• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Rozkład Studenta



    Podstrony: [1] [2] 3 [4]
    Przeczytaj także...
    Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową.Test statystyczny - formuła matematyczna pozwalająca oszacować prawdopodobieństwo spełnienia pewnej hipotezy statystycznej w populacji na podstawie próby losowej z tej populacji.
    Własności[]

    Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru n – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości n zmierzają do standardowego rozkładu normalnego N(0,1). Dla małych n różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o n stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu n - 1, w szczególności dla n = 1 rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).

    Liczba stopni swobody, df (ang. degrees of freedom) – liczba niezależnych wyników obserwacji pomniejszona o liczbę związków, które łączą te wyniki ze sobą.Odchylenie standardowe – klasyczna miara zmienności, obok średniej arytmetycznej najczęściej stosowane pojęcie statystyczne.

    Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody n w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego N(0,1).

    rozkłady Studenta porównane z rozkładem normalnym

    Zastosowania[]

    Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

    1. Niech zmienne losowe mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej i wariancji oraz niech zmienna będzie określona wzorem: gdzie jest wartością średnią z próby, zaś - odchyleniem standardowym z próby. Wówczas zmienna ma rozkład t-Studenta o stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji ).
    2. Jeżeli dwie próby o liczebnościach oraz , wartościach średnich oraz i wariancjach wyznaczonych z próby oraz zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna t określona wzorem: ma rozkład t-Studenta o stopniach swobody.

    Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych - gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność ).

    Rozkład Cauchy’ego (zwany również w optyce rozkładem Lorentza a w fizyce jądrowej rozkładem Breita-Wignera) to rozkład prawdopodobieństwa typu ciągłego.Wariancja to w statystyce klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

    W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody i przyjętego poziomu istotności .

    Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ( gęstość zmiennej losowej ) – nieujemna funkcja rzeczywista, określona dla rozkładu prawdopodobieństwa, taka że całka z tej funkcji, obliczona w odpowiednich granicach, jest równa prawdopodobieństwu wystąpienia danego zdarzenia losowego. Funkcję gęstości definiuje się dla rozkładów prawdopodobieństwa jednowymiarowych i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są rozkładami ciągłymi.

    Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości , że lub Wartości te podają tablice rozkładu t-Studenta.

    Testy dla wariancji – są to testy parametryczne służące do weryfikacji hipotez statystycznych dotyczących wartości wariancji w populacji generalnej lub też do porównania wartości wariancji w dwóch lub kilku populacjach – na podstawie znajomości wartości badanej cechy w losowej próbie (lub w kilku próbach). Rozstrzygnięcie pytań dotyczących wariancji jest ważne m.in. dlatego, że wiele testów służących do porównania wartości średnich w dwóch lub kilku populacjach wymaga przyjęcia założenia o równości wariancji w tych populacjach (tak zwane założenie o jednorodności wariancji). Ponadto wariancja może być miernikiem dokładności w procesie pomiarowym lub produkcyjnym (zbyt duża wariancja wyników pomiaru może na przykład świadczyć o uszkodzeniu lub rozregulowaniu aparatury lub urządzeń).Ciągły rozkład prawdopodobieństwa - rozkład prawdopodobieństwa dla którego dystrybuanta jest funkcją ciągłą. Stosowana jest też węższa definicja, przedstawiona poniżej w sekcji bezwzględna ciągłość.





    Podstrony: [1] [2] 3 [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):
    William Sealy Gosset (ur. 13 czerwca 1876 w Canterbury, zm. 16 października 1937 w Beaconsfield) – angielski statystyk.
    Poziom istotności – jest to maksymalne dopuszczalne prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju (zazwyczaj oznaczane symbolem α). Określa tym samym maksymalne ryzyko błędu, jakie badacz jest skłonny zaakceptować. Wybór wartości α zależy od badacza, natury problemu i od tego, jak dokładnie chce on weryfikować swoje hipotezy, najczęściej przyjmuje się α = 0,05; rzadziej 0,1, 0,03, 0,01 lub 0,001. Wartość założonego poziomu istotności jest porównywana z wyliczoną z testu statystycznego p-wartością (czasem porównuje się od razu wartości statystyki testowej z wartością odpowiadającą danemu poziomowi istotności). Jeśli p-wartość jest większa, oznacza to, iż nie ma powodu do odrzucenia tzw. hipotezy zerowej H0, która zwykle stwierdza, że obserwowany efekt jest dziełem przypadku.
    Estymacja przedziałowa to grupa metod statystycznych służących do oszacowania parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej. Wynikiem oszacowania nie jest tutaj ocena punktowa, tak jak w przypadku metod estymacji punktowej. Można zauważyć, że w przypadku rozkładu ciągłego, prawdopodobieństwo, że ocena punktowa parametru przyjmie wartość równą wartości szacowanego parametru jest bliskie zeru. W metodach estymacji przedziałowej oceną parametru nie jest konkretna wartość, ale pewien przedział, do którego z określonym prawdopodobieństwem należy szacowana wartość parametru.
    Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):
    Test istotności - rodzaj testu, w którym na podstawie wyników próby losowej podejmuje się wyłącznie decyzję odrzucenia hipotezy, którą się sprawdza, bądź stwierdza się brak podstaw do odrzucenia tej hipotezy.
    Testy dla średniej to grupa testów statystycznych, służących do wnioskowania o wartości średniej w populacji, z której pochodzi próba losowa.

    Reklama