• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Rozkład normalny



    Podstrony: [1] 2 [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Metoda najmniejszych kwadratów – standardowa metoda przybliżania rozwiązań układów nadokreślonych, tzn. zestawu równań, w którym jest ich więcej niż zmiennych. Nazwa „najmniejsze kwadraty” oznacza, że końcowe rozwiązanie tą metodą minimalizuje sumę kwadratów błędów przy rozwiązywaniu każdego z równań.Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.
    Definicja rozkładu normalnego[]

    Istnieje wiele równoważnych sposobów zdefiniowania rozkładu normalnego. Należą do nich: funkcja gęstości, dystrybuanta, momenty, kumulanty, funkcja charakterystyczna, funkcja tworząca momenty i funkcja tworząca kumulanty. Wszystkie kumulanty rozkładu normalnego wynoszą 0 oprócz pierwszych dwóch.

    Rozkład jednostajny (zwany też jednorodnym, równomiernym) to rozkład prawdopodobieństwa o funkcji rozkładu stałej w całym nośniku rozkładu.Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której funkcja sinus przyjmuje wartość 0.

    Funkcja gęstości[]

    Ilustracja reguły trzech sigm
     Zapoznaj się również z: funkcja wykładniczapi.

    Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego ze średnią μ i odchyleniem standardowym σ (równoważnie: wariancją σ) jest przykładem funkcji Gaussa. Dana jest ona wzorem:

    Fakt, iż zmienna losowa X ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną μ i wariancją σ zapisuje się często .

    Odchylenie standardowe – klasyczna miara zmienności, obok średniej arytmetycznej najczęściej stosowane pojęcie statystyczne.Transformacja Boxa-Mullera – metoda generowania liczb losowych o rozkładzie normalnym, na podstawie dwóch wartości zmiennej o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0,1].

    Uwaga: W wielu źródłach rozkład normalny jest oznaczany przez .

    Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.Foton (gr. φως – światło, w dopełniaczu – φοτος, nazwa stworzona przez Gilberta N. Lewisa) jest cząstką elementarną, nie posiadającą ładunku elektrycznego ani momentu magnetycznego, o masie spoczynkowej równej zero (m0 = 0), liczbie spinowej s = 1 (fotony są zatem bozonami). Fotony są nośnikami oddziaływań elektromagnetycznych, a ponieważ wykazują dualizm korpuskularno-falowy, są równocześnie falą elektromagnetyczną.

    Jeśli i , to rozkład ten nazywa się standardowym rozkładem normalnym, jego funkcja gęstości opisana jest wzorem:

    Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego dla (w jednym przypadku ) i kilku różnych wartości . Im większe tym bardziej płaski jest wykres.

    Definicja intuicyjna: Odpowiednik transformaty Fouriera dla miar probabilistycznych, rozkładów prawdopodobieństwa i zmiennych losowych.Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtos - wydęty) - jedna z miar spłaszczenia rozkładu wartości cechy. Definiuje się ją następującym wzorem:

    We wszystkich rozkładach normalnych funkcja gęstości jest symetryczna względem wartości średniej rozkładu. Około 68,3% pola pod wykresem krzywej znajduje się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej, około 95,5% w odległości dwóch odchyleń standardowych i około 99,7% w odległości trzech (reguła trzech sigm). Punkt przegięcia krzywej znajduje się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej.

    Wariancja to w statystyce klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.Centralne twierdzenie graniczne – jedno z najważniejszych twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa, uzasadniające powszechne występowanie w przyrodzie rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego.

    Dystrybuanta[]

     Zapoznaj się również z: dystrybuanta.

    Dystrybuanta jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna X ma wartości mniejsze bądź równe x i w kategoriach funkcji gęstości wyrażana jest (dla rozkładu normalnego) wzorem:

    Całki powyższej nie da się obliczyć dokładnie metodą analityczną. W konkretnych zagadnieniach do obliczenia wartości dystrybuanty stosuje się zatem tablice statystyczne (bądź też odpowiednie kalkulatory czy oprogramowanie komputerów). Tablice zawierają dane dla dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego, tradycyjnie oznaczanej jako Φ i zdefiniowanej jako rozkład o parametrach μ = 0 i σ = 1:

    Regresja liniowa – metoda estymowania wartości oczekiwanej zmiennej y {displaystyle y} przy znanych wartościach innej zmiennej lub zmiennych x {displaystyle x} . Szukana zmienna y {displaystyle y} jest tradycyjnie nazywana zmienną objaśnianą lub zależną. Inne zmienne x {displaystyle x} nazywa się zmiennymi objaśniającymi lub niezależnymi. Zarówno zmienne objaśniane i objaśniające mogą być wielkościami skalarnymi lub wektorami.Całka oznaczona – w matematyce, w zależności od kontekstu, synonim nazwy "całka Riemanna" albo ogólniej: określenie odnoszące się do tych pojęć całki, dla których zachodzi pewna wersja wzoru Newtona-Leibniza, jak na przykład:

    Związek dystrybuanty Φ i dystrybuanty rozkładu normalnego X o dowolnie zadanych parametrach μ i σ otrzymuje się za pomocą standaryzowania rozkładu (zob. też poniżej).

    Funkcja tworząca (generująca) momenty zmiennej losowej X {displaystyle X!} jest zdefiniowana wzorem M X ( t ) = E ( e t X ) {displaystyle M_{X}(t)=E(e^{tX})} .Punkt przegięcia jest w analizie matematycznej punktem na wykresie funkcji, w którym zachodzi zmiana jej wypukłości, tj. funkcja wypukła na lewo od tego punktu staje się wklęsła na prawo od niego lub na odwrót. Pojęcie to może być też uogólnione na inne krzywe.

    Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego może być wyrażona poprzez funkcję specjalną (nieelementarną, przestępną), tzw. funkcję błędu jako:

    Rozkład wykładniczy to rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce czasu. Prawdopodobieństwo wyznaczane przez ten rozkład to prawdopodobieństwo przejścia ze stanu X w stan Y w czasie δt.Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

    Funkcje tworzące[]

    Funkcja charakterystyczna[]

    Funkcją charakterystyczną rozkładu normalnego jest

    Test inteligencji – test psychometryczny mierzący iloraz inteligencji. Rozkład wyników testu jest w przybliżeniu opisywany krzywą dzwonową rozkładu normalnego.Definicja intuicyjna: W danym szeregu uporządkowanym liczba, która jest w połowie szeregu w wypadku nieparzystej liczby elementów. Dla parzystej liczby elementów – średnia arytmetyczna dwóch środkowych liczb.

    W przypadku standardowego rozkładu normalnego ma ona postać:

    Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – w rachunku prawdopodobieństwa wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ( gęstość zmiennej losowej ) – nieujemna funkcja rzeczywista, określona dla rozkładu prawdopodobieństwa, taka że całka z tej funkcji, obliczona w odpowiednich granicach, jest równa prawdopodobieństwu wystąpienia danego zdarzenia losowego. Funkcję gęstości definiuje się dla rozkładów prawdopodobieństwa jednowymiarowych i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są rozkładami ciągłymi.

    Własności[]

    1. Jeśli oraz liczbami rzeczywistymi, to
    2. Jeśli i oraz zmienne są niezależne, to
    3. Jeśli niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to zmienna ma rozkład chi-kwadrat z stopniami swobody.

    Parametry rozkładu[]

  • wartość oczekiwana:
  • mediana:
  • wariancja:
  • odchylenie standardowe:
  • skośność:
  • kurtoza: (lub 3, przyjmując dawniej używaną definicję).
  • Standaryzowanie zmiennych losowych o rozkładzie normalnym[]

    Konsekwencją własności 1 jest możliwość przekształcenia wszystkich zmiennych losowych o rozkładzie normalnym do standardowego rozkładu normalnego.

    The Bell Curve – kontrowersyjny bestseller z 1994 autorstwa profesora Harvardu Richarda J. Herrnsteina i Charlesa Murraya z American Enterprise Institute. Głównym twierdzeniem jest uznanie inteligencji mierzonej testami za lepszy wskaźnik zarobków, powodzenia w pracy, niechcianej ciąży i przestępczości niż status socjoekonomiczny rodziców czy ich wykształcenie. Stwierdzone jest w niej też, że ludzie z wysoką inteligencją stają się odseparowani od reszty populacji ludzi z inteligencją średnią lub poniżej średniej i że jest to niebezpieczny trend. Największe kontrowersje wywołały rozdziały 13 i 14, w których autorzy twierdzą, że zależność inteligencji od rasy jest genetyczna i omawiają tego następstwa.Obserwacja odstająca, element odstający (ang. outlier) – obserwacja posiadająca nietypową wartość zmiennej niezależnej (objaśniającej) lub nietypowe wartości obydwu zmiennych – zależnej (objaśnianej) i objaśniającej (objaśniających w analizie regresji wielokrotnej). Oznacza to, że związek między Xi a Yi dla danej obserwacji jest inny niż dla reszty obserwacji w zbiorze danych.

    Jeśli X ma rozkład normalny ze średnią μ i wariancją σ, wtedy:

    Z jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym N(0, 1). Ważną konsekwencją jest postać dystrybuanty:

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Rachunek błędów – zespół zagadnień na pograniczu metrologii, statystyki i matematyki stosowanej, obejmujący zasady opracowywania i prezentacji wyników doświadczalnych. Analiza błędów obejmuje dyskusje zasadności stosowanych metod pomiarowych, dyskusje ich dokładności i powtarzalności oraz właściwą analizę wielkości błędów, czyli właśnie rachunek błędów. Wszelkie wyniki pomiarów pozbawione dyskusji błędów, a zwłaszcza określenia błędu pomiarowego, są w istocie wyłącznie wskazaniami. Jeśli na przykład ktoś stwierdza, że jest wzrostu 4 m, to w zasadzie może być to prawda, bowiem kluczowe jest zagadnienie: w jaki sposób dokonano pomiaru.

    Odwrotnie, jeśli Z jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym, to:

    Rozkład dwumianowy (w Polsce zwany też rozkładem Bernoulliego, choć w krajach anglojęzycznych termin Bernoulli distribution odnosi się do rozkładu zero-jedynkowego) to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów k w ciągu N niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu równe p. Pojedynczy eksperyment nosi nazwę próby Bernoulliego.Funkcja błędu Gaussa — funkcja nieelementarna, która występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jest zdefiniowana jako

    jest zmienną o rozkładzie normalnym ze średnią μ i wariancją σ.

    Standardowy rozkład normalny został stablicowany i inne rozkłady normalne są prostymi transformacjami rozkładu standardowego. W ten sposób możemy używać tablic dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego do wyznaczenia wartości dystrybuanty rozkładu normalnego o dowolnych parametrach.

    Generowanie wartości losowych o rozkładzie normalnym[]

    W symulacjach komputerowych zdarza się, że potrzebujemy wygenerować wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym. Istnieje kilka metod, najprostszą z nich jest odwrócenie dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego. Są jednak metody bardziej wydajne, jedną z nich jest transformacja Boxa-Mullera, w której dwie zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym (prostym do wygenerowania — patrz generator liczb losowych) są transformowane na zmienne o rozkładzie normalnym.

    Generator liczb losowych (ang. random number generator; czasem nazywany generatorem zdarzeń losowych (REG - Random Event Generator) lub generatorem przypadków) - program komputerowy lub układ elektroniczny, generujący stacjonarny i ergodyczny, losowy ciąg elementów binarnych, zorganizowanych zwykle jako ciąg liczb losowych. Generator liczb losowych jest urządzeniem, które nie produkuje przypadkowych liczb, lecz stany, które wyrażane są później jako liczby, stąd też określane są często poprawniejszą nazwą "generatora zdarzeń losowych" (REG - Random Event Generator).Dystrybuanta (fr. distribuer „rozdzielać, rozdawać”) – w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce i dziedzinach pokrewnych, funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa (tj. miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej), a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa, ponieważ są obiektami prostszymi niż rozkłady prawdopodobieństwa. W statystyce dystrybuanta rozkładu próby zwana jest dystrybuantą empiryczną i jest blisko związana z pojęciem rangi.

    Transformacja Boxa-Mullera jest konsekwencją własności 3 i faktu, że rozkład chi-kwadrat z dwoma stopniami swobody jest rozkładem wykładniczym (łatwym do wygenerowania).

    Centralne twierdzenie graniczne[]

    Jedną z najważniejszych własności rozkładu normalnego jest fakt, że (przy pewnych założeniach) rozkład sumy dużej liczby zmiennych losowych jest w przybliżeniu normalny. Jest to tak zwane centralne twierdzenie graniczne.

    W praktyce twierdzenie to ma zastosowanie, jeśli chcemy użyć rozkładu normalnego jako przybliżenia dla innych rozkładów.

    Błąd systematyczny – błąd wynikający z zastosowanej metody pomiaru lub innych przyczyn (np. nie dających się wykluczyć, ale znanych zjawisk mających wpływ na pomiar), zwykle zmieniający wyniki pomiaru jednostronnie.Korelacja (łac. śr. correlation-, correlatio, od com-, „razem, łącznie”; i relation-, relatio, „związek, relacja”) – współzależność, wzajemny związek; wyraz ten oznacza zwykle jedno z następujących pojęć:
  • Rozkład dwumianowy z parametrami jest w przybliżeniu normalny dla dużych i nie leżących zbyt blisko 1 lub 0. Przybliżony rozkład ma średnią równą i odchylenie standardowe
  • Rozkład Poissona z parametrem jest w przybliżeniu normalny dla dużych wartości . Przybliżony rozkład normalny ma średnią i odchylenie standardowe
  • Dokładność przybliżenia tych rozkładów zależy od celu użycia przybliżenia i tempa zbieżności do rozkładu normalnego. Zazwyczaj takie przybliżenia są mniej dokładne w ogonach rozkładów.

    Wielowymiarowy rozkład normalny – rozkład wielowymiarowej zmiennej losowej, będący uogólnieniem rozkładu normalnego na n wymiarów.Rozkład chi kwadrat (zapisywany także jako χ²) to rozkład zmiennej losowej, która jest sumą k kwadratów niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym. Liczbę naturalną k nazywa się liczbą stopni swobody rozkładu zmiennej losowej.

    Nieskończona podzielność[]

    Rozkład normalny należy do rozkładów mających własność nieskończonej podzielności.

    Podstrony: [1] 2 [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.101 sek.