• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Rachunek różniczkowy i całkowy

    Przeczytaj także...
    Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego – w analizie matematycznej twierdzenie mówiące o tym, że że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego – różniczkowanie i całkowanie – są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, jeżeli dana jest funkcja ciągła f, to pochodna jej funkcji górnej granicy całkowania jest równa f. Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest możliwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej funkcji.Johann Bernoulli (ur. 27 lipca 1667 w Bazylei, zm. 1 stycznia 1748 tamże) – matematyk i fizyk szwajcarski. Pochodził ze znanej rodziny matematyków – Bernoullich. Jego synem był Daniel Bernoulli, bratem – Jacob. Był profesorem uniwersytetów w Groningen (Holandia) od 1695 i Bazylei od 1705 roku. Zajmował się rachunkiem różniczkowym, całkowym i wariacyjnym oraz liniami geodezyjnymi. Sformułował i rozwiązał niezależnie od brata Jakoba zagadnienie brachistochrony. Odkrył talent matematyczny Leonharda Eulera i odwiódł jego ojca od decyzji kształcenia Leonharda na pastora.
    Teoria miary (zwana też teorią miary i całki) - dział analizy matematycznej zajmujący się własnościami ogólnie rozumianych miar zbiorów. Teoria miary bada σ-algebry, funkcje mierzalne oraz całki.
    Isaac Newton
    Gottfried Wilhelm von Leibniz
    Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz – twórcy rachunku różniczkowego

    Rachunek różniczkowy i całkowy – dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej w oparciu o podstawowe dla tej dyscypliny matematycznej pojęcia pochodnych i całek.

    Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).Wykres funkcji – potocznie graficzne przedstawienie funkcji. Ogólniej, w matematyce wykresem funkcji f : X → Y {displaystyle f:X o Y} , gdzie X {displaystyle X} i Y {displaystyle Y} są dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiór S ⊂ X × Y {displaystyle Ssubset X imes Y} dany wzorem:

    Rachunek różniczkowy jest jednym z podstawowych narzędzi matematycznych fizyki i techniki.

    Historia[]

    Niektóre idee i metody rachunku całkowego znane były już w starożytności. Na przykład Archimedes (III wiek p.n.e.) obliczał objętości i pola powierzchni różnych brył stosując w istocie metody całkowe.

    Rachunek różniczkowy i całkowy został również, niezależnie od Europy, rozwinięty w Indiach. W XII wieku Bhaskaraćarja pierwszy rozważał rachunek różnicowy, a także ideę pochodnej funkcji. Sformułował też twierdzenie Rolle’a (szczególny przypadek twierdzenia Lagrange’a). W XIV wieku i później, Madhawa i inni matematycy ze szkoły Kerala rozwinęli jego idee. Stworzyli koncepcje analizy matematycznej, liczby zmiennoprzecinkowej, a także fundamentalne idee rachunku różniczkowego, włącznie z twierdzeniem Lagrange’a, całkowaniem wyraz po wyrazie, związkiem pomiędzy polem powierzchni pod wykresem funkcji, a funkcją pierwotną (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego), kryterium całkowym oraz iteracyjnymi metodami rozwiązywania równań nieliniowych. W XVI wieku, Jyeshtadeva zebrał wiele osiągnięć i twierdzeń Szkoły Kerala w Yuktibhasa, pierwszym w historii opracowaniu rachunku różnicowego, w którym wprowadził także idee rachunku całkowego.

    Bhaskaraćarja (sanskryt भास्कराचार्य , trl. Bhāskarācārya czyli Bhāskara nauczyciel, Bhāskara II,) (1114 - 1185) - matematyk i astronom indyjski. Kierował obserwatorium astronomicznym w Ujjainie.Zmienna – symbol, oznaczający wielkość, która może przyjmować rozmaite wartości. Wartości te na ogół należą do pewnego zbioru, który jest określony przez naturę rozważanego problemu. Zbiór ten nazywamy zakresem zmiennej.

    Właściwy rozwój tych metod nastąpił w XVII wieku. Ukoronowaniem tego rozwoju są prace angielskiego fizyka i matematyka Newtona oraz niemieckiego matematyka i filozofa Leibniza, które zawierają systematyczny wykład teorii i metod związanych z pojęciem całki oraz wprowadzają terminologię i oznaczenia zbliżone do współczesnych. Ukazują one również związek rachunku całkowego z rachunkiem różniczkowym oraz praktyczne metody całkowania prostych typów funkcji. Dlatego też Newtona i Leibniza uważa się za twórców rachunku całkowego. Natomiast pierwszą książkę na temat rachunku różniczkowego i całkowego opublikowała włoska matematyczka Maria Gaetana Agnesi.

    Władysław Folkierski (ur. 24 października 1841 w Warszawie, zm. 24 kwietnia 1904 w Zakopanem) – matematyk, inżynier, uczestnik Powstania Styczniowego, ojciec Władysława.Sir Isaac Newton (ur. 25 grudnia 1642/4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 20 marca 1726/31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.

    Rachunek różniczkowy stworzony został wraz z rachunkiem całkowym w drugiej połowie XVII w. także przez Newtona i niezależnie od niego przez Leibniza.

    Polski termin całka wprowadził Jan Śniadecki jako odpowiednik terminu integral wprowadzonego przez ucznia i współpracownika Leibniza, Jana Bernoulliego. Leibniz mówił początkowo summa, stąd przyjął się symbol stylizowanej litery S – .

    Całka Lebesgue’a – konstrukcja matematyczna rozszerzająca pojęcie całki Riemanna na szerszą klasę funkcji, wprowadzona w 1902 r. przez francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a. Rozszerzenie dotyczy także dziedziny, na której mogą być określone funkcje podcałkowe.Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.

    Uściślenie teorii całek i oparcie jej na pojęciu granicy jest zasługą francuskiego matematyka i fizyka Augustina Cauchy’ego. Georg Riemann jako pierwszy dostrzegł potrzebę wyraźnego określenia klasy funkcji całkowalnych wprowadzając definicję całki i całkowalności – dość prostą, a jednocześnie obejmującą wiele funkcji, w tym pewne funkcje nieciągłe. Matematyk francuski Henri Lebesgue – opierając się na pojęciu miary – znacznie rozszerzył definicję całki i całkowalności, obejmując nią bardzo obszerną klasę funkcji (zob. całka Lebesgue’a). Nawet pojęcie całki Lebesgue’a było poddawane uogólnieniom (całka na rozmaitości, całka Haara, całka względem miary wektorowej). Percy John Daniell zbudował teorię całki (zob. całka Daniella-Stone’a) bez odwoływania się do aparatu teorii miary, opierając ją o pewne szczególne funkcjonały.

    Henri Léon Lebesgue (ur. 28 czerwca 1875 w Beauvais, zm. 26 lipca 1941 w Paryżu) – francuski matematyk. Twórca nowoczesnego ujęcia teorii miary i całki, zwanej na jego cześć całką Lebesgue’a. Prowadził również badania w teorii szeregów Fouriera i topologii – jedno z podstawowych pojęć teorii wymiaru nosi dziś nazwę wymiaru Lebesgue’a.Funkcjonał – w matematyce to przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń. Jest to funkcja, której argumentami są wektory, a wartościami skalary. Często tą przestrzenią jest przestrzeń funkcji - wtedy argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem uważany jest za funkcję funkcji.

    Pierwszą szczegółową, dwutomową pracę naukową na temat tych rachunków w języku polskim pt. Zasady rachunku różniczkowego i całkowego z zastosowaniami opublikował w 1870 roku polski inżynier i matematyk Władysław Folkierski. Książka po latach została uznana w prasowym plebiscycie za najlepszą polską książkę naukową XIX wieku.

    Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.Madhawa – filozof indyjski żyjący ok. XII–XIV w n.e. Nauczał Dwaita (Dualnej) Wedanty (rozróżnienie pomiędzy Absolutem a stworzeniem, bhakti).

    Zobacz też[]

  • historia matematyki
  • Przypisy

    1. Władysław Folkierski: Zasady rachunku różniczkowego i całkowego z zastosowaniami (…). Paryż: Biblioteka Kórnicka, 1870.
    2. Władysław Folkierski: Zasady rachunku różniczkowego i całkowego z zastosowaniami (pol.). W: Książka w katalogu HINT [on-line]. hint.org.pl. [dostęp 2014-04-09].
    3. Bolesław Orłowski: Władysław Folkierski (1841–1904) (pol.). W: Inżynierowie polscy XIX i XX wieku, 100 najwybitniejszych polskich twórców techniki (red. Józef Piłatowicz) [on-line]. Polskie Towarzystwo Historii Techniki, 2001. [dostęp 2014-02-21]. s. 72–75.
    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Maria Gaetana Agnesi (ur. 16 maja 1718, zm. 9 stycznia 1799) – włoska lingwistka, matematyk i filozof. Autorka pierwszej książki poświęconej rachunkowi różniczkowemu i całkowemu. Była członkiem honorowym fakultetu na uniwersytecie w Bolonii.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Georg Friedrich Bernhard Riemann (ur. 17 września 1826 w Breselenz w ówczesnym państwie Hanower, zm. 20 lipca 1866 w miejscowości Selasca, w pobliżu Verbanii na jeziorem Maggiore we Włoszech) - matematyk niemiecki, od 1857 profesor uniwersytetu w Getyndze.
    Jan Śniadecki (ur. 29 sierpnia 1756 w Żninie, zm. 9 lub 21 listopada 1830 w Jaszunach koło Wilna) – polski astronom, matematyk, filozof i geograf.
    Twierdzenie Rolle’a – twierdzenie klasycznej analizy matematycznej mówiące, że funkcja różniczkowalna przyjmująca równe wartości w dwóch różnych punktach ma punkt stacjonarny, tzn. punkt, w którym nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji względem osi OX jest równe zeru.
    Język polski (polszczyzna) – język naturalny należący do grupy zachodniosłowiańskich (do których należą również czeski, słowacki, kaszubski, dolnołużycki, górnołużycki i wymarły połabski), stanowiących część rodziny indoeuropejskiej.
    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.
    Archimedes z Syrakuz (gr. Ἀρχιμήδης ὁ Συρακόσιος Archimedes ho Syrakosios; ok. 287–212 p.n.e.) – grecki filozof przyrody i matematyk, urodzony i zmarły w Syrakuzach; wykształcenie zdobył w Aleksandrii. Był synem astronoma Fidiasza i prawdopodobnie krewnym lub powinowatym władcy Syrakuz Hierona II.
    Iteracja (łac. iteratio – powtarzanie) – czynność powtarzania (najczęściej wielokrotnego) tej samej instrukcji (albo wielu instrukcji) w pętli. Mianem iteracji określa się także operacje wykonywane wewnątrz takiej pętli.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.101 sek.