwami.

    Rozkład Fishera-Tippetta – rozkład zmiennej losowej służący do wyznaczania ekstremalnych wartości zmiennej losowej w pewnym przedziale czasu. Większość losowych zjawisk naturalnych (takich jak temperatura otoczenia, prędkość wiatru) daje się dobrze opisywać tym rozkładem.Rozkład jednostajny (zwany też jednorodnym, równomiernym) to rozkład prawdopodobieństwa o funkcji rozkładu stałej w całym nośniku rozkładu.

    Tak określone prawdopodobieństwo jest jednak niewygodne do badania, gdy jest zbiorem bez zadanych jakichkolwiek relacji między jego elementami. Dlatego definiuje się funkcję zwaną zmienną losową, która przyporządkowuje elementom przestrzeni elementy jakiejś przestrzeni mierzalnej o pożądanych właściwościach. Najczęściej jako przestrzeń mierzalną wykorzystuje się przestrzeń euklidesową, tj. . Wtedy zmienną losową nazywa się wektorem losowym.

    Rozkład jednostajny (zwany też jednorodnym, równomiernym, prostokątnym albo płaskim) to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, dla którego gęstość prawdopodobieństwa w przedziale od a do b jest stała i różna od zera, a poza nim równa zeru. Istnieje też wersja dyskretna tego rozkładu oraz uogólnienie na dowolne nośniki.Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem „słabą” zbieżnością.

    Przeciwobraz każdego zbioru mierzalnego w jest zdarzeniem losowym. Podzbiory mierzalne przestrzeni tworzą σ-ciało, które oznaczać będziemy symbolem . Ponieważ zmienna losowa nie musi być funkcją różnowartościową, więc ten sam zbiór mierzalny można w ogólnym przypadku otrzymać z wielu różnych zdarzeń o różnych prawdopodobieństwach. Aksjomaty σ-ciała zapewniają, że wśród tych zdarzeń jest także ich suma i do niej jest przypisane największe prawdopodobieństwo. Suma ta jest równa przeciwobrazowi zbioru , czyli .

    Rozkład jednopunktowy – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa skoncentrowany w jednym punkcie przestrzeni. Można go zdefiniować jako rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje dokładnie jedną wartość prawie na pewno.Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy) - dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący m.in. liczbę sukcesów i porażek w niezależnych i posiadających równe prawdopodobieństwo sukcesu próbach Bernoulliego.

    Rozkład zmiennej losowej - to funkcja określona na sigma ciele taka że prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe prawdopodobieństwu przypisanemu przeciwobrazowi zdarzenia :

    Rozkład zero-jedynkowy – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, szczególny przypadek rozkładu dwupunktowego, dla którego zmienna losowa przyjmuje tylko wartości: 0 i 1.Definicja intuicyjna: Odpowiednik transformaty Fouriera dla miar probabilistycznych, rozkładów prawdopodobieństwa i zmiennych losowych.

    .

    Rozkład jest nową miarą probabilistyczną. Jest on w przestrzeni stanów odpowiednikiem miary probabilistycznej .

    W badaniach prawdopodobieństwa, wspólny rozkład prawdopodobieństwa (ang. joint probability distribution) dla zmiennych losowych X, Y, ... to jeden z rodzajów rozkładu prawdopodobieństwa, który daje prawdopodobieństwo, że każda ze zmiennych losowych X, Y, ... wchodzi w konkretny zakres lub dyskretny zbiór wartości określonych dla tej zmiennej. Jeśli w taki zakres lub zbiór wartości wchodzą tylko dwie zmienne losowe, to rozkład ten nosi nazwę „rozkład dwuwymiarowy”, natomiast jeśli koncepcja uogólni się do dowolnej liczby zmiennych losowych, to rozkład ten będzie nosił nazwę „rozkład wielowymiarowy”.Funkcja charakterystyczna zbioru – jedno z pojęć matematycznych, mających zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).

    Uwaga 1:

    Zapis gdzie jest zdarzeniem a nie zmienną losową jest stosowany na oznaczenie prawdopodobieństwa warunkowego.

    Uwaga 2:

    Populacja statystyczna (inaczej populacja generalna, zbiorowość generalna) – zbiór elementów, podlegających badaniu statystycznemu.Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:

    Niżej omówiono rozkłady ciągłe i dyskretne. Oprócz nich istnieją także rozkłady nie mieszczące się w żadnej z tych kategorii – na przykład rozkład o dystrybuancie Cantora.

    Rozkład ciągły[]

    Jeżeli istnieje funkcja , taka że

    Przestrzeń probabilistyczna – struktura umożliwiająca modelowanie doświadczenia losowego poprzez wskazanie zdarzeń losowych i przypisanie im prawdopodobieństwa.Rozkład beta – ciągły rozkład prawdopodobieństwa dany funkcją gęstości zdefiniowaną na przedziale [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} wzorem

    (całka Lebesgue'a) dla dowolnego zbioru borelowskiego , to funkcję tę nazywa się gęstością rozkładu prawdopodobieństwa ( funkcją gęstości prawdopodobieństwa ).

    Rozkład warunkowy dwuwymiarowej zmiennej losowej ( X , Y ) {displaystyle (X,Y);} przedstawia się wzorem:Funkcja Cantora (zwana również diabelskimi schodami), nazwana od Georga Cantora, jest jednym z przykładów funkcji osobliwej, czyli funkcji ciągłej, ale nie bezwzględnie ciągłej.

    Nazwa pochodzi od intuicji fizycznych (zob. gęstość masy). O rozkładzie mającym gęstość mówi się, że jest ciągły (lub typu ciągłego).

    Powyższa definicja jest poprawna dla dowolnych rozkładów prawdopodobieństwa, także wielowymiarowych – wówczas jest wektorem.

    Rozkład zmiennej losowej spełniający powyższe warunki definiuje się analogicznie. O zmiennej losowej również mówi się wówczas, iż jest ciągła (lub typu ciągłego).

    Prawdopodobieństwo – ogólne określenie jednego z wielu pojęć służących modelowaniu doświadczenia losowego poprzez przypisanie poszczególnym zdarzeniom losowym liczb, zwykle z przedziału jednostkowego (w zastosowaniach często wyrażanych procentowo), wskazujących szanse ich zajścia. W rozumieniu potocznym wyraz „prawdopodobieństwo” odnosi się do oczekiwania względem rezultatu zdarzenia, którego wynik nie jest znany (niezależnie od tego, czy jest ono w jakimś sensie zdeterminowane, miało miejsce w przeszłości, czy dopiero się wydarzy); w ogólności należy je rozumieć jako pewną miarę nieprzewidywalności.Przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór zdarzeń elementarnych, przestrzeń próbek losowych) - to zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego; wyniki te nazywa się zdarzeniami elementarnymi.

    Rozkład dyskretny[]

    Rozkład nazywa się dyskretnym, jeśli jest skupiony na zbiorze przeliczalnym, tzn. istnieje zbiór (co najwyżej) przeliczalny dla którego . Jeżeli

    Przestrzeń polska – ośrodkowa przestrzeń topologiczna, która jest metryzowalna w sposób zupełny. Przestrzenie polskie badane są w topologii ogólnej i opisowej teorii mnogości. Nazwa pojęcia powstała dla uhonorowania wkładu polskiej szkoły matematycznej w rozwój tych dziedzin. Rozkład Erlanga – ciągły rozkład prawdopodobieństwa, związany z rozkładem wykładniczym i rozkładem gamma. Rozkład Erlanga został opracowany przez A. K. Erlanga do szacowania liczby rozmów telefonicznych, łączonych jednocześnie przez operatora w ręcznej centrali telefonicznej. Później uwzględniono również czas oczekiwania w kolejce. Obecnie rozkład ten znalazł też zastosowanie w teorii procesów stochastycznych.
    oraz dla każdego ,

    to dla dowolnego zbioru borelowskiego

    Rozkład wykładniczy to rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce czasu. Prawdopodobieństwo wyznaczane przez ten rozkład to prawdopodobieństwo przejścia ze stanu X w stan Y w czasie δt.Rozkład Weibulla – ciągły rozkład prawdopodobieństwa często stosowany w analizie przeżycia do modelowania sytuacji, gdy prawdopodobieństwo śmierci/awarii zmienia się w czasie.
    ,

    gdzie to indykator (funkcja charakterystyczna) zbioru .

    Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.Zbiór borelowski – podzbiór przestrzeni topologicznej, który można uzyskać za pomocą przeliczalnych sum i przekrojów zbiorów domkniętych (bądź zwartych) tej przestrzeni. Klasa zbiorów uzyskanych za pomocą tych operacji tworzy σ-ciało nazywane σ-ciałem zbiorów borelowskich lub σ-ciałem borelowskim danej przestrzeni topologicznej. Nazwa została wprowadzona dla uhonorowania prac francuskiego matematyka Émile Borela, który pierwszy badał te zbiory i ich zastosowania.

    Zatem zbiór par jednoznacznie wyznacza rozkład . Stąd dowolny zbiór tej postaci, gdzie oraz (co wynika z własności rozkładu), nazywa się czasami rozkładem (dyskretnym). Odwzorowanie , oznaczane , nosi nazwę funkcji masy prawdopodobieństwa i jest ono dyskretnym odpowiednikiem gęstości prawdopodobieństwa.

    Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ( gęstość zmiennej losowej ) – nieujemna funkcja rzeczywista, określona dla rozkładu prawdopodobieństwa, taka że całka z tej funkcji, obliczona w odpowiednich granicach, jest równa prawdopodobieństwu wystąpienia danego zdarzenia losowego. Funkcję gęstości definiuje się dla rozkładów prawdopodobieństwa jednowymiarowych i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są rozkładami ciągłymi. Rozkład dwupunktowy – rozkład dyskretny prawdopodobieństwa w którym zmienna losowa przyjmuje tylko dwie różne wartości. Jest on na przykład rezultatem doświadczenia (zwanego próbą Bernoulliego), w wyniku którego określone zdarzenie A wystąpi lub nie wystąpi.

    Dyskretna zmienna losowa to zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym. Wówczas można go zdefiniować podobnie jak wyżej równością ,

    jednakże w tym wypadku zachodzi dodatkowo

    Rozkład empiryczny to uzyskany na podstawie badania statystycznego opis wartości przyjmowanych przez cechę statystyczną w próbie przy pomocy częstości ich występowania.Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa to w probabilistyce rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dający się opisać przez podanie wszystkich przyjmowanych przez nią wartości, wraz z prawdopodobieństwem przyjęcia każdej z nich. Funkcja przypisująca prawdopodobieństwo do konkretnej wartości zmiennej losowej jest nazywana funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (probability mass function, pmf). Zachodzi:
    ,

    gdzie jest zbiorem wszystkich wartości przyjmowanych przez zmienną .

    Zbiór miary zero – zbiór mierzalny rozważanej przestrzeni mierzalnej ( X , M ) {displaystyle scriptstyle (X,{mathfrak {M}})} „nieistotny” z punktu widzenia zadanej na niej miary μ , {displaystyle scriptstyle mu ,} tzn. dowolny zbiór A ∈ M {displaystyle scriptstyle Ain {mathfrak {M}}} spełniający μ ( A ) = 0. {displaystyle scriptstyle mu (A)=0.} Podzbiory zbiorów miary zero nazywa się zaniedbywalnymi (w szczególności każdy zbiór miary zero jest zaniedbywalny); jeśli miara jest zupełna (tj. zbiory zaniedbywalne są mierzalne), to z jej monotoniczności wynika też, że każdy zbiór zaniedbywalny jest miary zero, co oznacza, że wtedy pojęcia te są równoważne.Rozkład dwumianowy (w Polsce zwany też rozkładem Bernoulliego, choć w krajach anglojęzycznych termin Bernoulli distribution odnosi się do rozkładu zero-jedynkowego) to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów k w ciągu N niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu równe p. Pojedynczy eksperyment nosi nazwę próby Bernoulliego.

    Dystrybuanta rozkładu jednowymiarowego[]

     Osobny artykuł: dystrybuanta.

    Dystrybuantą jednowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa nazywa się funkcję , zdefiniowana wzorem:

    Rozkład logarytmicznie normalny (albo logarytmiczno-normalny, log-normalny) – ciągły rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, której logarytm ma rozkład normalny.Badanie statystyczne to proces pozyskiwania danych na temat rozkładu cechy statystycznej w populacji. Badanie może mieć charakter:
    .

    Dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej , to dystrybuanta , oznaczana zwykle symbolem , otrzymana z rozkładu tej zmiennej losowej:

    Dystrybuanta (fr. distribuer „rozdzielać, rozdawać”) – w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce i dziedzinach pokrewnych, funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa (tj. miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej), a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa, ponieważ są obiektami prostszymi niż rozkłady prawdopodobieństwa. W statystyce dystrybuanta rozkładu próby zwana jest dystrybuantą empiryczną i jest blisko związana z pojęciem rangi.Rozkład Boltzmanna – stosowane w fizyce i chemii równanie określające sposób obsadzania stanów energetycznych przez atomy, cząsteczki lub inne indywidua cząsteczkowe (cząstki) w stanie równowagi termicznej.

    Jeśli rozkład ma gęstość , jego dystrubuanta wyraża się wzorem:

    Delta Diraca – dystrybucja, czyli funkcjonał liniowy i ciągły na przestrzeni D {displaystyle {mathcal {D}}} funkcji próbnych, tzn. wszystkich funkcji klasy C ∞ ( R N ) {displaystyle C^{infty }(mathbb {R} ^{N})} o zwartych nośnikach, dany wzoremPrawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A {displaystyle A} pod warunkiem zajścia zdarzenia B {displaystyle B} , gdzie P ( B ) > 0 {displaystyle P(B)>0} nazywamy liczbę
    .

    Dystrybuanta w pełni wyznacza rozkład, tzn. dwie zmienne o tej samej dystrybuancie muszą mieć ten sam rozkład; obrazuje to poniższy przykład.

    Funkcja różnowartościowa (iniekcja, funkcja 1-1) – funkcja, której każdy element przeciwdziedziny przyjmowany jest co najwyżej raz.Rozkład gamma to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, którego gęstość jest uogólnieniem rozkładu Erlanga na dziedzinę dodatnich liczb rzeczywistych. Rozkład gamma ze względu na klasyfikację Pearsona jest rozkładem typu 3.

    Przykłady[]

    1) Niech będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych doświadczenia polegającego na rzucie monetą, które może z jednakowym prawdopodobieństwem dać dwa wyniki: orła i reszkę,tj.

    Wielowymiarowy rozkład normalny – rozkład wielowymiarowej zmiennej losowej, będący uogólnieniem rozkładu normalnego na n wymiarów.Rozkład geometryczny jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w k-tej próbie. k musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).
    oraz .

    Jeżeli zmienna jest określona równościami

    Funkcja masy prawdopodobieństwa (probability mass function, pmf) – funkcja dająca dla każdej liczby rzeczywistej u {displaystyle u;} prawdopodobieństwo, że dana dyskretna zmienna losowa przyjmie wartość u {displaystyle u;} .Ciągły rozkład prawdopodobieństwa - rozkład prawdopodobieństwa dla którego dystrybuanta jest funkcją ciągłą. Stosowana jest też węższa definicja, przedstawiona poniżej w sekcji bezwzględna ciągłość.
    oraz ,

    to jej rozkład jest określony następująco:

    Rozkład chi kwadrat (zapisywany także jako χ²) to rozkład zmiennej losowej, która jest sumą k kwadratów niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym. Liczbę naturalną k nazywa się liczbą stopni swobody rozkładu zmiennej losowej.Rozkład jednostajny dyskretny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa w którym jednakowe prawdopodobieństwo przypisane jest do n {displaystyle n} różnych liczb rzeczywistych k 1 , … , k n {displaystyle k_{1},dots ,k_{n}} , a inne liczby mają przypisane prawdopodobieństwo zero.

    a funkcja masy prawdopodobieństwa ma postać:

    Oznacza to, że zmienna losowa odwzorowuje zdarzenia ,

    oraz zachowuje prawdopodobieństwo określone na przekształcając je w rozkład określony na .

    Z definicji dystrybuanty wynika, iż prawdopodobieństwo zdarzenia

    dane jest wzorem .

    Dystrybuanta zmiennej to funkcja określona wzorem

    2) Niech będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych rzutu monetą, wyżej opisanego, przy czym dodatkowo uwzględnimy upadek na kant, który prawie na pewno się nie zdarzy. Jeżeli oraz ,

    to zmienna losowa określona równościami oraz ,

    ma taki sam rozkład (oraz funkcję masy) co zmienna określona wyżej, mimo iż są one różne.

    Także dystrybuanta zmiennej dana jest tym samym wzorem co dystrybuanta zmiennej .

    Dystrybuanta rozkładu wielowymiarowego[]

     Osobny artykuł: dystrybuanta.

    Jeśli jest wektorem losowym, tzn. , to rozważa się wówczas przedziały wielowymiarowe, tzn. zbiory będące iloczynami kartezjańskimi przedziałów, mające postać .

    Dystrybuanta ma postać .

    Stosuje się następujący zapis dystrybuanty rozkładu zmiennej losowej: ,

    gdzie .

    Oznaczając powyższy wzór można zapisać w skrócie .

    Jeśli rozkład wielowymiarowy ma gęstość , jego dystrybuanta wyraża się za pomocą całki Lebesgue'a: ,

    co można zapisać w prostszej wersji (ale tylko wtedy, gdy całkę Lebesgue'a da się rozbić w poniższy sposób): .

    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.142 sek.