• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Równanie kwadratowe

    Przeczytaj także...
    Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.
    Wzory Viète’a – wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète’a.
    Wykres funkcji kwadratowej zmiennej rzeczywistej przy zmianie różnych współczynników.

    Równanie kwadratowerównanie algebraiczne z jedną niewiadomą w drugiej potędze i opcjonalnie niższych. Innymi słowy równanie wielomianowe drugiego stopnia, czyli równanie postaci

    gdzie są jego współczynnikami rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego ciała. Zakłada się, że , dzięki czemu równanie nie degeneruje się do równania liniowego. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: kwadratowym, liniowym i stałym (bądź wyrazem wolnym).

    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników tego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.

    Inną nazwą równania kwadratowego jest równanie drugiego stopnia.

    Rozwiązania[]

     Zapoznaj się również z: równaniewielomian.

    Rozwiązaniem równania kwadratowego

    nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w postaci iloczynowej, tzn.

    Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an).Równanie sześcienne lub trzeciego stopnia – równanie algebraiczne postaci a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , {displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,} gdzie a ≠ 0. {displaystyle a eq 0.} Każde równanie sześcienne o współczynnikach rzeczywistych ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

    dla pewnych liczb to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb gdyż podstawiona zamiast sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru.

    Stopień jednomianu – suma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu, np. jednomian x y = x 1 y 1 {displaystyle xy=x^{1}y^{1}} jest stopnia drugiego.Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

    W szczególności może być wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest

    Wzory skróconego mnożenia – wspólna nazwa wzorów rozwijających wyrażenia postaci ( a ± b ) n ,   ( a ± b ± … ) n {displaystyle (apm b)^{n}, (apm bpm ldots )^{n}} oraz a n ± b n {displaystyle a^{n}pm b^{n}} gdzie n {displaystyle n;} jest liczbą naturalną.Równanie algebraiczne – równanie w postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n jednej lub wielu zmiennych (n ≥ 0). Więc równanie algebraiczne jednej zmiennej to równanie w postaci

    Wyróżnik[]

     Zapoznaj się również z: wyróżnik.

    Ponieważ

    Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników w rozkładzie na czynniki pierwsze lub, równoważnie, ich największym wspólnym dzielnikiem jest jedność; te, w których żadna para nie ma wspólnych dzielników w rozkładzie poza jedynką lub, równoważnie, których największy wspólny dzielnik dla dowolnej pary wynosi jeden, nazywa się parami względnie pierwszymi.Wykres – sposób przedstawiania informacji, równań, formuł, relacji, funkcji i innych obiektów w matematyce i pokrewnych naukach jako podzbiorów pewnych iloczynów kartezjańskich.

    (piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Niewiadoma – w pojęciu nauk ścisłych określenie wielkości poszukiwanej, której wartość liczbowa jest zależna od różnych mierzalnych czynników, która może zostać zastąpiona symbolem niewiadomej (szukanej) i znaleziona doświadczalnie lub przez rozwiązanie równań lub nierówności.

    oraz

    Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.

    Wyrażenie

    Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.Największy wspólny dzielnik – dla danych dwóch (lub więcej) liczb całkowitych największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich. Pojęcie to ma wiele uogólnień, które przedstawiono w dalszej części artykułu.

    nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli to

    Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy to

    gdzie jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi Jeżeli to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem Przypadki dla można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi (por. wzory Viète’a).

    Przykłady różnych znaków wyróżnika:
    <0: x+⁄2
    =0: −⁄3x+⁄3x−⁄3
    >0: ⁄2x+⁄2x−⁄3

    Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile Dokładniej, jeśli:

  • to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste);
  • to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty);
  • to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
  • Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami gdzie jest pewną liczbą pierwszą większą od 2. Przykłady

  • Równanie
  • ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy Są nimi oraz
  • Równanie
  • po uporządkowaniu ma postać Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ to rozwiązania mają postać
  • Równanie
  • ma jedno rozwiązanie gdyż wyróżnik

    Wzory skróconego mnożenia[]

     Zapoznaj się również z: wzory skróconego mnożenia.

    Równania kwadratowe można niekiedy przedstawić w postaci iloczynowej wprost ze wzorów skróconego mnożenia. Przykłady

  • Równanie
  • można zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jako wtedy jest jedynym rozwiązaniem spełniającym powyższą równość.
  • Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów równanie
  • jest tożsame równaniu skąd musi być lub tzn. rozwiązaniami jest każda z liczb oraz

    Wzory Viète’a[]

     Zapoznaj się również z: wzory Viète’a.

    Znając jedno rozwiązanie można wskazać drugie korzystając z tzw. wzorów Viète’a, które dla wielomianu mają postać

    Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu

    spełniają równości i to można go zapisać jako

    Oznacza to, że rozwiązaniami równania

    którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby oraz Przykłady

  • Równanie
  • daje się przedstawić w postaci skąd otrzymuje się rozwiązania oraz
  • Równanie
  • można zapisać jako co oznacza, że rozwiązaniami są liczby oraz

    Dopełnianie do kwadratu[]

    Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech

    będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli

    to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:

    skąd

    a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się

    co daje rozwiązania oraz

    Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy Przykłady

  • Równanie
  • jest tożsame następującemu kontynuując uzyskuje się co jest równoważne oraz a więc rozwiązaniami są oraz

    Współczynniki całkowite[]

    Istnieje prosta metoda wyznaczania pierwiastków wymiernych równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych, czyli postaci ,

    gdzie są liczbami całkowitymi (jeżeli są liczbami wymiernymi, spośród których choć jedna nie jest całkowita, to równanie można pomnożyć stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników uzyskując równanie równoważne, tj. o jednakowym zbiorze rozwiązań). Dokładniej: Jeżeli liczba wymierna , gdzie i względnie pierwszymi liczbami całkowitymi (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego, to jest dzielnikiem , a jest dzielnikiem .

    Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni. Przykłady

  • Rozwiązaniami wymiernymi równania
  • mogą być tylko liczby należące do zbioru . Podstawiając otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie daje ; liczba podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość ; liczba jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest ).

    Inne[]

    Jeżeli suma współczynników równania

    jest równa zeru, tzn. to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli to liczba jest pierwiastkiem tego równania. Przykład Równanie na mocy powyższego faktu ma pierwiastek równy

    Zobacz też[]

  • funkcja kwadratowa
  • równanie liniowe
  • równanie sześcienne
  • równanie czwartego stopnia (równanie dwukwadratowe)
  • okrąg Carlyle'a



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.163 sek.