Rachunek wariacyjny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rachunek wariacyjny – dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla której dany funkcjonał przyjmuje wartość ekstremalną. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.

Uwagi ogólne[ | edytuj kod]

Podstawowym zadaniem rachunku wariacyjnego jest znajdowanie ekstremalnych wartości funkcjonałów o postaci całek oznaczonych, reprezentujących określone wielkości fizyczne takie jak czas, długość, powierzchnia, ciężar, sztywność itp. Zadanie to jest analogiczne do zadania rachunku różniczkowego, poszukiwania ekstremum funkcji Jest ono osiągane w punkcie mającym tę własność, że w przypadku maksimum i w przypadku minimum, gdzie jest małą wariacją zmiennej

Biblioteka Narodowa Izraela (hebr. הספרייה הלאומית; dawniej: Żydowska Biblioteka Narodowa i Uniwersytecka, hebr. בית הספרים הלאומי והאוניברסיטאי) – izraelska biblioteka narodowa w Jerozolimie.Encyklopedia Britannica (ang. Encyclopædia Britannica) – najstarsza wydawana do chwili obecnej i najbardziej prestiżowa encyklopedia angielskojęzyczna. Artykuły w niej zamieszczane uważane są powszechnie przez czytelników za obiektywne i wiarygodne.

W rachunku wariacyjnym poszukujemy takiej funkcji dla której funkcjonał ma tę własność, że w przypadku maksimum i w przypadku minimum, gdzie jest małą wariacją funkcji

Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców. Linia geodezyjna, czasem nazywana krótko: geodezyjna – krzywa w przestrzeni metrycznej (ściślej: w G-przestrzeni), zawierająca najkrótszą drogę pomiędzy dowolnymi dostatecznie bliskimi swoimi punktami, nie dająca się już wydłużyć z żadnej strony. Formalnie definiuje się je jako krzywe o zerowej krzywiznie geodezyjnej. Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi.

Poszukiwanie ekstremum funkcji (o ciągłej pochodnej) w rachunku różniczkowym wymaga rozwiązania równania które jest warunkiem koniecznym istnienia tego ekstremum. Podobnie w rachunku wariacyjnym poszukiwanie ekstremum funkcjonału wymaga spełnienia określonego warunku koniecznego dla jego istnienia, którym okazuje się zwykle pewne równanie różniczkowe dla funkcji

Całka oznaczona – w matematyce, w zależności od kontekstu, synonim nazwy "całka Riemanna" albo ogólniej: określenie odnoszące się do tych pojęć całki, dla których zachodzi pewna wersja wzoru Newtona-Leibniza, jak na przykład:Promień świetlny to nieskończenie wąska wiązka światła. Jest to model używany do opisu rozchodzenia się światła w optyce geometrycznej.


Podstrony: 1 [2] [3]




Warto wiedzieć że... beta

Zasada Fermata w optyce jest szczególnym przypadkiem zasady najmniejszego działania. Sformułował ją Pierre de Fermat, a treść zasady w jego ujęciu miała następujące brzmienie:
Funkcjonał – w matematyce to przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń. Jest to funkcja, której argumentami są wektory, a wartościami skalary. Często tą przestrzenią jest przestrzeń funkcji - wtedy argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem uważany jest za funkcję funkcji.
Współczynnik załamania ośrodka jest miarą zmiany prędkości rozchodzenia się fali w danym ośrodku w stosunku do prędkości w innym ośrodku (pewnym ośrodku odniesienia). Dokładniej jest on równy stosunkowi prędkości fazowej fali w ośrodku odniesienia do prędkości fazowej fali w danym ośrodku
Store Norske leksikon (Wielka encyklopedia norweska) - norweska encyklopedia w języku bokmål. Powstała po fuzji dwóch dużych, tworzących encyklopedie i słowniki wydawnictw norweskich Aschehoug i Gyldendal w 1978 roku, które utworzyły wydawnictwo Kunnskapsforlaget. Były cztery wydania papierowe: pierwsza w latach 1978-1981 w 12 tomach, druga w latach 1986-1989 w 15 tomach, trzecia w latach 1995-1999 w 16 tomach i czwarta w latach 2005-2007 w 16 tomach. Ostatnie wydanie zawierało 150 tys. haseł i 16 tys. ilustracji i zostało opublikowana przy wsparciu finansowym stowarzyszenia Fritt Ord. W 2010 roku ogłoszono, że nie będzie już wydań papierowych encyklopedii. Encyklopedia dostępna jest on-line od 2000 roku, a od 2009 roku może być edytowane przez użytkowników. Kunnskapsforlaget korzysta jednak z pomocy ekspertów przy sprawdzaniu treści zamieszczonych przez czytelników.
Rachunek różniczkowy i całkowy – dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej w oparciu o podstawowe dla tej dyscypliny matematycznej pojęcia pochodnych i całek.
Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.
Wielka Encyklopedia Rosyjska (ros. Большая российская энциклопедия, БРЭ) – jedna z największych encyklopedii uniwersalnych w języku rosyjskim, wydana w 36 tomach w latach 2004–2017. Wydana przez spółkę wydawniczą o tej samej nazwie, pod auspicjami Rosyjskiej Akademii Nauk, na mocy dekretu prezydenckiego Władimira Putina nr 1156 z 2002 roku

Reklama