• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Równanie funkcyjne

    Przeczytaj także...
    Równanie całkowe – równanie funkcyjne, w którym występuje całka niewiadomej funkcji. Równania te, w zależności od tego, czy funkcja niewiadoma pojawia się ponadto sama, dzielą się na jednorodne i niejednorodne. Wyróżnia się ponadto kilka ich rodzajów na podstawie typu występujących w nim całek (ściślej granic tych całek). Funkcję szukaną często oznacza się ϕ ( x ) . {displaystyle phi (x).} Zadaniem jest znalezienie postaci funkcji na przedziale [ a , b ] . {displaystyle [a,b].} Stanisław Gołąb (ur. 26 lipca 1902 w Travniku w Bośni, zm. 30 kwietnia 1980 w Krakowie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli krakowskiej szkoły matematycznej.
    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

    Równanie funkcyjnerównanie, w którym niewiadomą jest funkcja.

    Przykłady[]

  • Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe.
  • Równanie Abela
  • Równanie spełniają funkcje addytywne.
  • Równania oraz spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste.
  • Znajdźmy wszystkie funkcje dla których . Podstawiając otrzymujemy , czyli . Niech , wówczas Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość jest spełniona dla każdego . Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest .
  • Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki jest ciąg .
  • Użycie układu równań funkcyjnych w alternatywnej definicji funkcji trygonometrycznych.
  • Równanie Cauchy'ego[]

    Ważnym przykładem równania funkcyjnego jest równanie Cauchy'ego . Cauchy rozwiązał następujące równania funkcyjne w dziedzinie funkcji ciągłych.

    Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.Współrzędne Fatou są przekształceniem płaszczyzny zespolonej umożliwiającym badanie dynamiki kiełków funkcji holomorficznych w otoczeniu parabolicznego punktu stałego .

    Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania . Jedynymi ciągłymi rozwiązaniami równania funkcje liniowe .

    Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.W matematyce, termin indukcja matematyczna używany jest na określenie szczególnej metody dowodzenia twierdzeń (w najbardziej typowych przypadkach o liczbach naturalnych), ale także jest on używany na oznaczenie konstrukcji pewnych obiektów.

    Dowód. Na początek zauważmy dwie rzeczy. Stosując prostą indukcję można pokazać, że . Zauważmy dalej, że , czyli .

    Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.Funkcja addytywna – funkcja która jest homomorfizmem struktury addytywnej rozważanych obiektów (pierścieni, ciał czy też przestrzeni liniowych). W teorii liczb jednak rozważa się całkowicie inną własność funkcji określaną tym samym terminem.

    Niech teraz . Pokażemy, że równość zachodzi, gdy jest liczbą naturalną, całkowitą, wymierną, a w końcu rzeczywistą. Mamy

    Marek Kuczma (ur. 10 października 1935 w Katowicach, zm. 13 czerwca 1991 tamże) – polski matematyk; profesor. W 1956 na Uniwersytecie Jagiellońskim obronił pracę magisterską i uzyskał tytuł zawodowy magistra. W 1961 doktorant magister M. Kuczma uzyskał stopień naukowy doktora za dysertację pt. O pewnym równaniu funkcyjnym pierwszego rzędu (promotorem był prof. Stanisław Gołąb). Dwa lata później habilitował się na podstawie rozprawy O równaniu Schrödera. Od 1969 profesor matematyki. Wypromował trzynaścioro doktorów nauk matematycznych. Autor trzech monografii matematycznych:Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.

    dla każdego .

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Niewiadoma – w pojęciu nauk ścisłych określenie wielkości poszukiwanej, której wartość liczbowa jest zależna od różnych mierzalnych czynników, która może zostać zastąpiona symbolem niewiadomej (szukanej) i znaleziona doświadczalnie lub przez rozwiązanie równań lub nierówności.

    Dalej , czyli . To oznacza, że dla każdego , gdzie oznacza zbiór liczb całkowitych.

    Funkcja logarytmiczna – funkcja f : ( 0 , ∞ ) → R {displaystyle fcolon (0,infty ) o mathbb {R} } , określona wzorem f ( x ) = log a ⁡ x {displaystyle f(x)=log _{a}x;} (dla pewnego ustalonego a ∈ ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) {displaystyle ain (0,1)cup (1,infty )} ). Zalicza się ją do funkcji elementarnych. Jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej.Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

    Dalej mamy ,

    co daje . Niech teraz będzie dowolną liczbą wymierną. Wówczas

    Augustin Louis Cauchy (ur. 21 sierpnia 1789 w Paryżu, zm. 23 maja 1857 w Sceaux pod Paryżem) – francuski matematyk. Zapoczątkował projekt postulujący i przedkładający dowody twierdzeń analizy matematycznej w ścisłej formalnej postaci. Zawdzięczamy mu również kilka ważnych twierdzeń analizy zespolonej oraz zapoczątkowanie studiów nad grupami permutacyjnymi. Swą dogłębnością oraz precyzją Cauchy wywarł wielki wpływ na metodologię pracy ówczesnych matematyków oraz ich nowoczesnych następców. Jego publikacje obejmują w pełni ówczesną matematykę oraz fizykę matematyczną.
    .

    Zatem równość została pokazana dla każdej liczby wymiernej .

    Z ciągłości funkcji wynika równość dla każdej liczby rzeczywistej .

    Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania . Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania funkcje wykładnicze .

    Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania . Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania funkcje logarytmiczne .

    Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania . Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania funkcje potęgowe .

    Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania . Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje cosinus i cosinus hiperboliczny .

    Bibliografia[]

  • J. Aczél, J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
  • J. Aczél, S. Gołąb, Funktionalgleichungen der Theorie der Geometrischen Objekte, PWN Warszawa, 1960.
  • J. Dhombres, Some aspects of functional equations, Chulalongkorn Univ., Bangkok, 1979.
  • G. M. Fichtenholtz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, PWN, Warszawa, 1999
  • D. Ilse, I. Lehman, W. Schulz, Gruppoide und Funktionalgleichungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1984.
  • M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, Polish Scientific Publishers & Silesian University, Warszawa-Kraków-Katowice, 1985.



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama